我國金融行業(yè)間風險相依性研究
——基于隱馬爾科夫混合Copula模型

吳 永，何 霞，鄭文虎

(1.重慶理工大學 理學院， 重慶 400054； 2.西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400715)

隨著金融經濟的發(fā)展和創(chuàng)新，同一金融市場中的子行業(yè)相互關聯(lián)和影響，在復雜化和多元化的金融市場中，某一行業(yè)發(fā)生極端風險，必定對其他行業(yè)產生沖擊和影響，而其程度取決于他們之間的相依性大小。Forbes等[1]認為金融市場發(fā)生大的波動后，金融市場間的相依性顯著增強可能導致風險的傳染，所以需要研究對于同一市場，子行業(yè)間的相依性和它們之間是否存在著金融風險傳染的可能。因此，本文對我國金融市場中的銀行、保險、證券和信托行業(yè)間的風險相依性進行研究。

目前已有相關文獻研究了我國金融行業(yè)間的相關性。李政等[2]選取了我國40家上市金融機構，運用無條件網絡分析法研究了我國銀行、保險和證券行業(yè)間的關聯(lián)性；蘇明政和張慶君[3]運用主成分分析、因果關系檢驗和網絡分析的方法來研究我國銀行、保險、證券行業(yè)間的相依關系和風險傳染方向；王麗珍等[4]選取保險、銀行、證券和信托四部門的上市金融機構,運用Granger因果網絡模型來研究在兩次牛熊市轉化的極端情況下保險機構與其他金融機構系統(tǒng)相關性，實證表明銀行業(yè)與保險業(yè)關聯(lián)性最強；市場處于熊市時，保險業(yè)與其他金融機構存在著更顯著的Granger因果關系。方意等[5]選取了26家金融機構，采用DCC-GARCH模型和隨機模擬法研究了我國銀行、保險與證券3個行業(yè)的動態(tài)相關性和系統(tǒng)性風險的測度。

上述文獻均描述變量的線性相關性，金融變量卻是非線性和非對稱的，則描述金融變量非線性和非對稱相關性的Copula模型得到較好的發(fā)展。隨著其發(fā)展和壯大，實證研究表明，單一Copula模型并不能完全捕捉金融變量的所有尾部情況，因此Hu[6]首次將單一Copula函數(shù)線性組合成混合Copula，并運用于復雜金融市場相關性的研究?；诖?，Jondeau等[7]將狀態(tài)機制轉換模型和混合Copula模型結合構建動態(tài)的混合Copula模型，研究了國際金融市場間的相依性；由于狀態(tài)機制轉換的模型只強調了狀態(tài)間的轉移，而忽略了狀態(tài)的轉移過程是以觀測序列為條件的。因此，Chollete[8]在Copula的基礎上引入了隱馬爾科夫模型中，構建了二元隱馬爾科夫混合Copula模型，并研究國際金融市場高低相關機制的相對重要性，但是該研究只停留于二元情形且正態(tài)Copula不能有效地捕捉金融行業(yè)的尾部相依性。

本文借鑒Chollete等[8]二元模型的思想，將混合Copula函數(shù)嵌套于隱馬爾科夫模型框架，運用能捕捉尾部情況的阿基米德Copula來構建高維動態(tài)的混合Copula模型，并實證研究我國金融市場中的銀行、保險、證券和信托行業(yè)間的動態(tài)相依性、高低相依狀態(tài)的轉換路徑以及高相依狀態(tài)下的尾部情況。

1 理論模型

1.1 邊緣分布與混合Copula相依函數(shù)建模

1.1.1邊緣分布模型構建

為了準確克服金融機構收益率序列的波動聚集性，本文采用Creal等[9]提出的廣義自回歸得分(GAS)模型。GAS模型是通過條件密度函數(shù)的分數(shù)驅動來描述數(shù)據的波動過程，其構建如下：設收益率yt的密度函數(shù)是p(yt|ft,Ft)，ft是時變參數(shù)，F(xiàn)t為信息集，則GAS(1,1)模型為：

ft+1=w+αst+βft

(1)

st=St·▽t

(2)

(3)

(4)

