一類具比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡的全局穩(wěn)定性及仿真

邢 琳，周立群

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387）

遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡（RNNs），包括Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡、Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡和細胞神經(jīng)網(wǎng)絡等，其在信號處理、聯(lián)想記憶、優(yōu)化與控制和人工智能等方面有著重要的應用.這些應用大多要求平衡點的穩(wěn)定性，由于系統(tǒng)在運行過程中時滯普遍存在，因此研究具時滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性更有實際意義.

比例時滯作為一種無界時變時滯，在物理、生物、電子與計算科學等領域發(fā)揮著重要的應用.目前對比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性的研究已取得了一些成果[1-16].文獻[1-4]分別利用M-矩陣理論、時滯微分不等式、Young 不等式以及Lyapunov 穩(wěn)定性理論，得到了比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.文獻[5]應用定點理論和不等式分析技巧，研究了比例時滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[6-7]應用Lyapunov 穩(wěn)定性理論與相關(guān)不等式技巧，分別研究比例時滯脈沖二階Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性以及比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)同步性.文獻[8]利用微分不等式技巧得到了一類多比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡正平衡點的唯一性和廣義指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[9-10]應用矩陣理論和Lyapunov 函數(shù)，證明了兩類多比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性.文獻[11]利用非線性測度研究了多比例延時細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[12]利用內(nèi)積性質(zhì)和矩陣理論，得到了一類比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的耗散性.文獻[13-16]分別采用微分不等式技巧和微分包含理論研究了比例時滯非自治細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)收斂性和有限時間穩(wěn)定性、比例時滯模糊細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間同步性以及記憶神經(jīng)網(wǎng)絡的反同步控制性.本文對于一類比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡，運用對角（半）穩(wěn)定矩陣，并建立合適的Lyapunov 泛函，以及構(gòu)造時滯微分不等式,得到保證系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定和全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,該條件與時滯無關(guān),且與以往結(jié)果相比保守性較低.

1 模型與預備知識

考慮如下模型

其中：C=diag（c1，c2，…，cn），ci＞0；W=（wij）n×n為神經(jīng)網(wǎng)絡的權(quán)重矩陣；u（t）=（u1（t），u2（t），…，un（t））T為神經(jīng)元在時刻t 的狀態(tài)向量；g（·）為激活函數(shù)，g（u（t））=（g1（u1（t）），g2（u2（t）），…，gn（un（t）））T；I=（I1，I2，…，In）T為偏置性輸入；a、b∈R，a ＞0，b ＞0；qt=t-（1-q）t，滿足0 ＜q≤1，（1-q）t 為時滯函數(shù)，且當t→+∞時，（1 - q）t→+∞（q≠1）； φ（θ）=（φ1（θ），φ2（θ），…，φn（θ））T∈C（[q，1]，Rn）為系統(tǒng)的初始函數(shù)，C（[q，1]，Rn）表示從[q，1]到Rn的所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合.

做變換

由系統(tǒng)（1）知et≥1，因此t≥0，且有由系統(tǒng)（1）和式（2）可得

于是系統(tǒng)（1）可等價變換為

其中： τ=-ln q≥0； y（t）=（y（1t），y（2t），…，y（nt））T，ψ（θ）=（ψ（1θ），ψ（2θ），…，ψ（nθ））T∈C（[-τ，0]，Rn）.

假設g（·）滿足如下條件：（H）激活函數(shù)gi滿足連續(xù)的局部Lipschitz 條件，且為一致不減的函數(shù)，即對于任意常數(shù)xi0∈R，?εi0＞0，li0＞0，i=1，2，…，n，使得

其中：σ、ρ∈[xi0-εi0，xi0+εi0]，σ≠ρ.

設系統(tǒng)（1）的平衡點為u*, 系統(tǒng)（3）的平衡點為y*，由假設（H）知系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）的平衡點均存在,且易證u*=y*.令z（t）=y（t）-y*，則系統(tǒng)（3）可變換為

其中：f（z（t））=（f1（z1（t）），f2（z2（t）），…，fn（zn（t）））T=g（z（t）+y*）- g（y*），f（0）=0； ξ（θ）=ψ（θ） - y*.f 也滿足條件（H），因此,系統(tǒng)（4）零解的穩(wěn)定性與相應的系統(tǒng)（3）的平衡點的穩(wěn)定性等價.

定義1稱n×n 矩陣A 為對角半穩(wěn)定的（或?qū)欠€(wěn)定的）,如果存在正對角矩陣K，使得KA+ATK≤0（或KA+ATK ＜0）.

定義2稱系統(tǒng)（4）的平衡點z*=0 是全局漸近穩(wěn)定的,如果對于任何初始值都有

定義3稱系統(tǒng)（4）的平衡點z*=0 是全局指數(shù)穩(wěn)定的,如果存在M≥1，β ＞0，使得

定義4設存在ai＞0，使得|zi（t）|≤ai，?t≥0，i=1，2，…，n.記

若在GH內(nèi)存在正定函數(shù)V（z（t），t），使得則系統(tǒng)（4）的零解是穩(wěn)定的.

