莫為浮云遮望眼撥開迷霧見真顏—對(duì)2019年高考浙江卷第21題的探究

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

每年都有不少的優(yōu)質(zhì)高考試題，這些試題都是命題專家精心設(shè)計(jì)的杰作，凝聚了命題專家的集體智慧，對(duì)中學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向性，值得我們?nèi)テ肺?要充分認(rèn)識(shí)高考題所蘊(yùn)含的價(jià)值，挖掘高考題的功能，發(fā)揮其內(nèi)在作用，并以此來促進(jìn)教學(xué).

下面筆者以今年浙江省高考的解析幾何大題為例，進(jìn)行詳細(xì)解答與分析，并進(jìn)行探究，供大家參考，希望能拋磚引玉.

一、題目呈現(xiàn)與分析

題目(2019年高考浙江卷第21題)如圖1，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;

圖1

試題分析題目結(jié)構(gòu)清晰，知識(shí)方面主要考查拋物線的有關(guān)定義與基礎(chǔ)知識(shí)，直線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，重心性質(zhì)，三角形的面積，均值不等式等;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運(yùn)算求解等方面的能力，試題的思維過程和運(yùn)算過程體現(xiàn)了能力立意的命題思想，較好地體現(xiàn)了對(duì)直線與圓錐曲線的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

由于問題(1)較為簡(jiǎn)單，本文不作討論，下面只對(duì)問題(2)進(jìn)行探究.

二、解法探析

解法一(官方答案)(1)由題意得即p=2.所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.

(2)由(1)可得拋物線的方程為y2=4x，設(shè)A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，G(xG,yG).令yA=2t，t0，則xA=t2.由于直線AB過F，故直線AB方程為代入y2=4x，得故2tyB=-4，即所以又由于xG=及重心G在x軸上，故得所以，直線AC方程為y-2t=得由于Q在點(diǎn)F右側(cè)，故t2＞2，從而

令m=t2-2，則m＞0，

評(píng)注本解法是通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到面積比的表達(dá)式，換元后利用均值不等式得出答案.此方法本運(yùn)算量雖大，但方法是通性通法，是解決直線與圓錐曲線相關(guān)問題的最常用手段.所以在平時(shí)的教學(xué)中要注重一般性的解題規(guī)律和方法，要重視知識(shí)的生成過程，盡量創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

解法二(以點(diǎn)為參數(shù))

所以

評(píng)注在處理拋物線有關(guān)問題時(shí)，直接用點(diǎn)的坐標(biāo)作為變量也是一種較為常用的方法，這是由拋物線的特點(diǎn)決定的：用其中一個(gè)坐標(biāo)能比較容易表示另一個(gè)坐標(biāo).本解法的好處是不用聯(lián)立方程組，在面積作比時(shí)消去了一項(xiàng)，從而得到一個(gè)二次比二次的式子，既可以換元用均值不等式求最值，也可以用導(dǎo)數(shù)求最值，比解法一的運(yùn)算量要少.

以上的兩種解法，從不同的角度出發(fā)思考問題，各顯神通.這充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)高考題的不拘一格，一道試題往往考查多種能力、多種思想方法;同時(shí)，高考試題在命制時(shí)充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個(gè)體差異，多數(shù)試題的解答方法、思維方式不是唯一，一題多解，給考生提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過方法的選擇、解題時(shí)間的長(zhǎng)短，甄別出考生能力的差異，達(dá)到精確區(qū)分考生的目的.另外也說明高考要突出考查知識(shí)主干，貼切教學(xué)實(shí)際，重視數(shù)學(xué)的基本能力與思想方法，所以我們要在平時(shí)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中重視知識(shí)的儲(chǔ)備和方法的積累，才有可能縮短思維的長(zhǎng)度，達(dá)到事半功倍的效果.