為了確定合適的邊緣分布，檢驗上述各假設的邊緣分布的擬合程度，檢驗分成兩部分：其一利用拉格朗日乘子法判斷GAS模型假設的條件分布是否可信，并通過直方圖的置信區(qū)間標出；其二檢驗擬合分布函數(shù)的前4階條件矩，根據前4階矩的統(tǒng)計量和P值判斷所擬合的分布函數(shù)是否獨立同分布于均勻分布。

1.1.2混合Copula模型構建

混合Copula函數(shù)常見的構造是將阿基米德Copula族中的Gumbel Copula函數(shù)，Clayton Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)線性組合，因為它們能捕捉不同的尾部情況。若選擇單一函數(shù)，則只能反映金融變量的某一種尾部情況。因此本文用上述3種Copula函數(shù)構建d維混合Copula函數(shù)：設3種函數(shù)權重分別為w1、w2、w3，Copula分布函數(shù)分別為C1(u1,…,ud;θ1)、C2(u1,…,ud;θ2)、C3(u1,…,ud;θ3)，則混合Copula函數(shù)的分布函數(shù)為

(5)

(6)

經過整合，構建的混合Copula函數(shù)的似然函數(shù)表達式為：

(7)

根據混合Copula密度函數(shù)的極大似然函數(shù)可以確定混合Copula函數(shù)的權重參數(shù)和相關參數(shù)，運用EM算法分離迭代估計上述參數(shù)。

1.2 隱馬爾科夫模型(HMM)[11]

隱馬爾科夫模型包含兩個隨機過程：馬爾科夫過程和一般隨機過程。馬爾科夫過程描述的是隱狀態(tài)的轉移，一般隨機過程描述的是隱狀態(tài)與觀察序列之間的關系，它以觀測序列為條件，通過觀測序列和隱狀態(tài)間的轉移概率矩陣構建雙隨機過程。Juang[12]認為隱馬爾科夫模型可由4個參數(shù)描述：狀態(tài)個數(shù)、初始概率分布、轉移概率矩陣和觀測序列的密度函數(shù)(3)若觀測序列服從連續(xù)型分布，則用密度函數(shù)，若觀測序列服從離散型分布，則用狀態(tài)相關分布。(狀態(tài)相關分布函數(shù))。設隱馬爾科夫過程{Xt}(t=1…T)有m個狀態(tài)，d維連續(xù)型觀測值序列{Yt}(t=1…T)在狀態(tài)i時的條件概率密度函數(shù)為pi(yt)=P(Yt=yt|Xt=i)，初始概率分布π是初始時刻的無條件概率，則

π=[P(X1=1),P(X1=2),…P(X1=m)]

(8)

A是轉移概率矩陣，其元素aij表示的是從狀態(tài)i轉移到狀態(tài)j(j=1…m)的概率，因此，在任意t(t=1…T)時刻aij(4)當轉移矩陣與時間t無關時，稱為時齊馬爾科夫過程，本文只考慮時齊馬爾科夫過程。表示為

aij(t) =aij=P(Xt+1=j|Xt=i)

(9)

隱馬爾科夫模型解決3個主要問題：

1) 評估問題：給定模型和觀測序列，通過模型計算觀測序列出現(xiàn)的概率。定義前向概率αi(t)=P(Y1=y1…Yt=yt,Xt=i)和后向概率βi(t)=P(Yt+1=yt+1…YT=yT|Xt=i)，并根據前向和后向算法計算觀測序列的概率l=P(Y1=y1…YT=yT)得到，則

(10)

2) 解碼問題：由于任意時刻的狀態(tài)是隱藏的，因此需從中尋找任意時刻的狀態(tài)，可通過Viterbi算法解決。若s1,s2,…,sT是最優(yōu)狀態(tài)序列，則

X1=x1,…,XT=xT)

(11)

3) 學習問題：最優(yōu)化各個參數(shù)，使得最好的描述觀測序列。EM算法是估計多個相關參數(shù)的最優(yōu)選擇。其中分為E步和M步，E步是對完全對數(shù)似然函數(shù)取條件期望，M步將條件期望最大化，從而得到最優(yōu)參數(shù)值。

