變系數(shù)電報方程的緊致差分格式

楊文潔 姜子文

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,250358,濟(jì)南 )

1 引 言

本文考慮如下的二維線性電報方程

(1)

其中α=α(x,y,t),λ=λ(x,y,t),Ω=[0,1]×[0,1]為R2平面上一個有界區(qū)域，?Ω為Ω的邊界，T為正常數(shù)，u0(x,y),v0(x,y)為已知函數(shù).

電報方程是一類在通訊工程中有重要理論意義和廣泛研究價值的數(shù)學(xué)物理方程，此方程是從研究電報線上電壓和電流的變化規(guī)律推導(dǎo)出來的，它描述了均勻傳輸線上電壓和電流的關(guān)系，所以又被稱為傳輸線方程.對于求解電報方程的高精度數(shù)值方法，許多學(xué)者對其進(jìn)行了討論，其中文獻(xiàn)[1]對于一維的常系數(shù)電報方程給出了高精度差分格式；文獻(xiàn)[2]中則對電報方程初值問題構(gòu)造了交替差分格式和交替方向有限元格式；文獻(xiàn)[3]對一類電報方程的初邊值問題建立了一種時間間斷時空有限元格式；文獻(xiàn)[4]描述了一類變系數(shù)電報方程的再生核數(shù)值解法.

緊致差分法是一類具有高精度的有限差分方法，是通過較少計算節(jié)點得到高精度的數(shù)值解，有效地減少了計算量和存儲量.本文對方程(1)提出緊致差分格式，通過具體算例進(jìn)行數(shù)值模擬，最后通過數(shù)值實驗表明結(jié)果符合理論分析.

2 格式建立

方程(1)在點(xi,yj,tk)處有

(2)

(3)

(4)

運用Taylor展式，結(jié)合(3)、(4)可得

`

(5)

其中

定義緊差分算子

(6)

由文獻(xiàn)[5]中引理1.2有

(7)

其中

由(1)式的初值條件及帶積分余項的Taylor展開式有

(8)

3 數(shù)值模擬

下面將給出具體算例來驗證格式的有效性.為了方便計算，將上述格式轉(zhuǎn)化成

算例在方程中取α=0.02t(x2+1)，λ=-0.02(y20+1)，hx=hy=h，T=1，精確解u=t10sinπxsinπy，右端項F=(90t8+2π2t10+0.02t10(x2+1)-0.02t10(y20+1))sin(πx)sin(πy).

取不同空間步長和時間步長時L2和L范數(shù)下的誤差和階數(shù)，如表1所示.

表1 方程在L2和L范數(shù)下的誤差和階數(shù)

hτL2orderL諛order181641.26e-032.51e-0311612565.97e-054.591.18e-044.6213211 0243.37e-064.216.32e-064.31