數(shù)借形理解 形助數(shù)深入

石志江

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：教學(xué)活動(dòng)要使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。而數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)思想之一，它能使抽象的、復(fù)雜的概念變成形象的、具體的事物，降低學(xué)習(xí)難度，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)效率。

前不久，筆者參加了在南京市北京東路小學(xué)舉行的教研活動(dòng)，有幸聆聽了一節(jié)數(shù)學(xué)課《數(shù)與形》，從中感受到數(shù)形結(jié)合的美?，F(xiàn)結(jié)合其中的教學(xué)片斷，談?wù)勛约旱母惺堋?/p>

片段一：以形化數(shù)——激發(fā)興趣，引入新課。

屏幕呈現(xiàn)：用1個(gè)橙色，3個(gè)藍(lán)色，5個(gè)紫色和7個(gè)白色小正方形拼出的愛心。

師：同學(xué)們，你們看，黑板上是什么？

生：一個(gè)愛心。

師：如果讓你用數(shù)學(xué)的眼光來觀察這個(gè)圖形，你看到了什么？

生1：這是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。

生2：這是由16個(gè)小正方形拼成的圖案。

生3：這個(gè)圖形由1個(gè)橙色、3個(gè)藍(lán)色、5個(gè)紫色和7個(gè)白色小正方形拼成，一共有16個(gè)。

教師板書：1+3+5+7=16。

師：如果讓你重新擺放這16個(gè)正方形，怎樣可以一眼看出是16個(gè)正方形呢？

請(qǐng)同桌兩人合作一起擺一擺，試一試。

生1：我可以每行四個(gè)，擺四行，這樣就變成了一個(gè)正方形。

生2：如果按顏色擺，就可以擺成一個(gè)金字塔。

生3：我可以把每種顏色擺在一起，每行四個(gè)，擺四行，也擺成一個(gè)正方形。

師：同學(xué)們，比較這三種擺法，你更喜歡哪一種？

生1：我喜歡第三種，這種方法更有序。

生2：我也喜歡第三種，它不但可以用42來表示16，也可以用1+3+5+7來表示。也就是說它把前面兩種擺法給概括了。

評(píng)析：從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，設(shè)計(jì)用4種共16張小正方形紙片拼成的愛心圖案引入本節(jié)課，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形，從中抽取有用的素材進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這符合認(rèn)知的一般規(guī)律。讓學(xué)生對(duì)16張正方形紙片重新排列，并說明自己喜歡的原因。讓不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形，并用數(shù)字表示，讓操作與思考并重，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

片斷二：以數(shù)化形——初步探究，自主嘗試。

師：古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就是這樣研究“16”的，他們把正方形圖變成了點(diǎn)陣圖。他們把“16”稱為“正方形數(shù)”，16既可以用“42”來表示，也可以用“1+3+5+7”來表示。

師：你還知道哪些正方形數(shù)？

生：1、4、9、25……

師：這些正方形數(shù)都是一個(gè)自然數(shù)的平方。它們又和哪些加數(shù)有關(guān)呢？選擇兩到三個(gè)正方形數(shù)研究一下，把你的思考過程記錄下來。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：從1開始，連續(xù)奇數(shù)的和等于加數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

師：如果正方形數(shù)比較大，怎樣可以很快知道最后一個(gè)奇數(shù)是多少？

生：正方形邊長(zhǎng)乘2減1。

師：通過剛才的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)原來數(shù)和圖形之間還有著這樣的聯(lián)系。

評(píng)析：深度學(xué)習(xí)不是盲目地提高學(xué)習(xí)難度，而是讓學(xué)生進(jìn)行更深入的思考。凡是學(xué)生自己能理解和感悟的，讓學(xué)生自己去學(xué)習(xí)。本環(huán)節(jié)通過小組合作、反思交流等途徑讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)轉(zhuǎn)化成形的過程，深刻領(lǐng)悟正方形數(shù)的特點(diǎn)，初步體會(huì)數(shù)化成形的思想。

