例談2019高考題中求二面角的幾種方法

沈陽北軟信息職業(yè)技術(shù)學院計算機系2017級軟件5班(110136) 劉新飛(學生)

遼寧省黑山縣第一高級中學(121400) 劉大鵬

一、傳統(tǒng)方法

這種方法是指先找出或作出二面角的平面角，再解三角形，而作二面角的平面角通常利用三垂線定理或其逆定理.

例1(2019年高考全國II卷理科第17題)如圖1，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1，

(1)證明：BE⊥面EB1C1;

(2)若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值.

解(1)略.

(2)取CC1中點F，過B，作BP⊥CE于P，連接PF，設(shè)BC=1，則CC1=2，CF=1，Rt△CFE，所以PF⊥CE，所以∠BPF是B-EC-C1的平面角，在△PBF中，cosθ=cos∠FPB=所以

圖1

圖2

例2(2019年高考全國I卷理科第18題)如圖2，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E,M,N分別是BC,BB1,A1D中點，

(1)證明：MN//平面C1DE;

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

解(1)略.

二、射影法

例3題目同例1.

解(1)略.(2)取DD1中點P，連接PE，PC，PC1，由(1)知BE⊥B1E，所以PC⊥PC1，PE⊥PC1，所以PC1⊥面PEBC，所以△PEC是△C1CE在面PEBC上的射影，不妨設(shè)AB=1，AA1=2，則所以

圖3

圖4

例4題目同例2.

解(1)略;(2)取AB中點F，連接MD，MF，DF，A1F，DF⊥AB，DF⊥AA1，AA1∩AB，所以DF⊥面AA1M，△A1FM是△A1DM在面AA1M上的射影，S△A1FM，所以所以

三、向量法

例5題目同例1.

解(2)建立如圖5所示坐標系，設(shè)AB=1，則AA1=2，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E(1,0,1)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，所以

圖5

圖6

例6題目同例2.

解(2)建立如圖6所示坐標系，所以所以

四、利用三面角公式

如圖7，記二面角B-AP-C為θ，∠BAC=θ2，∠PAB=θ1，∠PAC=θ3，則cosθ=我們把它稱為三面角公式.用它求二面角不需要作輔助線，非常方便，能提高解題速度.

圖7

例7題目同例1.

解(2)如圖8.設(shè)AB=1，則AA1=2，EC=EC1=所以

圖8

圖9

例8題目同例2.

解(2)如圖9.

五、利用斯坦納定理

斯坦納定理如圖10，四面體ABCD的體積為V，記AB，CD所成的角為(AB,CD)，距離為d(AB,CD)，則

當AB⊥BC,CD⊥BC且A-BC-D為銳二面角或直二面角時，(AB,CD)=二面角A-CB-D.

圖10

例9題目同例2

解(2)過N作NP⊥A1M交A1M于P，A1M⊥AM，在Rt△A1NM中，在Rt△AMP中

圖11

六、強化訓練

以下兩個題目供讀者練習.

1.(2019年高考天津卷理科第17題)如圖12，AE⊥面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，

(1)略;(2)略;

圖12

圖13

2.(2019年高考北京卷理科第16題)如圖13，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E為PD的中點，點F在PC上，且

(1)，(3)略;

(2)求二面角F-AE-P的余弦值.