1.3 基于HMM的混合Copula模型

設3維{Kt}(t=1,…,T)是混合Copula函數(shù)的分支序列，分別代表t時刻樣本用于Gumbel Copula函數(shù)，Clayton Copula函數(shù)與Frank Copula函數(shù)。據Sklar定理，t時d維聯(lián)合密度函數(shù)f(y1t,y2t,…,ydt)滿足

f(y1t,…,ydt)=

(12)

根據式(6)(12)，d維HMM完全數(shù)據的似然函數(shù)可以表示為：

L(φ,Y,K)=p(Y,X,K|φ)=

(13)

其中Y表示d維觀測序列{Yt}；X表示m個狀態(tài)的狀態(tài)序列{Xt}；K表示3維分支序列{Kt}；參數(shù)族φ={πi,aij,wik,θik,ηh}(i,j=1…m;k=1…3;h=1…d)；θik是i狀態(tài)時第k個函數(shù)的相依參數(shù)，ηh表示邊緣分布參數(shù)。

令φ(r)是第r次迭代后的參數(shù)值，因此，對于E步，完全似然函數(shù)的條件期望Q(φ,φ(r))的第r+1次可以估計為：

Q(φ,φ(r))=E[logp(Y,X,K|φ)|Y,φ(r)]=

P(Xt=i,Xt+1=j|Y,φ(r))+

P(Xt=i,Kt=k|Y,φ(r))+

(14)

根據HMM模型中EM算法的估計步驟，記

γi(t)=P(Xt=i|Y,φ(r))

εij(t)=P(Xt=i,Xt+1=j|Y,φ(r))

在式(10)、αi(t)和βi(t)定義的基礎上，γi(t)和εij(t)可化簡為：

(15)

(16)

由于分支序列{Kt}與狀態(tài)序列{Xt}獨立，則

P(Xt=i,Kt=k|Y,φ(r))=

P(Xt=i|Y,φ(r))·P(Kt=k|Y,φ(r))=

(17)

將式(17)代入式(14)，則Q函數(shù)可簡化為：

(18)

(19)

(20)

2 實證分析

2.1 數(shù)據選取與處理

由于行業(yè)股價指數(shù)的變動體現(xiàn)著一個行業(yè)的發(fā)展狀況和市場環(huán)境的變化，那么行業(yè)的股價指數(shù)在一定程度上可反映該行業(yè)的整體水平，因此本文運用申萬行業(yè)指數(shù)(5)根據申萬指數(shù)編制規(guī)則，其是以申銀萬國行業(yè)分類標準為基礎編制的分行業(yè)股價指數(shù)，是將行業(yè)內所有上市公司的股票作為成份股而構建的，它還結合了目前行業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀及特點，表征該行業(yè)的平均股價變化，因此具有一定的代表性。中的銀行、保險、證券和多元金融股價指數(shù)代表金融市場中的銀行業(yè)、保險業(yè)、證券業(yè)和信托業(yè)。選取2010年9月1日—2018年4月4日的每日指數(shù)收盤價為樣本，剔除交易時間不匹配的數(shù)據，得到每組樣本數(shù)據共 1 844個，數(shù)據來源于銳思數(shù)據庫，實證研究由R-3.4.1完成。

由于股價指數(shù)收盤價不平穩(wěn)，因此對其取對數(shù)并差分后得到對數(shù)收益率(以下收益率均為對數(shù)收益率)，rit=100×(log(Pi,t)-log(Pi,t-1))，其中Pi,t表示第i行業(yè)第t日的股價指數(shù)收盤價，i=1,…,4，t=1,…,1 844。表1是行業(yè)日對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計量，可以看出證券業(yè)波動較大，其次是信托和保險，而銀行業(yè)是四大行業(yè)中波動最小的行業(yè)，即銀行業(yè)最穩(wěn)定；行業(yè)收益率序列均“有偏”，除信托業(yè)左偏外，其他序列均右偏，表明各行業(yè)具有不同的尾部風險，且峰度系數(shù)均大于3，則具有“尖峰厚尾”等金融分布的典型特征；各收益率序列Jarque-Bera檢驗的p值均小于0.001，表明所有機構的收益率序列均拒絕服從正態(tài)分布的假設。

