圓錐曲線多線段長度綜合試題及其解法

甘肅省武威第八中學(xué)(733000) 王春梅

湖北省陽新縣高級中學(xué)(435200) 鄒生書

以直線與圓錐曲線位置關(guān)系為載體的解析幾何綜合題，位處壓軸區(qū)分度高具有很好的選拔功能.其中有一類試題條件或所求涉及多條線段的長度關(guān)系，這些線段有的是一直線與兩曲線構(gòu)成，有的是兩直線與一曲線甚至兩曲線所形成，因此問題綜合性強難度大.重點考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對運算求解以及解答綜合問題能力的要較高，大多考生望而生畏而不得不選擇放棄.本文筆者試圖通過近幾年的高考題、競賽題和最新高考模擬題為例，以線段的構(gòu)成情況從簡單到復(fù)雜進行分類詮釋這類問題的解法，希望對讀者有所幫助.

這些問題都涉及到同一直線上兩點間的距離和曲線上弦長的計算，在解題時為了避免重復(fù)和提高解題效率我們提煉出了如下兩組公式.

第一組公式

(2)若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩個不等實根，則

(3)若P,Q是直線y=kx+b上與對稱軸平行于坐標(biāo)軸的圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去y后得到的一元二次方程為px2+qx+r=0，則

第二組公式

(2)若P,Q是直線x=my+n與對稱軸平行于坐標(biāo)軸的圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去x后得到的一元二次方程為py2+qy+r=0，則

在解決多線段長度問題時運用上述公式可簡化運算縮短解題長度達到事半功倍的作用.

1.一直線與一曲線構(gòu)成的多線段問題

例1(2017年內(nèi)蒙自治區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽題)過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F作弦BC，若BC的中垂線交BC于點M，交x軸于點N，求證：|MN|2=|FC||FB|.

證明設(shè)直線BC的方程為將其代入y2=2px整理得y2-2mpy-p2=0，則B,C兩點的縱坐標(biāo)yB,yC是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)關(guān)系得yB+yC=2mp,yByC=-p2.因為點M是BC的中點，所以代入得因為直線BC的斜率為MN⊥BC，所以直線MN的斜率為-m，其方程為令y=0得由點線距離公式得點N到直線BC的距離由焦半徑公式得所以

由上可得|MN|2=|FC||FB|.

例2(2016年高考四川卷理科第20題)已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.

(I)求橢圓E的方程及點T的坐標(biāo);

(II)設(shè)O是坐標(biāo)原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A,B，且與直線l交于點P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

解(I)橢圓E的方程為點T的坐標(biāo)為(2,1)(過程略).

(II)如圖1，由(I)知點T的坐標(biāo)為(2,1)，所以直線OT的斜率為又直線l′平行于OT，故可設(shè)直線l′的方程為由直線l′與橢圓E交于不同的兩點A,B，知m0.易求得直線l與l′的交點由兩點間的距離公式可得將代入橢圓方程整理得3x2+4mx+4m2-12=0，則因為|PA|=所以

圖1

由|PT|2=λ|PA|·|PB|，得所以故存在常數(shù)使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

例3在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C:ρsin2θ=acosθ(a＞0).過點P(-1,-2)的直線l的參數(shù)方程為

直線l與曲線C分別交于M,N兩點.

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;

(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列，求a的值.

解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=ax(a＞0)，直線l的普通方程為y=x-1.

(2)法1把y=x-1代入y2=ax得x2-(a+2)x+1=0，則Δ=a2+4a，且xM,xN是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)關(guān)系得xM+xN=a+2,xMxN=1.因為|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列，所以|PM||PN|=|MN|2.又所以

又

于是有a+4=a2+4a，因為a＞0，解得a=1.

法2由直線的參數(shù)方程知直線l過點P且參數(shù)t的系數(shù)平方和為1，故方程為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.設(shè)點M,N所對應(yīng)的參數(shù)分別為tM,tN，則|PM|=|tM|，|PN|=|tN|，|MN|=|tM-tN|.將直線的參數(shù)方程代入y2=ax，得則Δ=2(a2+4a)，且tM,tN是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)關(guān)系得因為|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列，所以|PM||PN|=|MN|2，即|tMtN|=|tM-tN|2，于是有2(a+4)=2(a2+4a)，即(a+4)(a-1)=0，因為a＞0，所以a=1.

