Cornish-Fisher展開(kāi)在VaR中的應(yīng)用

魏正元，李素平，李 喬，余愈燦

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院, 重慶 400054)

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的不斷深刻演變，金融風(fēng)險(xiǎn)已不再是某個(gè)單一市場(chǎng)所面臨的問(wèn)題；因此，風(fēng)險(xiǎn)管理已經(jīng)成為社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中必不可少的議題之一。隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，G30集團(tuán)在研究衍生品種的基礎(chǔ)上，于1993年提出了度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(value at risk，VaR)方法，該方法已成為目前金融界測(cè)量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的主流方法。隨后由J.P.Morgan[1]在1994年推出的用于計(jì)算 VaR的Risk Metrics風(fēng)險(xiǎn)控制模型更是被眾多金融機(jī)構(gòu)廣泛采用。此后，學(xué)者們對(duì)VaR進(jìn)行了大量的研究，并取得了豐富的成果。

目前對(duì)于VaR的計(jì)算主要有3種方法：歷史模擬法，方差-協(xié)方差法， 蒙特卡洛法。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估算VaR的方法主要有兩種：第1種方法是選擇一個(gè)最優(yōu)的參數(shù)分布擬合數(shù)據(jù)，然后將VaR作為該分布的分位數(shù)即可得到，例如Sun和Hong[2]采用重要抽樣的方法估計(jì)VaR；第2種方法是基于歷史數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布或者核函數(shù)，運(yùn)用非參數(shù)密度估計(jì)方法來(lái)擬合一個(gè)非參數(shù)的分布，然后從非參數(shù)的密度函數(shù)來(lái)估計(jì)VaR，例如Chang等[3]和Jeong等[4]運(yùn)用非參數(shù)的方法估計(jì)了VaR。Abbasi等[5]運(yùn)用蒙特卡洛法模擬Weibull、Burr XII、Birnbaum-Saunders和Pareto分布，計(jì)算了某保險(xiǎn)公司數(shù)據(jù)的VaR并運(yùn)用bootstrap方法構(gòu)建了一個(gè)VaR控制圖方案。Lien等[6]將分布的前4階矩引入VaR的近似計(jì)算方法中，模擬比較了Cornish-Fisher、Edgeworth、Gram-Charlier和Johnson分布等4種方法下的VaR的近似效果。黃金波等[7]運(yùn)用非參數(shù)核估計(jì)方法對(duì)資產(chǎn)組合的VaR進(jìn)行了估計(jì)，并在大樣本下，與Cornish-Fisher展開(kāi)法進(jìn)行了比較。本文將基于有偏分布擬合、Cornish-Fisher展開(kāi)和Bootstrap來(lái)計(jì)算小樣本情況下蘋果公司收益率數(shù)據(jù)的VaR。

被稱為函數(shù)f(x)的遞增重排。重排過(guò)程將函數(shù)f(x)變換成其分位數(shù)函數(shù)f*(x)。遞增重排的具體步驟為：將目標(biāo)區(qū)間[a,b]進(jìn)行充分小的等間距的劃分，計(jì)算f(x)在每個(gè)間隔點(diǎn)的值，最后將所有值按從小到大的順序排列。根據(jù)此方法來(lái)計(jì)算Cornish-Fisher展開(kāi)的值。

1 VaR的計(jì)算

1.1 VaR的定義

VaR方法因其測(cè)量風(fēng)險(xiǎn)的定量性、綜合性、簡(jiǎn)便性等優(yōu)點(diǎn)，故而被諸多金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管機(jī)構(gòu)廣泛使用，目前已成為金融界測(cè)量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的主流方法。若用隨機(jī)變量L表示一個(gè)金融頭寸在某持有期l內(nèi)的損失(空頭的損失為資產(chǎn)收益率，多頭的損失為資產(chǎn)收益率的相反數(shù))，F(xiàn)L(x)為L(zhǎng)的累積分布函數(shù)，p表示概率水平((p∈(0,1)),常取值為95%或99.9%)，定義持有期l內(nèi)概率為p的某金融頭寸的VaR為

VaRp(L)=inf{x|FL(x)≥p}

在統(tǒng)計(jì)視角下，VaRp(L)即是損失隨機(jī)變量L的上側(cè)1-p分位數(shù)(或下側(cè)p分位數(shù))。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化損失隨機(jī)變量，若給定其分布函數(shù)為F(·)、概率水平p以及持有期l，那么根據(jù)隨機(jī)變量的位移尺度變換，有

VaRp=μl+σlF-1(p)

這里：μl和σl分別表示損失隨機(jī)變量在l期內(nèi)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差；F-1(p)為標(biāo)準(zhǔn)化損失隨機(jī)變量的分位數(shù)函數(shù)。

1.2 基于有偏分布分位數(shù)的VaR計(jì)算

金融資產(chǎn)收益率在呈現(xiàn)出尖峰厚尾特征的同時(shí)，又存在一定的偏態(tài)[9]，此時(shí)，t分布、廣義誤差分布等對(duì)稱分布將不能充分表現(xiàn)出數(shù)據(jù)的特征。Fernández等[10]定義了一種由對(duì)稱分布導(dǎo)出有偏分布的方法(F-S有偏)：由單變量、對(duì)稱的概率密度函數(shù)f(x)生成參數(shù)為ξ的有偏分布密度函數(shù)為：

