Simpson改進(jìn)的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在汽車保有量中的預(yù)測(cè)

吳文青，夏 杰

(1. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010; 2. 電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

0 引 言

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、國(guó)民收入水平的提高，汽車產(chǎn)業(yè)蓬勃興起。2017年底我國(guó)汽車保有量已達(dá)2.17億輛，近20年間汽車保有量增長(zhǎng)近18倍。汽車產(chǎn)業(yè)能夠帶動(dòng)鋼鐵、橡膠、石油等相關(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，推動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)[1]。汽車保有量的快速增長(zhǎng)也會(huì)帶來(lái)交通擁堵、環(huán)境污染、能源短缺等一系列問(wèn)題。為此，科學(xué)、準(zhǔn)確的對(duì)汽車保有量進(jìn)行預(yù)測(cè)是制定科學(xué)決策和計(jì)劃的基礎(chǔ)[2,3]，對(duì)道路交通和汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，以及環(huán)境污染治理措施和汽車產(chǎn)業(yè)相關(guān)政策的制定能提供理論支撐。

對(duì)汽車保有量的預(yù)測(cè)現(xiàn)已有大量研究。周騫等[4]建立了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多相關(guān)因素汽車保有量預(yù)測(cè)模型；夏鈺等[5]建立了出租車保有量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，并驗(yàn)證了該模型預(yù)測(cè)城市出租汽車保有量的可行性；王琦等[6]通過(guò)熵值法確定灰色系統(tǒng)、多元回歸、指數(shù)平滑、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)4種預(yù)測(cè)方法的加權(quán)系數(shù)，建立了組合預(yù)測(cè)模型；孫璐等[7]提出了一種新的基于主成份分析和隱馬爾可夫模型的汽車保有量預(yù)測(cè)方法；王棟[8]運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)汽車保有量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；王明銳等[9]應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法建立了汽車保有量預(yù)測(cè)模型；張?zhí)m怡等[10]基于PCA-Logistic回歸模型對(duì)福建省汽車保有量進(jìn)行預(yù)測(cè)；羅志軍等[11]提出一種基于粒子群算法的汽車保有量預(yù)測(cè)方法，建立了一種多因素汽車保有量預(yù)測(cè)模型。

從上述研究文獻(xiàn)可知，汽車保有量預(yù)測(cè)模型主要包括時(shí)間序列模型、Logistic模型、Bass模型、灰色GM(1,1)模型、自回歸模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、支持向量機(jī)及組合預(yù)測(cè)模型等。時(shí)間序列法和彈性系數(shù)法基于汽車保有量的歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型，該方法計(jì)算原理簡(jiǎn)單但不能反映其內(nèi)在因素的影響?；貧w分析法利用與汽車保有量相關(guān)的指標(biāo)建立回歸分析模型，所需的數(shù)據(jù)量大且預(yù)測(cè)精度不高?；疑獹M(1,1)模型所需的樣本數(shù)據(jù)少，但要求汽車保有量具有指數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)。Logistic模型對(duì)汽車保有量預(yù)測(cè)時(shí)，需要選取不同的參數(shù)得出不同的擬合效果，預(yù)測(cè)精度不高。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性數(shù)據(jù)具有較高的處理能力，但在訓(xùn)練中容易陷入局部最優(yōu)解，達(dá)不到精度要求。組合預(yù)測(cè)模型如何確定各單項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重研究尚未成熟，預(yù)測(cè)精度也有待進(jìn)一步研究。為此，如何提高預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度是一個(gè)待解決的問(wèn)題。

筆者結(jié)合灰色預(yù)測(cè)模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化組合預(yù)測(cè)，充分利用汽車保有量預(yù)測(cè)因素，對(duì)汽車保有量進(jìn)行預(yù)測(cè)研究。首先利用Simpson積分公式對(duì)梯形公式GM(1,1)的背景值進(jìn)行改進(jìn)，得出Simpson公式改進(jìn)的GM(1,1)模型。然后利用相關(guān)性分析找出與汽車保有量相關(guān)性較高的因素，并把相關(guān)性因素作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，以建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。進(jìn)一步根據(jù)灰色系統(tǒng)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)誤差的大小確定組合模型的權(quán)重，使灰色系統(tǒng)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，建立灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Simpson公式的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。以2000—2010年汽車保有量的實(shí)際數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù)，2011—2016年的數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)比分析GM(1,1)、Simpson公式改進(jìn)的GM(1,1)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Simpson公式的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度。

