通道壓裂支撐劑嵌入冪率模型的建立與分析

許國慶，石 陽，江 昀，楊賢友

（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京100083）

0 引言

通道壓裂技術(shù)是近年來提出的一種新型壓裂技術(shù)，其特點在于通過支撐劑不連續(xù)鋪置，在裂縫內(nèi)形成具有高導(dǎo)流能力的網(wǎng)絡(luò)通道，大幅降低油氣滲流阻力，從而提高油氣產(chǎn)量［1-2］。與傳統(tǒng)壓裂工藝相比，通道壓裂技術(shù)可顯著解決由于支撐劑嵌入、破碎、微粒運移以及液體傷害等因素導(dǎo)致的裂縫導(dǎo)流過低的問題［3-5］。

目前針對通道壓裂方面的研究主要集中在現(xiàn)場應(yīng)用和裂縫導(dǎo)流能力影響因素分析方面，包括支撐劑鋪置方式、支撐劑類型以及纖維濃度優(yōu)化等［6-7］，但其中支撐劑嵌入行為的分析主要是針對某些特定儲層所進行的導(dǎo)流實驗［8］，難以獲得一般性認識，且缺乏相應(yīng)的理論分析，無法推廣到常規(guī)應(yīng)用。支撐劑的嵌入行為可導(dǎo)致裂縫開度減小，進而降低裂縫導(dǎo)流能力，影響油井產(chǎn)能，嚴重時甚至?xí)?dǎo)致裂縫完全失效［9］。因此準(zhǔn)確描述支撐劑嵌入過程對于壓裂裂縫導(dǎo)流能評價具有重要意義。

現(xiàn)有的支撐劑嵌入研究以常規(guī)壓裂方式為主，主要涉及實驗研究、數(shù)值模擬以及理論推導(dǎo)。其中實驗研究針對不同儲層類型、支撐劑類型以及支撐劑濃度等因素［10-13］，進行了系統(tǒng)的分析，并將實驗結(jié)果用于裂縫導(dǎo)流能力優(yōu)化［14］，指導(dǎo)現(xiàn)場施工。數(shù)值模擬以 Cui等［9］和 Song 等［15］為代表，以有限元方法分析了單個支撐劑顆粒嵌入問題。有限元法雖然能夠獲得支撐劑嵌入過程的定量認識，但難以用于實際工程設(shè)計，現(xiàn)場應(yīng)用仍以理論模型為基礎(chǔ)。

理論模型的發(fā)展前期以經(jīng)驗和半經(jīng)驗公式［16-20］為主，其中參數(shù)的確定依賴于室內(nèi)實驗。后期的發(fā)展以Gao等［21］的解析模型最為完善，其以Hertz理論為基礎(chǔ)，分析了支撐劑間的球形接觸變形以及支撐劑與儲層的球面接觸變形，最終推導(dǎo)了考慮二者綜合變形的導(dǎo)流能力計算公式，但該解析模型在計算過程中沒有考慮儲層的塑性變形。

針對通道壓裂支撐劑嵌入的理論模型，其計算過程仍以Hertz理論為基礎(chǔ)，僅考慮彈性變形［22］。以支撐劑支柱為研究對象，不再考慮單個支撐劑的嵌入行為，建立支撐劑嵌入深度計算冪率模型，給出支撐劑嵌入深度的計算方法，并將計算結(jié)果與已知模型［17，23］和實驗結(jié)果［24］進行對比，驗證該方法的準(zhǔn)確性，并對該計算方法進行影響參數(shù)分析，以期達到優(yōu)化通道壓裂設(shè)計的目的。

1 模型建立

1.1 支撐劑受力分析

通道壓裂技術(shù)將支撐劑與纖維混合后，以脈沖的形式泵注到裂縫內(nèi)，利用纖維與支撐劑間的內(nèi)聚力在裂縫內(nèi)形成穩(wěn)定支柱，創(chuàng)造油氣滲流網(wǎng)絡(luò)通道，從而達到提高油氣采收率的目的［1-2］。此時支撐劑支柱不再起到油氣滲流媒介的作用，僅發(fā)揮支撐裂縫的作用［25］。如圖1所示為通道壓裂支撐裂縫示意圖。