表1 金融子行業(yè)收益率的描述性統(tǒng)計量

2.2 邊緣分布的確定

將收益率進行ADF單位根檢驗，結果顯示在5%的顯著水平下，4組收益率均為平穩(wěn)序列。通過比較ARMA過程中不同階數(shù)的最小信息化準則(AIC)，最終選擇最優(yōu)階數(shù)為MA(1)模型來消除均值方程中的自相關性。其次考慮數(shù)據的異方差特性，對4組收益率的殘差做ARCH效應檢驗，檢驗結果均拒絕原假設，表明數(shù)據均存在條件異方差性。因此，采用節(jié)1.1.1中GAS模型來克服其條件異方差特征，并得到GAS模型中參數(shù)的估計值，見表2。

表2 GAS模型參數(shù)估計

從表2看出，只有信托業(yè)的條件分布服從偏t分布，另外3個行業(yè)均服從拉普拉斯分布(ald)，進一步證實了各序列具有一定的偏度，且信托和其他3組序列的尾部情況不同；4組序列的α均為正數(shù)，表明序列均以最快上升算法的方式遞歸；β均大于0.95，并接近于1，表明了序列的波動效應持久。

對上述得到的邊緣分布進行檢驗，其一檢驗邊緣分布所假設的分布是否可信，其二檢驗邊緣分布能否在進行概率積分轉換后獨立同分布于均勻分布。圖1是4組序列邊緣分布對應的直方圖結果，是在90%的置信水平上的擬合圖，根據其直方圖，除證券業(yè)的個別擬合點外，其他行業(yè)均在置信區(qū)間內，表明GAS模型中所得到的條件分布具有可信度。表3是概率積分轉換的統(tǒng)計量和P值情況，根據表3，只有銀行的3階和4階矩以及證券業(yè)的直方圖的P值較小，但均大于0.5，且KS檢驗的結果均較好，表明通過GAS模型所擬合的邊緣分布在概率積分轉換后服從均勻分布。

圖1 PIT擬合直方圖

銀行業(yè)保險業(yè)證券業(yè)信托業(yè)1階矩22.224 3(0.328 5)27.872 6(0.112 5)12.612 3(0.893 4)15.7521(0.7319)2階矩26.928 7(0.137 3)22.872 7(0.295 1)20.969 2(0.398 9)16.393 2(0.692 0)3階矩32.434 0?(0.038 9)25.739 1(0.174 6)13.189 3(0.869 1)19.538 8(0.487 1)4階矩31.737 3?(0.046 2)20.927 3(0.401 4)19.830 7(0.468 6)15.641 1(0.738 6)直方圖18.714 6(0.475 3)19.018 5(0.455 7)31.498 1?(0.035 7)12.051 6(0.883 4)KS檢驗0.25540.654 40.559 10.986 7

注：括號內的值是相應的P值，*表示在10%顯著性水平下顯著。

2.3 混合Copula模型參數(shù)估計

將邊緣分布轉換得到的均勻分布變量代入Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)以及混合Copula函數(shù)中，分別進行單一Copula函數(shù)和混合Copula函數(shù)的估計，混合Copula函數(shù)中相依參數(shù)θ的初值來源于單一Copula函數(shù)的估計值，選取w1=w2=w3=1/3作為混合Copula函數(shù)的初始權重，運用EM算法對其進行迭代，其中θ和w動態(tài)變化過程如圖2所示。經過64次重復迭代后參數(shù)趨于穩(wěn)定，相關參數(shù)值見表4。

圖2 參數(shù)迭代圖

通過對單一Copula和混合Copula的對數(shù)似然函數(shù)、AIC值與BIC值進行對比，根據對數(shù)似然函數(shù)最大，AIC、BIC最小的原則，表4表明混合Copula函數(shù)能更好地擬合數(shù)據；對于混合Copula函數(shù)的權重，Gumbel和Clayton Copula的權重相差不大，但Frank Copula的權重較小，表明金融行業(yè)間具有不對稱的尾部情況，而Gumbel函數(shù)的權重稍大，表明行業(yè)間的上尾情況較明顯，即一個行業(yè)股指的上漲引起另一個行業(yè)股指上漲的概率較大。

2.4 HMM的混合Copula模型估計

本文取高低兩狀態(tài)，分別對應著隱藏的行業(yè)間高相依性和低相依性，運用節(jié)1.3的模型對其建模。經過多次取值，初值的最終結果均相同，只是迭代速度不同，表明初始參數(shù)的選擇只影響迭代速率，不影響最后結果，因此選擇單一Copula函數(shù)的估計值作為HMM混合Copula模型的初始值，經過111次迭代后相關參數(shù)趨于穩(wěn)定，其結果見表5。

