《形學(xué)備旨》底本考

祝 捷

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)科技史與科技考古系，合肥 230026)

自明末利瑪竇(Matteo Ricci，1552～1610)與徐光啟(1562～1633)合作翻譯《幾何原本》前6卷開始，對(duì)歐幾里得幾何學(xué)的系統(tǒng)翻譯和介紹的中文著作不斷出現(xiàn)，如艾儒略(Giulio Aleni，1582～1649)與瞿式榖合譯的《幾何要法》、清康熙皇帝組織編纂的《數(shù)理精蘊(yùn)》中以巴蒂(Ignace-Gaston Pardies，1636～1673)著作為底本的《幾何原本》，以及偉烈亞力(Alexander Wylie，1815～1887)與李善蘭(1811～1882)續(xù)譯的《幾何原本》后9卷等。但是，這些著作的受眾不是適齡學(xué)童，而是成年知識(shí)分子。直到19世紀(jì)后期，一些教會(huì)學(xué)校開始針對(duì)學(xué)齡兒童進(jìn)行幾何學(xué)基礎(chǔ)教育，并編制了相應(yīng)教科書，其中影響較大的是美國(guó)傳教士狄考文(Calvin Wilson Mateer，1836～1908)編譯并于1885年首次出版的《形學(xué)備旨》一書。該書內(nèi)容詳實(shí)，圖文并茂，多次印刷出版，在當(dāng)時(shí)的各類學(xué)校中被廣泛采用，對(duì)幾何學(xué)在中國(guó)的普及起到重要的推動(dòng)作用。

關(guān)于該書有一些學(xué)者作了初步討論[1- 3]，但仍有一些問題值得深入研究。例如，關(guān)于該書的底本，其自序說“是書之作，大都以美國(guó)著名算學(xué)之士魯米斯(1)① Elias Loomis(1811～1889)，狄考文譯為“魯米斯”，有的文獻(xiàn)譯為“路密司”。本文中，除引文外，統(tǒng)一使用現(xiàn)在的通用譯名“羅密士”。所撰訂者為宗”[4]，但未給出具體書名。此后，傳教士丁韙良(William Alexander Parsons Martin，1827～1916)曾說，該書是以羅密士(Loomis)的幾何教科書為主要參考對(duì)象，同時(shí)參照了羅賓遜(Robinson)、派克(Peck)和沃森(Watson)(2)英文原文為：“He has taken Loomis for the basis of his present text book; and improved it by the addition of useful matter from Robinson, Peck, and Watson.”的幾何教科書編撰而成[5]。傅蘭雅(John Fryer，1839～1928)的看法與丁韙良相同[6]。但丁、傅二人未給出作者全名和具體書名。近年埃及開羅美國(guó)大學(xué)的格雷格·德·楊(Gregg De Young)教授指出，《形學(xué)備旨》的底本為羅密士的《幾何與圓錐曲線》第15版、H·W·羅賓遜的《圓錐曲線和解析幾何理論與實(shí)踐的說明》、W·派克的《解析幾何》和H·W·沃森的《平面與立體幾何》(3)Young G D. Evangelism, Empire, Empowerment: Uses of Geometry Textbooks in 19th Century Asia. 12th International Congress on Mathematical Education, 8- 15 July 2012, Seoul:10.。然而，楊教授論述過略，一語帶過，未能詳細(xì)論證《形學(xué)備旨》與這幾部西方著作的關(guān)系。不僅如此，筆者還發(fā)現(xiàn)，楊教授所給的羅賓遜全名和書名均有誤，《形學(xué)備旨》的底本并不是羅密士《幾何與圓錐曲線》第15版，且派克的著作中也沒有《解析幾何》一書。

那么，《形學(xué)備旨》的底本究竟是羅密士《幾何與圓錐曲線》第幾版？其中是否有羅賓遜、派克和沃森的幾何教科書內(nèi)容？狄考文參考了他們哪些著作？《形學(xué)備旨》與其底本的優(yōu)劣如何？有哪些是狄考文添加的內(nèi)容？對(duì)于這些問題，數(shù)學(xué)史界目前關(guān)注不多，本文將在前人工作的基礎(chǔ)上對(duì)這些問題作進(jìn)一步考察。

1 羅密士幾何教科書的版本演變及其與《形學(xué)備旨》的關(guān)系

《幾何與圓錐曲線》(ElementsofGeometryandConicSections)是美國(guó)氣象學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家羅密士[7]所著的一本幾何教科書，于1847年由美國(guó)紐約哈普兄弟公司(New York: Harper & Brothers Publishers)發(fā)行鉛印版，全書226頁。該書出版后十分暢銷，一直不斷再版。筆者梳理所收集到的版本，發(fā)現(xiàn)自1847年至1858年，竟達(dá)15版，截至1872年，總發(fā)行量達(dá)8萬多冊(cè)(4)指截至1872年的發(fā)行量，見1872年修訂本的廣告頁。[8]，由此可見該書在當(dāng)時(shí)的流行程度。