圖1 通道壓裂支撐劑支柱分布示意圖Fig.1 Distribution of proppant pillar in channel fracturing

支撐劑支柱嵌入過程如圖2所示。

圖2 支撐劑支柱嵌入過程示意圖Fig.2 Scheme of proppant pillar embedment

裂縫內(nèi)支撐劑在垂直于裂縫壁面的方向上處于受力平衡狀態(tài)

式中：Aa為裂縫內(nèi)支撐劑鋪置面積，m2；Ab為支撐劑未鋪置面積，m2；σ 為裂縫閉合壓力，MPa；σc為支撐劑承受的有效接觸應(yīng)力，MPa；pwf為裂縫內(nèi)流體壓力，MPa。整理式（2）可得

式中：c為支撐劑鋪置面積比；Δ σ = σ -pwf，MPa。

由式（3）可知，支撐劑支柱所承受的接觸應(yīng)力，取決于支撐劑鋪置面積比c，在已知裂縫閉合壓力和流體孔隙壓力的情況下，準(zhǔn)確描述鋪置面積比c是求取有效接觸應(yīng)力的關(guān)鍵。

1.2 支撐劑嵌入本構(gòu)模型

常規(guī)支撐劑嵌入行為可將其等效為球面接觸問題，以 Hertz 理論［22］和 Zener理論［26］較為典型。通道壓裂所提供的導(dǎo)流通道以支撐劑支柱間的網(wǎng)絡(luò)通道為主，支撐劑支柱內(nèi)部的孔隙對油氣流動幾乎沒有貢獻［27］，因此以支撐劑支柱為研究對象，通過力學(xué)分析，建立了冪率嵌入模型（圖3）。

圖3 支撐劑支柱嵌入模型示意圖Fig.3 Sketch map of proppant pillar embedment

由于通道壓裂支撐劑不是連續(xù)泵入裂縫，而是以等時脈沖的形式將支撐劑及清水交替泵入裂縫［1-2］，因此支撐劑支柱與巖石的接觸面積由脈沖頻率決定，但總接觸面積不變，即支撐劑支柱所承受的閉合壓力不隨脈沖頻率發(fā)生變化。考慮一個直徑為2 r，高為h的圓柱體在應(yīng)力σc的作用下，與巖石發(fā)生接觸作用，則支撐劑支柱嵌入力可表示為

式中：k為倔強系數(shù)，GN·m-n，由儲層及支撐劑性質(zhì)決定；y(t)為嵌入深度，m；n為彈性指數(shù)；t為嵌入時間，s。

k與n需實驗確定，不同n值對應(yīng)不同的物理模型。當(dāng)n取1.5時，表示剛性柱體與光滑彈性半無限平面接觸［28］；當(dāng)n取2時，表示彈性柱體與光滑剛性半無限平面接觸［29］。

由受力分析可知

式中：m為支撐劑支柱質(zhì)量，kg。

由微分變形，式（5）可表示為

式中：v為t時刻的嵌入速度，m/s。

因此確定了相應(yīng)參數(shù)值，即可求得最大嵌入量ymax。其中最大嵌入量包含了支撐劑間的接觸變形量。

將式（10）帶入式（9）可得

式（13）最后的積分結(jié)果可表示為

式中：hypergeom（a，b，z）為高斯超幾何方程，可由不同參數(shù)值確定最后解的形式。

式（14）為所求的嵌入深度y與嵌入時間t的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)y=ymax時

其中 B（a，b）為 Beta函數(shù)