片段三：數(shù)形互化——再次探究，深度學(xué)習(xí)。

師：這16個(gè)點(diǎn)橫著觀察，我們可以用“42”來表示;一層一層觀察，可以用“1+3+5+7”來表示。還能怎么觀察？

生：斜著觀察。

師：斜著觀察16可以表示成什么？

生：16=1+2+3+4+3+2+1。

師：其他正方形數(shù)又可以表示成什么？

生：這些加數(shù)的和是中間數(shù)的平方，中間數(shù)就是正方形的邊長(zhǎng)。

師：通過數(shù)形結(jié)合我們認(rèn)識(shí)了正方形數(shù)。你們猜畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還研究了什么數(shù)？

生：五邊形數(shù)、六邊形數(shù)……

師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把這些數(shù)統(tǒng)稱為多邊形數(shù)。

師：通過圖形，我們對(duì)數(shù)有了更深層次的了解。這就是我們這節(jié)課研究的主題：數(shù)與形。數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題直觀化。

評(píng)析：讓學(xué)習(xí)往下再走一步！上面的教學(xué)活動(dòng)，通過教師的實(shí)時(shí)引導(dǎo)和追問，讓課堂別開生面，誰都不能一口說出答案，學(xué)生需要細(xì)心觀察、認(rèn)真思考，這就是有意義的學(xué)習(xí)，這就是深度學(xué)習(xí)。教師實(shí)時(shí)出示五邊形數(shù)、六邊形數(shù)，豐富學(xué)習(xí)的內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)多邊形數(shù)的理解更深入，同時(shí)進(jìn)一步感受數(shù)形互化的思想。

片斷四：數(shù)形結(jié)合——回顧比較，發(fā)展思維。

師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究的多邊形數(shù)，有一個(gè)共同特點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：點(diǎn)是一層一層增加的。

師：除了一層一層增加，還能怎么增加呢？如果是一圈一圈增加，點(diǎn)的個(gè)數(shù)又有什么規(guī)律呢？你能給這些數(shù)取個(gè)名字嗎？

生：奇數(shù)平方數(shù)。

師：你還想研究什么數(shù)？

生：偶數(shù)平方數(shù)。

師：請(qǐng)同學(xué)們用我們今天學(xué)習(xí)的方法，課后嘗試研究偶數(shù)平方數(shù)，好嗎？

評(píng)析：如果思考深度不夠，那么理解就不夠，更談不上深度學(xué)習(xí)了。本環(huán)節(jié)看似簡(jiǎn)單，讓學(xué)習(xí)活動(dòng)自然發(fā)生、自然展開，教師讓學(xué)生用所學(xué)的方法與已有的經(jīng)驗(yàn)去探究未知世界，這其實(shí)就是研究的目的與學(xué)習(xí)的歸宿。

著名作家巴爾扎克說過，一個(gè)能思考的人，才真正是一個(gè)力量無邊的人。本節(jié)課中，教師通過數(shù)與形的巧妙結(jié)合，讓學(xué)生的思維更加有序，從低層次走向高層次，讓學(xué)習(xí)變得更有深度。課堂中學(xué)生的表達(dá)與教師實(shí)時(shí)呈現(xiàn)的模塊化板書，讓學(xué)生零星的思維成果更加完整。教師通過具體的情境與實(shí)時(shí)呈現(xiàn)的圖形，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的歸納總結(jié)過程，并激發(fā)學(xué)生更深層次的思考，讓他們知道知識(shí)的來龍去脈。教師提出富有挑戰(zhàn)性的問題，鼓勵(lì)學(xué)生帶著所積累的知識(shí)與方法，課后繼續(xù)探究新的問題，課雖然結(jié)束了，研究與思考卻還在持續(xù)。

（作者單位：江蘇省淮安市東雙溝小學(xué)）