表4 混合Copula參數(shù)估計值

注：括號內是參數(shù)θ對應的標準差。

表5 HMM混合Copula參數(shù)估計值

表5所示，狀態(tài)2的相依參數(shù)比狀態(tài)1大，則狀態(tài)2中四大行業(yè)間的相依程度更大，那么狀態(tài)2為高相依狀態(tài)，狀態(tài)1為低相依狀態(tài)。兩狀態(tài)均顯示Gumbel Copula函數(shù)的權重最大，其次是Clayton Copula函數(shù)，F(xiàn)rank Copula函數(shù)的權重最小，表明了四大行業(yè)組成的金融行業(yè)的上尾相關性表現(xiàn)更明顯，即四大行業(yè)同漲概率更大；處于高相依狀態(tài)時，Gumbel Copula函數(shù)和Clayton Copula函數(shù)間的權重相差更大，說明行業(yè)間處于高相依性時，上尾情況較低相依時更為突出，即高相依狀態(tài)時，行業(yè)間更易同漲。兩狀態(tài)自身轉換的概率較大，其次低相依性向高相依狀態(tài)轉換的概率大于高相依向低相依性的轉換，即該時刻行業(yè)間為低相依性，下一時刻是高相依性的概率較高，進而表明了金融行業(yè)是高相依性行業(yè)，這和金融行業(yè)的實際情況一致。初始狀態(tài)為狀態(tài)2的概率接近于1，表明了初始時刻四大行業(yè)間處于高相依性。通過對表4與表5中4種Copula函數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)、AIC和BIC結果的比較，說明在隱馬爾科夫模型中嵌入混合Copula函數(shù)得到的動態(tài)混合Copula模型相比混合Copula和3個單一Copula函數(shù)更優(yōu)，這與淳偉德等[14]的研究結論一致。

行業(yè)間高相依性和低相依性的狀態(tài)是隱藏的，其可由節(jié)1.2中的Veterbi算法進行解碼，得到樣本區(qū)間的最優(yōu)動態(tài)轉換路徑圖(圖3)。

圖3 HMM混合Copula的兩狀態(tài)動態(tài)轉換

圖3顯示，高低相依狀態(tài)以一定的頻率進行轉換，但其頻率并非固定，高低相依轉換的頻率對應著金融行業(yè)間相依性程度的強弱。結果還顯示，樣本區(qū)間內我國金融行業(yè)的高相依性持續(xù)時間較長，主要發(fā)生于以下時間段：① 2011年5月—2012年5月。自交通銀行入股太?？德?lián)后，2011年銀郵代理壽險公司占比達到84.7%，銀郵保費收入占比近50%[15]，相比2010年分別增加了11.77%和5%，使得銀行入股保險公司進入“小高潮”，這促進了銀行和保險的深層次合作，使得金融子行業(yè)間的相依性增強；② 2013年5月—8月。5月下旬光大銀行同業(yè)違約的傳聞使得錢荒出現(xiàn)，央行的意外之舉，使得原本作為資金拆借的商業(yè)銀行進入借款大軍，銀行間拆借利率飆升，隨后央行并沒注入流動性，于是錢荒事件達到高潮，資金流動性緊張的影響蔓延至整個金融市場，使得各行業(yè)聯(lián)系緊密；③ 2014年5月—2014年10月。在經濟疲弱、股市低迷的市場態(tài)勢下，我國發(fā)布了針對完善我國資本市場的新“國九條”政策，該政策鼓勵金融市場多元化、產品創(chuàng)新化，以及培育私募市場，增強了股民對投資市場的信心，化解了市場資金的流動性問題，使得各行業(yè)緊密相連；④ 2015年6月8日—7月10日和8月1日—8月26日，持續(xù)時間并不太長。6月15日股市出現(xiàn)大跌，直到7月8日創(chuàng)下最低收盤價，跌幅達32%，基金公司開戶和券商收益均減少,銀行、信托中達平倉線的股票比例上升[16]，8月16日—8月26日出現(xiàn)了第二輪的下跌，跌幅達到了29%，上市公司大量停牌，人民幣也開始暴跌，最后引發(fā)了一場嚴重的股災，使得金融各行業(yè)的股票指數(shù)趨同性增加；⑤ 2015年10月底—2016年2月底和2016年4月中旬—2016年7月初。從2015年11月開始，人民幣開始慢慢貶值。12月美聯(lián)儲加息后人民幣加速貶值，2016年初，中國股市也出現(xiàn)了巨大的波動，多次暴跌甚至出現(xiàn)熔斷停盤現(xiàn)象，私募基金也嚴重受挫，國內市場資金短缺。第二季度后，人民幣貶值和英國脫歐事件不斷對國內市場帶來沖擊和擾動，國內債券也出現(xiàn)違約潮，使得市場發(fā)生大的波動和各行業(yè)的股票指數(shù)聯(lián)動性增強。根據Forbes和Rigbon[1]，相依性的增強可能導致風險發(fā)生傳染，則這些時段發(fā)生風險傳染的概率較大，因此，所建立的動態(tài)模型能有效捕捉金融重大事件。