在《幾何與圓錐曲線》再版過程中，羅密士對(duì)書中內(nèi)容進(jìn)行過增補(bǔ)和調(diào)整。最早，羅密士在書末增加了8頁習(xí)題(5)如第15版的1858年印本。Loomis E： Elements of Geometry and Conic Sections (Fifteenth Edition)[M]. New York: Harper & Brothers Publishers, 1858.。從我們所掌握的版本(6)此處對(duì)比了1849年本，1851年第4版，第15版的1858年印本、1860年印本和1861年印本。Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections. New York: Harper & Brothers Publishers, 1849.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections (Fourth Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1851.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections (Fifteenth Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1858.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections (Fifteenth Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1860.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections. New York: Harper & Brothers Publishers, 1861.來看，1851年第4版中尚未出現(xiàn)這些習(xí)題，習(xí)題出現(xiàn)在1858年印刷的第15版中，說明其加入時(shí)間應(yīng)該是在第5版到第15版中的某一版。之后，羅密士又在這些習(xí)題后面增加了58頁的平面三角內(nèi)容(7)如1871年發(fā)行的版本。Loomis E： Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publishers, 1871.，并改書名為《幾何、圓錐曲線和平面三角》(ElementsofGeometry，ConicSections，andPlaneTrigonometry)。根據(jù)我們所掌握的版本，這部分增加不見于該書第15版的1861年印本，但見于1871年的印本。所以，其加入時(shí)間和書名改變也應(yīng)該在1861年到1871年間。不過，除了這些后續(xù)增加的內(nèi)容外，在1872年之前，該書主體部分的內(nèi)容基本沒有改變，目錄也保持原樣，以至于新增的內(nèi)容都沒有體現(xiàn)在目錄中。

1872年，由于原有鉛版長(zhǎng)期頻繁使用致?lián)p，羅密士趁重新制版之際對(duì)原書進(jìn)行了較大的修改和增補(bǔ)，并把書名改為《幾何、圓錐曲線與平面三角(修訂本)》(ElementsofGeometry，ConicSections，andPlaneTrigonometry. Revised Edition)，全書增至388頁。

1872修訂版相對(duì)之前本子的改動(dòng)如下：(1)增加了幾何學(xué)史的概述。(2)平面三角內(nèi)容和習(xí)題在目錄上有所體現(xiàn)(8)1871年版本已含有平面三角內(nèi)容，但僅反映在書名上，未體現(xiàn)在目錄中。，新增了對(duì)數(shù)表、四個(gè)象限的正弦正切對(duì)數(shù)表等內(nèi)容。(3)把原來附于書后的習(xí)題，拆分到平面和立體幾何部分之后。(4)第二部分立體幾何(Solid Geometry)改名為空間幾何(Geometry of Space)。(5)部分章節(jié)也更換了名稱。比如：第一章總則(General Principles)改為直線圖形(Rectilinear Figures)，第四章圖形比例(The Proportions of Figures)改為多邊形的比較和測(cè)量(Comparison and Measurement of Polygons)，第九章球面幾何(Spherical Geometry)改為球面三角與球面多邊形(Spherical Triangles and Spherical Polygons)，第十章圓體三種(The Three Round Bodies)改為圓體三種的測(cè)量(Measurement of the Three Round Bodies)。(6)修改定義。如線的定義由有長(zhǎng)度、無寬度和厚度者為線，改為兩平面相交所得為線，等等。(7)增加定理。如：修訂本在第一章開篇，增加了一條定理——過直線上一點(diǎn)有且僅有一條垂線(From a given point in a straight line one perpendicular to that line can be drawn， and but one)；在第三章最后增加兩條定理，其一為兩割線若于圓內(nèi)相交，其交角大小等于所截兩弧之和的一半(The angle formed by two chords which cut each other is measured by one half the sum of the arcs intercepted between its sides and between the sides of its vertical angle)，其二為兩割線相交于圓外，其交角大小等于所截兩弧之差的一半(The angle formed by two secants intersecting without the circumference， is measured by one half the difference of the intercepted arcs)；等等。(8)刪除難懂內(nèi)容、引入新證法。如第一章定理十五用的新證法比原證法易懂。