分布函數(shù)為

這里ξ∈(0,∞)。當(dāng)ξ>1時(shí)，f*(x|ξ)為右偏分布；當(dāng)ξ<1時(shí)，f*(x|ξ)為左偏分布；ξ=1時(shí)，f*(x|ξ)退化為對(duì)稱分布(圖1)。因此，損失隨機(jī)變量基于分布分位數(shù)的VaR可表示為

圖1 對(duì)稱的廣義誤差分布(ξ=1)和有偏廣義誤差分布(ξ=2和ξ=0.5)

1.3 基于Cornish-Fisher 展開(kāi)的VaR計(jì)算

Dasgupta[11]在其著作中給出了一種連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量分位數(shù)的漸近展開(kāi)方法，即Cornish-Fisher展開(kāi)。它是將一個(gè)真實(shí)分布的分位數(shù)函數(shù)展開(kāi)為關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)函數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)，其前4階展開(kāi)式如下：

其中：zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在α處的分位數(shù)；κ3和κ4分別表示偏度和峰度。在此分位數(shù)展開(kāi)式之下，損失隨機(jī)變量的VaR可表示為

μl和σl分別表示損失隨機(jī)變量在l期內(nèi)的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。可以看出：在無(wú)法得知損失隨機(jī)變量真實(shí)分布的情況下，通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)偏度κ3和峰度κ4，從而得到分位數(shù)的漸進(jìn)展開(kāi)值和VaR值(圖2)。

1.4 基于Bootstrap抽樣的VaR計(jì)算

圖2 均值μ=1，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2的正態(tài)分布累積分布函數(shù)和偏度系數(shù)ξ=0.75，均值μ=1，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2以及形狀參數(shù)ν=1.5的有偏廣義誤差分布累積分布函數(shù)及其Cornish-Fisher展開(kāi)

這里定義一種分位數(shù)的計(jì)算方法：假設(shè)x1,x2,…,xn為損失隨機(jī)變量，其次序統(tǒng)計(jì)量為x(1),x(2),…,x(n)，那么損失隨機(jī)變量的損失概率q的值近似為：

其中：l=nq；l1和l2表示與l相鄰的兩個(gè)整數(shù)；qi=li/n。

基于Bootstrap抽樣的VaR計(jì)算的步驟為：

2 實(shí)證分析

本文選取蘋果公司2018年3月1日到5月1日股票收盤價(jià)格Pt，共41個(gè)，進(jìn)行實(shí)證分析。其中，Pt為股票在第t日的收盤價(jià)。將股票價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率rt=log(Pt+1)-log(Pt)應(yīng)用于上述的3種VaR計(jì)算方法。

如果僅從多頭的角度去計(jì)算其損失的臨界值，這里考慮的是收益率的負(fù)值。選取3種有偏分布來(lái)擬合負(fù)收益率數(shù)據(jù)，即有偏正態(tài)分布SN(μ,σ2,ξ)、有偏廣義誤差分布SGED(μ,σ2,ν,ξ)和有偏學(xué)生t分布SSTD(μ,σ2,ν,ξ)，見(jiàn)表1，有偏分布擬合的密度函數(shù)見(jiàn)圖3，不同損失概率下VaR估計(jì)和95%的Bootstrap置信區(qū)間見(jiàn)表2。

表1 3種有偏分布的參數(shù)估計(jì)

圖3 負(fù)收益率數(shù)據(jù)的擬合核密度函數(shù)圖及其3種有偏分布擬合的密度函數(shù)

圖4為負(fù)收益率數(shù)據(jù)累積分布函數(shù)的核擬合、Cornish-Fisher近似以及3種有偏分布擬合累積分布函數(shù)。從圖4可以看出：隨著尾部概率的增大，Cornish-Fisher近似的累積分布函數(shù)與核擬合分布函數(shù)非常接近。若以Bootstrap方法的結(jié)果作為參照，從表2的結(jié)果可以看出：當(dāng)損失概率較大時(shí)，Cornish-VaR表現(xiàn)較差，而基于有偏分布擬合的VaR估計(jì)與Bootstrap-VaR的絕對(duì)誤差相對(duì)較??；但隨著損失概率的減小，Cornish-VaR估計(jì)與Bootstrap-VaR的絕對(duì)誤差逐漸變小，基于分布擬合的VaR估計(jì)與Bootstrap-VaR的絕對(duì)誤差卻在增加，而且一些值也已經(jīng)超出了95%的Bootstrap置信區(qū)間。

圖4 負(fù)收益率數(shù)據(jù)累積分布函數(shù)的核擬合、Cornish-Fisher近似以及3種有偏分布擬合的累積分布函數(shù)

表2 不同損失概率下VaR估計(jì)和95%的Bootstrap置信區(qū)間

3 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用3種方法估計(jì)了小樣本情況下收益率數(shù)據(jù)的VaR值。實(shí)證分析結(jié)果表明：對(duì)于小樣本的收益率數(shù)據(jù)，以Bootstrap方法所得的VaR值作為參照，在一個(gè)較小的損失概率下，基于有偏分布擬合計(jì)算出的VaR值誤差較大，而Cornish-Fisher方法所得的VaR值則表現(xiàn)得更為精確和穩(wěn)定。同時(shí)，Cornish-Fisher方法不需要對(duì)分布進(jìn)行假定，僅用到數(shù)據(jù)的前4階矩，因此這種方法可以較理想地為人們提供一種可行的風(fēng)險(xiǎn)度量工具。