1 研究方法

1.1 GM(1,1)預(yù)測(cè)模型

GM(1,1)灰色模型[12,13]建立如下：

設(shè)原始非負(fù)序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),建立灰色微分方程為：

(1)

(2)

記Z1(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列：Z1(1)=(z1(1)(2),z1(1)(3),…,z1(1)(n))。背景值z(mì)1(1)(k)可表示為：

z1(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))，

k=2,3,…,n

(3)

為此，灰色微分方程式(1)轉(zhuǎn)化為：

k=2,3,…,n

(4)

若u1=[a1,b1]T為參數(shù)列，則式(4)的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足：

(5)

且有：

為了方便計(jì)算，把矩陣B1表示為

B1=(-(z1)(n-1)×n,e(n-1)×1)，

其中e(n-1)×1為(n-1)×1維的單位矩陣，B1可表示為：

GM(1,1)模型的時(shí)間序列為：

k=1,2,…,n

(6)

還原后x(0)的預(yù)測(cè)值為：

(7)

1.2 基于Simpson公式改進(jìn)的GM(1,1)模型

借助Simpson數(shù)值積分公式，考慮式(1)在[k-1,k+1]上的積分，有：

k=2,3,…,n-1

(8)

式(8)進(jìn)一步可表示為：

k=2,3,…,n-1

(9)

利用Simpson積分公式，可得：

(10)

式(10)可轉(zhuǎn)化為：

4x(1)(k)+x(1)(k+1)]=2b2,

k=2,3,…,n-1

(11)

式(11)進(jìn)一步可表示為：

(a2+3)x(1)(k+1)+4a2x(1)(k)+(a2-3)x(1)(k-1)-6b2=0,

k=2,3,…,n-1

(12)

(13)

設(shè)u2=[a2,b2]T為參數(shù)列，應(yīng)用最小二乘法原理參數(shù)列滿足：

(14)

式中：

進(jìn)一步把矩陣B2表示為B2=(-(z2)(n-1)×n,e(n-1)×1)：

1.3 背景值誤差產(chǎn)生比較

由式(7)可知，GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度取決于參數(shù)a1,b1，然而模型的預(yù)測(cè)精度主要由背景值決定。對(duì)式(1)在[k-1,k]上的積分為：

k=1,3,…,n

進(jìn)一步可化為：

則背景值可轉(zhuǎn)化為：

x(1)(k-1))

GM(1,1)背景值的幾何意義是積分曲線x(1)(t)在區(qū)間[k-1,k]上與t軸所圍成的曲邊梯形的面積，如圖1。然而Simpson公式的GM(1,1)模型中，其幾何意義是積分曲線在x(1)(t)在區(qū)間[k-1,k+1]上與t軸所圍成的曲邊梯形的面積，如圖2，其產(chǎn)生的誤差比梯形公式的GM(1,1)模型誤差小。

圖1 真實(shí)值與梯形公式背景值的比較Fig. 1 Comparison between real and background values of trapezoidal formula

圖2 真實(shí)值與Simpson公式背景值的比較Fig. 2 Comparison between real and background values of Simpson formula

1.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

1985年，美國(guó)加州大學(xué)的魯梅爾哈特和麥克萊蘭等人提出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已廣泛應(yīng)用于圖像處理、模式識(shí)別、語(yǔ)言處理、預(yù)測(cè)分析等各個(gè)領(lǐng)域。從結(jié)構(gòu)上看，該模型具有輸入層，隱含層和輸出層，是一種典型的多層前向型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

1.4.1 神經(jīng)元模型

一個(gè)基本的BP神經(jīng)元，具有R個(gè)輸入，每個(gè)輸入都通過(guò)一個(gè)對(duì)應(yīng)的權(quán)值w和下一層相連，網(wǎng)絡(luò)輸出可表示為：

Y=f(wp+b)

(15)

式中：f為輸入與輸出的傳遞函數(shù)；w代表權(quán)值；b為隱含層神經(jīng)元的偏置值。

1.4.2 激勵(lì)函數(shù)

神經(jīng)元的各種不同的數(shù)學(xué)模型的主要區(qū)別在于采用了不同的激勵(lì)函數(shù)，常見(jiàn)的激勵(lì)函數(shù)有：閾值型、分段線性飽和型、S型、子閾累積型。筆者選取S型函數(shù)，其表達(dá)式為：

(16)

1.4.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法

設(shè)樣本X=[x1,x2,…xm]′，Y=[y1,y2,…ym]′，隱含層神經(jīng)元為O=[O1,O2,…Om]′。

則隱含層神經(jīng)元的輸出為：

j=1,2,…l

(17)