2.一直線與二曲線構(gòu)成的多線段問題

例4(2018湖北八市高三3月聯(lián)考理科第20題)如圖2，已知拋物線x2=2py(p＞0)，其焦點到準(zhǔn)線的距離為2，圓S:x2+y2-py=0，直線與圓和拋物線自左至右順次交于四點A,B,C,D.

(1)若線段AB,BC,CD的長度按此順序成等差數(shù)列，求正數(shù)k的值;

(2)若直線l1過拋物線焦點且垂直于直線l，l1與拋物線交于點M,N，設(shè)MN,AD的中點分別為P,Q，求證：直線PQ過定點.

圖2

解(1)依題意得p=2，則拋物線x2=4y，圓S:x2+y2-2y=0，直線l:y=kx+1.如圖2，因為線段AB,BC,CD的長度成等差數(shù)列，所以AB+CD=2B C，則有化簡得

把y=kx+1代入x2=4y得x2-4ky-4=0，Δ=16(k2+1)，所以

把y=kx+1代入x2+y2-2y=0得(k2+1)x2=1，解得所以

例5(長春市普通高中2018屆高三質(zhì)量檢測理科第22題)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cosθ.

(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若過點F(1,0)的直線l與C1交于A,B兩點，與C2相交于M,N兩點，求的取值范圍.

解(1)求得曲線C1的普通方程為曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=4x(過程略).

(2)法1設(shè)直線l的普通方程為x=my+1，將其代入橢圓方程整理得則yA,yB是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)關(guān)系得又|FA|=|yA|,|FB|=|yB|，所以將x=my+1代入y2=4x整理得y2-4my-4=0，則yM,yN是這個方程的兩個根，所以有yMyN=-4.又|FM|=|yM|，|FN|=|yN|，所以|FM||FN|=4.于是

法2設(shè)直線l的參數(shù)方程為其中t為參數(shù)，α為直線的傾斜角，依題意α0.將直線l的參數(shù)方程代入整理得2tcosα-1=0.設(shè)點A,B所對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB，則且|FA|=|tA|，|FB|=|tB|，所以將直線l的參數(shù)方程代入y2=4x整理得t2sin2α-4tcosα-4=0.設(shè)點M,N所對應(yīng)的參數(shù)分別為tM,tN，同理可得于是

例6如圖3，已知過拋物線x2=4y的焦點F的直線l與拋物線相交于A,B兩點.

(1)設(shè)拋物線在A,B處的切線的交點為M，求證：點M在定直線上;

圖3

解(1)點M在直線y=-1上(過程略).

(2)由題意知直線l斜率存在設(shè)其方程y=kx+1.

當(dāng)k=0時，直線l平行于x軸，由對稱性知等式|AF‖CF|=|BF||DF|顯然成立.

把y=kx+1代入x2=4y得x2-4ky-4=0，則

②⑤兩式相乘得

解得k=±1.

綜上可知，存在這樣的直線l，使|AF||CF|=|BF||DF|，其直線l的方程為y=1，或y=x+1，或y=-x+1.

在解決然數(shù)學(xué)問題時靈活運用數(shù)學(xué)公式、定理性質(zhì)，可以起到簡化運算縮小解題長度使問題化繁為簡、化難為易達事半功倍之效.在解題中當(dāng)一些方法或步驟被反復(fù)使用時，我們應(yīng)該有意識對它們進行概括歸納提煉出程序化的或規(guī)律性的東西如公式定理性質(zhì)等，并將其納入我們的知識結(jié)構(gòu)和思想方法的系統(tǒng)中，同時在今后的解題中遇到類似的問題時積極地加以運用，這樣日積月累對我們豐富知識經(jīng)驗提高解題能力都是大有裨益的.