到了1876年，羅密士又在1872年修訂本的基礎(chǔ)上添加了一個(gè)附錄，并將該書更名為《幾何、圓錐曲線與平面三角(修訂本帶附錄)》(ElementsofGeometry，ConicSections，andPlaneTrigonometry. Revised Edition， with appendix)，整本篇幅變?yōu)?43頁。該附錄是對(duì)書中幾何知識(shí)的補(bǔ)充，由定理組成，其內(nèi)容包括18條雜項(xiàng)命題的證明、通過極限求解正切、平面和空間上的軌跡、對(duì)稱圖形、橫截面、調(diào)和比例、相似中心、正投影、透視投影、錐頂投影和球面投影等。除了這個(gè)附錄，該書的其他內(nèi)容則沒有變化(9)此處對(duì)比了1877年本、1880年本和1895年本。Loomis E. Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry (Revised Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1877.Loomis E. Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry (Revised Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1880.Loomis E. Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry (Revised Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1895.。

從總體上來講，羅密士的幾何教科書自出版后至1872年前，只做了兩次增補(bǔ)，即添加習(xí)題與平面三角內(nèi)容。因主體內(nèi)容無變化，本文暫把這些版本統(tǒng)稱為原本。1872年，該書進(jìn)行大規(guī)模修訂，1876年在修訂本基礎(chǔ)上僅添加了附錄，故本文把1872年以后的版本統(tǒng)稱為修訂本。

基于以上分析，為了厘清羅密士的書與《形學(xué)備旨》(10)關(guān)于《形學(xué)備旨》版本問題，筆者考察了第3次鉛印(1897)、第5次鉛印(1902)、第6次鉛印(1903)、第7次鉛印(1904)、第8次鉛印(1905)和第11次鉛印(1910)等13個(gè)版本，除個(gè)別印刷舛誤外，其內(nèi)容大致無變化。此處所選用于比對(duì)的本子為安徽省圖書館館藏的光緒三十一年(1905)第8次鉛印本。的具體關(guān)系，需對(duì)它們進(jìn)行逐卷考察。首先，目錄對(duì)比(表1)。

表1 《形學(xué)備旨》與羅密士書的原本、修訂本目錄對(duì)照表 (11)此處表示原本的該章節(jié)標(biāo)題與修訂本的不一致。

續(xù)表1

由表1可見，除去圓錐曲線、平面三角和附錄，羅密士書的原本和修訂本，在目錄上共有四處不同?！缎螌W(xué)備旨》有一章的譯名相似于原本(圓體三種——The three round bodies)，三章譯名接近于修訂本(直線及三角形——Rectilinear figures、多邊形之較與度——Comparison and measurement of Polygons、弧角形——Spherical Triangles and Spherical Polygons)?！缎螌W(xué)備旨》把英文本的第九章和第十章對(duì)調(diào)。

其次，從內(nèi)容上看，《形學(xué)備旨》卷3第19題(兩割線若于圓內(nèi)相交，其交角必以所乘兩弧和之半為度，若于圓外相交，必以所乘兩弧較之半為度)、卷4第34題(若于三角形外作切圓，并自腰間角作底之垂線，則兩腰距內(nèi)直角形，必等于垂線偕圓徑之距內(nèi)直角形)、卷5第29題(求作正方，與已知之正方相比，若已知之兩直線相比)、卷5第32題(已知直角方形之面積，及相倚兩邊之較，求作其形)和卷8第20題案的圖形等，均翻譯自修訂本，而原本不含這些題目。

最后，《形學(xué)備旨》開端有40例定義，其中有9例翻譯自修訂本，原本中未見到。3例同于原本，修訂本中未見到。除此之外，開端中有23例定義在原本中能對(duì)應(yīng)上的部分，修訂本也均含有。

可見，《形學(xué)備旨》的翻譯不僅依據(jù)了修訂本，同時(shí)也參照了原本。所以《形學(xué)備旨》是參考多個(gè)版本進(jìn)行編譯的。

經(jīng)筆者詳細(xì)統(tǒng)計(jì)，《形學(xué)備旨》各卷定義共83例、定理共230例 、習(xí)題共158例。其中有77例定義、215例定理、76例習(xí)題翻譯自羅密士的幾何教科書(該統(tǒng)計(jì)不區(qū)分修訂本和原本)。

然而，《形學(xué)備旨》仍有6例定義、15例定理和82例習(xí)題，以及開端中5例定義是羅密士書中所沒有的，因此需要將《形學(xué)備旨》與丁韙良所說的羅賓遜、派克和沃森的工作做比對(duì)。

2 羅賓遜、派克和沃森教科書與《形學(xué)備旨》的關(guān)系

本文開端所述丁韙良提到的羅賓遜、派克和沃森，據(jù)筆者考證此三人為羅賓遜(Horatio Nelson Robinson，1806～1867)、派克(William Guy Peck，1820～1892)和沃森(Henry William Watson，1827～1903)(12)此處筆者查閱了紐約公共圖書館(New York Public Library)館藏的1700～1900年間出版的幾何書籍，并綜合美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)網(wǎng)站(www.maa.org)、美國(guó)的形成網(wǎng)站(Making of America)及谷歌學(xué)術(shù)等網(wǎng)站上有關(guān)數(shù)學(xué)家的傳記和書籍，確定了羅賓遜、派克和沃森的全名。。