輸出層神經(jīng)元的輸出為：

k=1,2,…n

(18)

網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出的誤差為：

(19)

(20)

式(20)中負(fù)號(hào)表明梯度下降，η∈(0,1)是常數(shù)，反映了學(xué)習(xí)過(guò)程中的學(xué)習(xí)梯度。

1.5 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型

組合預(yù)測(cè)模型[15,16]綜合考慮各項(xiàng)單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，用恰當(dāng)?shù)慕M合權(quán)重對(duì)其進(jìn)行加權(quán)平均得到組合預(yù)測(cè)模型。組合預(yù)測(cè)模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是合理的確定組合權(quán)系數(shù)。目前，研究學(xué)者主要以絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差作為導(dǎo)出組合權(quán)系數(shù)的優(yōu)化準(zhǔn)則。筆者采用灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將灰色模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)加權(quán)方式優(yōu)化組合，使2種預(yù)測(cè)方法優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，提高預(yù)測(cè)精確，其結(jié)構(gòu)如圖3。

圖3 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig. 3 Gray neural network structure

設(shè)xt1，xt2分別表示人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型和灰色預(yù)測(cè)模型在第t個(gè)時(shí)段得到的預(yù)測(cè)值，Yt表示第t個(gè)時(shí)段組合預(yù)測(cè)值，c1，c2分別表示兩種模型的權(quán)系數(shù)，則可得到：

Yt=c1xt1+c2xt2,

t=1,2,…n

(21)

且c1+c2=1

設(shè)r1,r2,r分別為灰色預(yù)測(cè)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、組合預(yù)測(cè)模型的誤差，x(0)(t)為原始序列，則誤差可分別表示為：

(22)

為了提高預(yù)測(cè)精度，需要使模型的誤差平方和最小，即：

(23)

進(jìn)一步，設(shè)取到每個(gè)預(yù)測(cè)值的概率均為P(每次取到的概率相等)，組合預(yù)測(cè)Yt的誤差平方和最小，可轉(zhuǎn)化為求其方差最小，即：

(24)

為了找到組合預(yù)測(cè)Yt的最小值，對(duì)Var(r)關(guān)于c1求偏導(dǎo)數(shù)，找到其最小值：

(25)

可得：

(26)

記Var(r1)=S11,Var(r2)=S22,Cov(r1,r2)=S12,因?yàn)榛疑A(yù)測(cè)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型互相獨(dú)立，因此S12=0，則可得：

(27)

最后，將計(jì)算所的c1,c2代入式(21)可得灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值。

為了檢驗(yàn)各個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度，采用預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的相對(duì)誤差，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行檢驗(yàn)預(yù)測(cè)精確度。記δ為預(yù)測(cè)相對(duì)誤差，S為預(yù)測(cè)誤差的均方差，Yt為第t個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，x(0)(t)為第t個(gè)時(shí)刻實(shí)際值，則：

(28)

2 中國(guó)汽車保有量預(yù)測(cè)分析

2.1 汽車保有量影響因素相關(guān)性分析

汽車保有量預(yù)測(cè)具有很大程度的不確定性，影響汽車保有量的因素較多，國(guó)民經(jīng)濟(jì)、人口總數(shù)、固定資產(chǎn)投資、進(jìn)出口額，政府政策等都會(huì)影響汽車保有量的增長(zhǎng)[17]。綜合考慮影響汽車保有量的各個(gè)因素和數(shù)據(jù)的可操作性，利用MATLAB軟件對(duì)汽車保有量有關(guān)的指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)性分析，相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表1。最終選取國(guó)民總收入、人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、總?cè)丝?、固定資產(chǎn)投資、進(jìn)出口總額、鋼材產(chǎn)量、社會(huì)消費(fèi)品零售總額7個(gè)因素作為中國(guó)汽車保有量的主要影響因素。數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)和《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2017》[18]。

表1 汽車保有量相關(guān)系數(shù)Table 1 Correlation coefficient of car ownership

2.2 模型預(yù)測(cè)

筆者利用MATLAB軟件編程，以2000—2010年共11年的中國(guó)民用汽車保有量歷史數(shù)據(jù)對(duì)2011—2016年共6年的汽車保有量進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果分別對(duì)梯形公式的GM(1,1)模型、Simpson公式的GM(1,1)模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。