三、結(jié)論推廣

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“解題就象采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí)，它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈.”解答完本題后，思考：試題的問題(2)中，取得最小值的這個(gè)結(jié)論能否在拋物線中一般化?解答方法是否依然有效?經(jīng)進(jìn)一步的探究，可得如下結(jié)論：

結(jié)論1如圖1，已知拋物線Γ:y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)是F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.則的最小值為

結(jié)論2如圖1，已知拋物線Γ:y2=2px(p＞0)，過點(diǎn)F(f,0)(f＞0)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.則的最小值為

由于結(jié)論2比結(jié)論1更具一般性，下面只給出結(jié)論2的解答.

結(jié)論2的證明設(shè)G(g,0)，Q(q,0).則由A,F,B共線，得kAB=kAF，即化簡(jiǎn)得ab=-2pf.同理，由A,Q,C共線，可得ac=-2pq.因?yàn)椤鰽BC的重心G，于是即得c=-a-b，g=其中a＞0＞b.故

四、試題的衍生性質(zhì)

結(jié)論3如圖1，已知拋物線Γ:y2=2px(p＞0)，過點(diǎn)F(f,0)(f＞0)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2，當(dāng)取得最小值時(shí)，有CG⊥x軸.

結(jié)論3的證明由結(jié)論2的解答，可知當(dāng)時(shí)令取得最小值此時(shí)即于是聯(lián)立

由于c=-a-b，得

五、試題的本質(zhì)探索

通過試題與試題的推廣，再進(jìn)一步思考：圓錐曲線一般有著類似的性質(zhì)，這體現(xiàn)圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美，那么橢圓與雙曲線是不是也具有類似結(jié)論1與結(jié)論2的性質(zhì)?

答案是肯定的，而且還可以得到更一般的結(jié)論：

結(jié)論4如圖2，在△ABC中，若G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線交AB于點(diǎn)F(F與點(diǎn)A,B不重合)，交AC于點(diǎn)Q(Q與點(diǎn)A,C不重合)，記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.則的最小值為

圖2

結(jié)論4的簡(jiǎn)解因?yàn)镚是△ABC的重心，所以設(shè)則由于F,G,Q共線，故即λ+μ=3(0＜μ＜3).因?yàn)橛杏忠蛑本€AG經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)，易得S△ABG=S△ACG.所以

評(píng)注可以看出，結(jié)論4是試題的命題本質(zhì)，高考試題將這個(gè)本質(zhì)放在圓錐曲線中，賦予更豐富的圖形與知識(shí)，進(jìn)行考查直線與圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等思想與能力.

事實(shí)上，解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題，解題時(shí)“莫為浮云遮望眼”，要善于“撥開迷霧”尋找“真顏”，充分把握解析幾何中圖形的特征，緊扣其中關(guān)鍵的幾何要素，挖掘圖形相應(yīng)的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，將解析法與平面幾何方法相結(jié)合，往往能簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，能起到四兩撥千斤的功效.

六、解題反思

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題，但不能僅僅局限于老師講題、學(xué)生做題.教師在教學(xué)過程中要重視“研究”，要有數(shù)學(xué)研究的實(shí)踐與體驗(yàn)，以研究者的思維與邏輯組織教學(xué)，講解一道題不僅僅局限于這個(gè)問題本身，而是能借助這道題的背景，將研究的問題引向深入，探索隱藏在題目背后的奧秘，挖掘題目的真正內(nèi)涵，能夠找到解決這個(gè)問題與解決其它問題在思維上的共性.這樣我們才能領(lǐng)會(huì)到試題命制的深刻背景，才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海，真正做到觸類旁通，舉一反三.

高考試題是精心之作，每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考慮，是知識(shí)、能力和思想方法的載體，是命題思想、命題理念的程序化展現(xiàn)，具有典型性、示范性和權(quán)威性.除了具有測(cè)試與選拔功能外，還具有良好的教學(xué)功能，要了解高考動(dòng)向、把握高考脈搏，高考試題的研究分析是重要的路徑.所以我們教師對(duì)要對(duì)高考試題做深入的分析與研究，教師要跳入題海多做題多思考，才能做到融會(huì)貫通、信手拈來，幫助學(xué)生跳出題海.對(duì)高考試題的深度探究，不僅使教師清晰地理解命題人的思想、命題背景和考查目的，還可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)，提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).