圖4是分別處于高和低相依狀態(tài)的連續(xù)條件概率圖(上圖是低相依狀態(tài)概率圖，下圖是高相依狀態(tài)概率圖)，比較圖3和圖4，發(fā)現(xiàn)概率圖與行業(yè)間的高低相依性動態(tài)轉換圖一致，行業(yè)處于某相依狀態(tài)時，某相依狀態(tài)的條件概率大。從圖3、4中同時可以看出高相依狀態(tài)的持續(xù)時間更持久，這也說明了金融事件發(fā)生期間對應著行業(yè)間的高相依狀態(tài)。因此，當金融行業(yè)處于2狀態(tài)時，行業(yè)間具有更高的相依關系，那么發(fā)生金融風險傳染的概率較大。

圖4 HMM混合Copula的高低狀態(tài)條件概率

2.5 兩狀態(tài)的尾部相關性分析

(21)

表6中，兩狀態(tài)下銀行業(yè)和保險業(yè)上尾與下尾相依系數(shù)均最大，即表示任何時期，銀行業(yè)和保險業(yè)尾部相關性均最強，則共同發(fā)生極端事件的概率最大，那么它們之間的相互沖擊和影響也最大，其次是銀行業(yè)和證券業(yè)，其他3個行業(yè)與信托業(yè)的尾部系數(shù)均相對較?。桓呦嘁罓顟B(tài)下的行業(yè)尾部系數(shù)均大于低相依狀態(tài)下的尾部系數(shù)，說明行業(yè)處于高相依狀態(tài)時更易發(fā)生尾部風險，這與金融市場相一致；除了銀行業(yè)與信托業(yè)，行業(yè)間的上尾相關系數(shù)均大于下尾相依系數(shù)，說明金融四大行業(yè)處于高相依狀態(tài)時，上尾風險較大，該結論和表5中顯示的高狀態(tài)相依情況下上尾更突出一致。

表6 高相依狀態(tài)下行業(yè)之間的尾部系數(shù)

3 結束語

本文在隱馬爾科夫框架上嵌套混合Copula模型，構建了動態(tài)混合Copula模型，并研究我國金融四大子行業(yè)間的非線性動態(tài)相依關系以及尾部情況，結果表明：其一，將構建的HMM混合Copula與3種單一Copula、混合Copula模型相互比較，HMM混合Copula模型更優(yōu)，它能較好地表現(xiàn)出金融行業(yè)間的動態(tài)相依狀態(tài)和動態(tài)轉換路徑，還能捕捉我國重大金融事件的發(fā)生，表明了所構建的模型具備了混合Copula和隱馬爾科夫狀態(tài)動態(tài)性的雙重優(yōu)點；其二，高相依狀態(tài)時，我國金融子行業(yè)間的相依性較強，風險傳染的概率較大，則從相依性和傳染的角度看，可能會引發(fā)宏觀或系統(tǒng)性風險的發(fā)生；尾部情況表明高狀態(tài)下的金融行業(yè)間的尾部風險更大，此時銀行和保險業(yè)對彼此沖擊的敏感性較大，且更易受到對方沖擊的影響。