式（15）可表示為

此時最大嵌入時間tmax與有效接觸應(yīng)力無關(guān)，對于非線性模型（n＞1），嵌入時間依賴于有效接觸應(yīng)力，如式（18）所示。

2 模型驗證

由于通道壓裂支撐劑嵌入數(shù)據(jù)鮮有文獻報道，可用的實驗數(shù)據(jù)較少，為驗證模型的準(zhǔn)確性，參照郭建春等［18］和 Zhang 等［23］的經(jīng)驗解析模型以及Alramahii等［24］的實驗數(shù)據(jù)（巖石楊氏模量為6.39 GPa；巖石半徑為 2.54 cm；支撐劑目數(shù)為0.42 mm/0.84 mm；黏土體積分數(shù)為48%），將上述模型與之進行對比（圖4），結(jié)果顯示：①郭建春等和Zhang等的模型在低閉合壓力區(qū)間擬合結(jié)果較差，而在高閉合壓力階段郭建春等的模型預(yù)測曲線有上翹延伸趨勢，新模型在各壓力區(qū)間均能取得較好的擬合結(jié)果；②郭建春等的模型是以閉合壓力為變量的3次多項式，需確定4個無因次參數(shù)，擬合難度較大，應(yīng)用受限，不利于嵌入預(yù)測；Zhang等的模型的本質(zhì)為線彈性模型，是在郭建春等模型的基礎(chǔ)上發(fā)展得到的［21］，擬合時考慮為y=a x+b的形式，形式較為簡單，擬合精度在高閉合壓力階段易取得較好的效果，而新模型僅需2個參數(shù)變量，就能取得較好的擬合結(jié)果，參數(shù)擬合結(jié)果為：k=12.98 GN·m-2.3524，n=2.352 4，R2=0.990 1。

圖4 模型結(jié)果對比Fig.4 Comparison of model results

3 參數(shù)分析

根據(jù)上述嵌入深度計算方法，為進一步分析參數(shù)變化對嵌入深度的影響，分別對倔強系數(shù)k、彈性指數(shù)n，以及有效接觸應(yīng)力σc進行了系統(tǒng)的分析。所取的基本參數(shù)為支撐劑支柱半徑r=1.27 cm，支撐劑鋪置面積比c=0.5，支撐劑支柱質(zhì)量m=32 g，裂縫閉合壓力σ=40 MPa，裂縫內(nèi)流體壓力pwf=10 MPa，支撐劑密度ρ=2.5 g/cm3；支撐劑支柱高度h=1 cm。

3.1 彈性指數(shù)影響

考慮彈性指數(shù)n對嵌入深度的影響，倔強系數(shù)在計算過程中取k=3 GN·m-n，由圖5所示，在倔強系數(shù)一定的條件下，n值小幅度變化，對嵌入深度影響較大。n由1.3增加到1.6時，80 MPa下的最大嵌入深度增加了4.79倍，n值越大，儲層越軟，嵌入越容易，隨著n值的增大，一方面增加了支撐劑的嵌入深度，另一方面增加了支撐劑非線性嵌入的壓力區(qū)間。

圖5 彈性指數(shù)對嵌入深度的影響Fig.5 Influence of elastic index on embedment depth

3.2 倔強系數(shù)影響

考慮倔強系數(shù)k對嵌入深度的影響，在計算過程中取n=1.6，如圖6所示，當(dāng)n值一定時，k的增加并不會改變非線性嵌入的壓力區(qū)間，當(dāng)k由5 GN·m-1.6下降到 2 GN·m-1.6時，80 MPa下的最大嵌入深度增加了1.77倍，表明k對嵌入深度的影響小于n，但對于儲層巖性的標(biāo)準(zhǔn)要求二者共同作用，因此，在應(yīng)用過程中，要協(xié)調(diào)二者的作用關(guān)系。

圖6 倔強系數(shù)對嵌入深度的影響Fig.6 Influence of coefficient of stiffness on embedment depth

3.3 支撐劑鋪置面積比影響

由式（3）可知，有效接觸應(yīng)力σc主要取決于裂縫內(nèi)流體壓力pwf及支撐劑鋪置面積比c，通道壓裂為等時脈沖壓裂，因此c=0.5，但在理論研究中，c變化對有效接觸應(yīng)力有直接的影響，其大小對于嵌入深度的影響也是不容忽視的。

在不同支撐劑鋪置面積比c條件下，分別計算嵌入深度計算結(jié)果，由圖7所示，隨著c值由0.25增加到0.75時，嵌入深度降低，80 MPa下的最大嵌入深度分別降低為c=0.25時的64.8%及50.3%。雖然提高c值可以降低支撐劑嵌入深度，但是對于通道壓裂而言，高鋪置面積比會減少油氣流動空間，降低裂縫導(dǎo)流能力［26］。因此在實際應(yīng)用過程中，有必要對鋪置面積進行優(yōu)化，以保證最大的經(jīng)濟效益。

圖7 支撐劑鋪置面積比對嵌入深度的影響Fig.7 Influence of proppant displacement ratio on embedment depth