命題1[17]存在正函數(shù)li（zit），i=1，2，…，n，滿足

命題2[17]存在正連續(xù)變量li0滿足

?sit=即sit是介于0 與zit之間的函數(shù)，D+fi（sit）為fi（sit）的Dini 導數(shù).

命題3[17]存在正連續(xù)變量li0，i=1，2，…，n，滿足

2 主要結(jié)果

定理1若系統(tǒng)（1）中矩陣W 是對角穩(wěn)定的,且滿足條件（H），則系統(tǒng)（1）的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

證明因為W 是對角穩(wěn)定的,因此存在正對角矩陣K=diag（k1，k2，…，kn），使得KW+WTK ＜0.考慮如下Lyapunov 泛函

由命題1 知V（t）≥0，即V（t）是正定的.易知afi（zi（t））+bfi（zi（t-τ））滿足條件（H）.對V（t）沿系統(tǒng)（4）對t≥0求導，得

其中cmin（C）表示矩陣C 的最小的特征值.

設z（t）≠0，則存在某個i,使得zi（t）≠0，由V（t）的定義知V（t）＞0，再由式（5）得

考慮z（t）=0，若z（t -τ）=0，由式（5）得

利用一塔兩線模型分析得到的系統(tǒng)振動特性,與三塔兩線等其他更為復雜的模型得到的結(jié)論基本一致[13].因此,可以將多跨連續(xù)的塔-線體系結(jié)構(gòu)簡化為一基塔與兩跨線組成的簡化系統(tǒng),如圖1所示.將塔-線體系中的輸電塔、導線分別視為懸臂梁和弦線,得到的一塔兩線連續(xù)體簡化力學模型[14].

設z（t）=0，z（t-τ）=0，此時顯然有

定理2若系統(tǒng)（1）中矩陣W 是對角穩(wěn)定的,且滿足條件（H），并且存在常數(shù)α ＞0，使得

則系統(tǒng)（1）是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證明仍考慮定理1 中的Lyapunov 泛函,由定理1 知系統(tǒng)（4）的零解z（t）=0 是全局漸近穩(wěn)定的.由定義2 知，存在ai＞0，使得|zi（t）|≤ai，?t≥0，i=1，2，…，n.

由命題3 得

其中z0=（z10，z20，…，zn0）T.定義如下連續(xù)函數(shù)

對Ei（v）取Dini 導數(shù),得

由命題2 可知

于是有

從而

由命題3 得

所以

于是?zit∈[-ai，ai]，Ei（v）≥Ei（0）=0，即有

于是有

定義

由式（4）及式（7）可得

因此

由此不難得到

斷言xi（t）≤T，i=1，2，…，n，t∈（0，+∞）.先證對d ＞1，有

若式（10）不成立，則由式（9）可知存在t1＞0 和某個i（不妨設為k），使得

其中：-τ≤t ＜t1，i=1，2，…，n.

另一方面，由式（6）和式（8）有

因此得到矛盾.于是有

當d→1 時，有

于是可得

其中α ＞0，λ≥1，i=1，2，…，n.由定義3，系統(tǒng)（4）的零點是全局指數(shù)穩(wěn)定的，從而系統(tǒng)（1）的平衡點也是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

定理3若系統(tǒng)（1）中矩陣W 是對角半穩(wěn)定的，且滿足條件（H），則系統(tǒng)（1）的平衡點是穩(wěn)定的.

證明對于定理1 中的Lyapunov 泛函，當z（t）=0，z（t-τ）≠0 時，由式（5）有

其余過程同定理1.由定義4 知系統(tǒng)（4）的零解是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)（1）的平衡點是穩(wěn)定的.

3 數(shù)值算例及仿真

例考慮如下二維模型

其中

故有

取α=0.001，計算得

故滿足定理2 的條件，則系統(tǒng)（12）的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

當系統(tǒng)（12）外部輸入I=（0，0）T時，系統(tǒng)平衡點是（0，0）T.系統(tǒng)（12）的全局指數(shù)穩(wěn)定性見相軌跡圖1和時間響應曲線圖2.

圖1 當I=（0，0）T 時，系統(tǒng)（12）的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of System（12）when I=（0，0）T

圖2 當I=（0，0）T 時，系統(tǒng)（12）的時間響應曲線Fig.2 Time response trajectory of System（12）when I=（0，0）T

當系統(tǒng)（12）外部輸入I=（1，-1）T時，應用Matlab計算得系統(tǒng)平衡點為（1.329 6，-1.097 5）T.系統(tǒng)（12）平衡點的全局指數(shù)穩(wěn)定性見相軌跡圖3 和時間響應曲線圖4.

圖3 當I=（1，-1）T 時，系統(tǒng)（12）的相軌跡Fig.3 Phase trajectory of System（12）when I=（1，-1）T

圖4 當I=（1，-1）T 時，系統(tǒng)（12）的時間響應曲線Fig.4 Time response trajectory of System（12）when I=（1，-1）T