2.2.1 梯形公式的GM(1,1)模型

由1.1的計(jì)算表達(dá)式求得GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的發(fā)展系數(shù)a1=-0.175 9，灰色作用量b1=1 116.09，GM(1,1)模型的時(shí)間序列為

k=1,2,…,n

(29)

求得的預(yù)測(cè)值與相對(duì)誤差見(jiàn)表2。

2.2.2 Simpson公式的GM(1,1)模型

由1.2的計(jì)算表達(dá)式，求得基于Simpson公式的GM(1,1)模型的發(fā)展系數(shù)a2=-0.175 4，灰色作用量b2=1 112.85，Simpson公式GM(1,1)模型的時(shí)間序列可表示為：

k=1,2,…,n-1

(30)

求得的預(yù)測(cè)值及誤差見(jiàn)表2。

2.2.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

筆者用MATLAB進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，其中模型的輸入層為影響汽車保有量的因素，輸出層為汽車保有量，具體設(shè)計(jì)如下：①輸入層：選取國(guó)民總收入、人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、總?cè)丝?、固定資產(chǎn)投資、進(jìn)出口總額、鋼材產(chǎn)量、社會(huì)消費(fèi)品零售總額共7個(gè)指標(biāo)作為輸入層；②輸出層：汽車保有量作為輸出層。

1)模型的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

經(jīng)過(guò)多次訓(xùn)練比較，得出誤差最小的3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為7×40×1。在訓(xùn)練過(guò)程中，選取tansig函數(shù)為輸入層與隱含層的傳遞函數(shù)，purelin為隱含層與輸出層的傳遞函數(shù)，選取trainbr為訓(xùn)練函數(shù),選取learngdm為網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)函數(shù)。

2)模型網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的選取及參數(shù)設(shè)定

參數(shù)設(shè)置為：net.trainparam.epochs=10000為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的最大次數(shù)，net.trainparam.lr=0.01為學(xué)習(xí)效率，net.train- param.show=20為每20輪顯示一次，net.trainpara- m.goal=5×10-5為訓(xùn)練誤差。

從而得到汽車保有量預(yù)測(cè)值見(jiàn)表2。

2.2.4 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型

鑒于灰色模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)單一使用時(shí)都有一定的局限性，采用將灰色模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)加權(quán)的方式優(yōu)化組合，通過(guò)加權(quán)操作簡(jiǎn)單且能使兩種模型優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，提高預(yù)測(cè)精度。結(jié)合灰色預(yù)測(cè)模型與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值，計(jì)算相應(yīng)誤差的方差，以式(27)求得組合權(quán)重系數(shù)。其中灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)的權(quán)重c11=0.191 95，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重c12=0.808 05?；赟impson公式的GM(1,1)權(quán)重c21=0.206 46，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重c22=0.765 38。求得的組合灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)值及其相對(duì)誤差見(jiàn)表2。

表2 基于不同模型的中國(guó)汽車擁有量預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比Table 2 Comparison table of predicted and actual value of china’s car ownership based on different models

2.3 模型精度比較

由表2可得，采用灰色GM(1,1)模型、Simpson公式的GM(1,1)模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、組合灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Simpson改進(jìn)的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的相對(duì)誤差均在16%以內(nèi)，其誤差的均方差為62.958 1, 60.381 6, 12.043 4, 3.506 9, 3.279 0。為更直觀的看出各個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度，對(duì)各個(gè)預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差繪制直方圖，見(jiàn)圖4。相比較而言，Simpson改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度比GM(1,1)模型精度高。此外，組合Simpson改進(jìn)的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度最高，預(yù)測(cè)效果優(yōu)于灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、GM(1,1)模型、Simpson改進(jìn)的GM(1,1)模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

圖3 基于不同模型的汽車保有量相對(duì)誤差對(duì)比Fig. 3 Relative error comparison of car ownership based on different models

3 結(jié) 語(yǔ)

筆者利用Simpson公式對(duì)灰色GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了基于Simpson公式的灰色GM(1,1)模型。根據(jù)灰色系統(tǒng)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)誤差的大小確定組合模型的權(quán)重，構(gòu)建灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型，并以中國(guó)汽車保有量為例進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。研究表明：筆者建立的模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差在16%以內(nèi)，可得所建模型是有效可行的?；赟impson公式的改進(jìn)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度比梯形公式的GM(1,1)精確度高，Simpson公式的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)精度最高，其相對(duì)誤差均在3%以內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)方差為3.278 0，小于灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、GM(1,1)模型、Simpson改進(jìn)的GM(1,1)模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。