3.4 縫內(nèi)流體壓力影響

支撐劑嵌入是閉合壓力與流體壓力綜合作用的結(jié)果，當(dāng)流體壓力與閉合壓力相等時，有效接觸應(yīng)力大小為0 MPa，支撐劑支柱不受嵌入的影響。如圖8所示，在閉合壓力為80 MPa的條件下，隨著流體壓力的不斷降低，支撐劑受到的有效應(yīng)力不斷增加，支撐劑支柱的嵌入深度也不斷增加；流體壓力在10 MPa時，支撐劑最大嵌入深度為1.558 mm，流體壓力在40 MPa時，支撐劑最大嵌入深度為1.098 mm，均遠大于常規(guī)壓裂方式下的嵌入深度［30-31］。顯然，較小的流體壓力會加大支撐劑的嵌入深度，而在相同流體壓力下，增加閉合壓力同樣會增大有效接觸應(yīng)力，從而增加支撐劑的嵌入深度。

圖8 流體壓力對嵌入深度的影響Fig.8 Influence of fluid pressure on embedment depth

4 實驗分析

在基于理論分析的基礎(chǔ)上，為進一步了解和掌握通道壓裂嵌入特征，選擇了不同巖石物性巖心進行了通道壓裂嵌入實驗，并針對實驗結(jié)果，應(yīng)用本文提出的模型，進行了擬合預(yù)測，取得了較好的效果，不同楊氏模量下的嵌入數(shù)據(jù)均獲得了較好的擬合效果（圖9）。

隨著楊氏模量的增加，支撐劑的嵌入深度隨之降低。在80 MPa的閉合壓力下，當(dāng)楊氏模量從31 GPa增加到59 GPa時，嵌入深度從1.76 mm降為1.06 mm，楊氏模量越高，意味對應(yīng)的儲層硬度越大，巖石嵌入難度越大。

倔強系數(shù)與楊氏模量之間也存在著較好的對應(yīng)關(guān)系（圖10），在模型應(yīng)用時，準(zhǔn)確確定儲層的巖石物性，是精確描述通道壓裂支撐劑嵌入深度的關(guān)鍵。因此后期在大量實驗的基礎(chǔ)上可通過擬合經(jīng)驗公式得到楊氏模量與倔強系數(shù)的冪率關(guān)系。

圖10 倔強系數(shù)與楊氏模量擬合關(guān)系Fig.10 Relationship between coefficient of stiffness and Young's modulus

以通道壓裂支撐劑支柱為研究對象，建立的支撐劑嵌入深度計算冪率模型，較Zhang等的模型和郭建春等的模型更加適用于通道壓裂支撐劑嵌入的理論分析和計算，同時，由模型計算得到的支撐劑嵌入深度可進一步引入到導(dǎo)流能力的計算中，進而分析導(dǎo)流能力變化，優(yōu)化壓裂設(shè)計。盡管本模型對通道壓裂嵌入過程的描述較其他模型有明顯的優(yōu)勢，但仍存在不足之處：①對支撐劑的嵌入分析為彈性嵌入、彈塑性嵌入以及塑性嵌入綜合計算結(jié)果，無法區(qū)分三者之間的計算界限，無法準(zhǔn)確計算彈性嵌入、彈塑性嵌入以及塑性嵌入各階段的嵌入深度；②在計算過程中假定支撐劑鋪置面積比c為一定值，而實際過程中，支撐劑支柱面積在低閉合壓力階段是動態(tài)變化的，因此在計算過程中會對倔強系數(shù)k和彈性指數(shù)n產(chǎn)生擬合誤差；③本模型還忽略了支撐劑破碎以及微粒運移帶來的計算誤差，進一步研究需考慮支撐劑鋪置面積比以及支撐劑破碎等問題影響。

5 結(jié)論

（1）以通道壓裂支撐劑支柱為研究對象，建立了支撐劑嵌入深度計算冪率模型，本模型更適用于通道壓裂支撐劑嵌入的理論分析和計算。

（2）由于支撐劑鋪置方式為非均勻鋪置，導(dǎo)致其所受有效應(yīng)力增加，使得通道壓裂支撐劑嵌入深度高于常規(guī)壓裂方式。

（3）支撐劑嵌入深度曲線擬合及預(yù)測受控于倔強系數(shù)和彈性指數(shù)，二者與巖石物性相關(guān)，其值大小需室內(nèi)實驗測定。

（4）支撐劑嵌入深度取決于有效接觸應(yīng)力，縫內(nèi)流體壓力越低，閉合壓力越大，則有效應(yīng)力越大，支撐劑嵌入深度越大。