羅賓遜，原為美國(guó)海軍學(xué)校數(shù)學(xué)教授(13)MOA(Making of America)[DB/OL].[2012- 09- 27]. http://quod.lib.umich.edu/m/moa/ABN6311.0001.001？rgn=main;view=fulltext.，所出版的幾何教科書有3部。從內(nèi)容上來講，他的《平面、球面幾何和圓錐曲線》(ElementsofGeometry，PlaneandSphericalTrigonometry，andConicSections)和《平面幾何和球面三角》(ElementsofGeometry，andPlaneandSphericalTrigonometry;withNumerousPracticalProblems)與《形學(xué)備旨》相近。筆者粗略對(duì)比(14)此處對(duì)比了1854年第6版、1858年第15版和1867年版，其中1854年第6版和1858年第15版無區(qū)別。Robinson H N. Elements of Geometry, Plane and Spherical Trigonometry, and Conic Sections (Sixth Standard Edition). Cincinnati: Jacob Ernst, 1854.Robinson H N. Elements of Geometry, Plane and Spherical Trigonometry, and Conic Sections (Fifteenth Edition). New York: Ivison & Phinney; Cincinnati: Jacob Ernst; Chicago: S. C. Griggs & CO.; St. Louis: Keith & Woods; Buffalo: Phinnet & CO., 1858.Robinson H N. Elements of Geometry and Plane and Spherical Trigonometry; with Numerous Practical Problems. New York: Ivison, Phnney, Blakeman & CO., Chicago: S. C. Griggs & CO, 1867.這兩本書，發(fā)現(xiàn)《平面幾何和球面三角》是《平面、球面幾何和圓錐曲線》的修訂本。修訂本刪去了圓錐曲線的內(nèi)容，把每章節(jié)的部分定義、假設(shè)、公理和數(shù)學(xué)符號(hào)統(tǒng)一在全書開篇進(jìn)行說明，并新增、刪改了一些定義，刪減和添加了部分定理和推論，對(duì)于極個(gè)別定理還給出多種證法，但書中習(xí)題未做大的改動(dòng)。把這兩本教科書與《形學(xué)備旨》對(duì)照可知，《形學(xué)備旨》開端第一界(點(diǎn)，有所在而無所度者為點(diǎn))、第三界(直線，線于兩端之間，方向處處相同者為直線，如圖甲乙是也)、第四界(曲線，線于兩端之間，方向處處變易者為曲線，如圖丙丁是也)，卷9第二界(圓柱體之內(nèi)切體，于圓柱體之底作內(nèi)切多邊形，并依此形作與圓柱體等高之正棱柱體，即為圓柱體之內(nèi)切體)、第三界(圓柱體之外切體，于圓柱體之底作外切多邊形，并依此形作與圓柱體等高之正棱柱體，即為圓柱體之外切體)、第五界(圓錐體之內(nèi)外切體，于圓錐體之底作內(nèi)切多邊形，并依此形作與圓錐體同尖之棱錐體，即為圓錐體之內(nèi)切體。仿此依圓柱體底之外切形作棱錐體，即為圓柱體之外切體)等，卷2的第14題、第15題，卷4的第11題、第35題、第36題，卷5的第18題，以及卷10的13道習(xí)題，均翻譯自《平面幾何和球面三角》。

然而，《形學(xué)備旨》仍有少部分定義、定理和大部分習(xí)題出處不明，繼續(xù)考察派克(15)派克，1820年10月16日出生于美國(guó)康涅狄格州(Connecticut)的利奇菲爾德(Litchfield)。他曾參加過弗里蒙特(John C. Fremont)的第三次探險(xiǎn)遠(yuǎn)征和卡尼(Stephen W. Kearny)領(lǐng)導(dǎo)的墨西哥戰(zhàn)爭(zhēng)，退役后相繼為美國(guó)西點(diǎn)軍校數(shù)學(xué)與哲學(xué)助理教授、密歇根大學(xué)物理與土木工程教授和哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授。與岳父戴維斯(Charise Davies)一起完成了《數(shù)學(xué)辭典與數(shù)學(xué)大百科》(Mathematical Dictionary and Cyclopedia of Mathematical Science，1855)的編撰，并著有9部數(shù)學(xué)教科書，包含算術(shù)、幾何、微積分和測(cè)量，其中幾何教科書2部。所著的2部幾何教科書。他的《幾何與圓錐曲線手冊(cè)》(ManualofGeometryandConicSections，withApplicationstoTrigonometryandMensuration)與《形學(xué)備旨》相近。筆者現(xiàn)有1876年本與年代不詳本，這兩本書除兩處定理表述有些差別外，其他內(nèi)容一致(16)此處對(duì)比了1876的兩個(gè)本子和年代不詳本。Peck W G. Manual of Geometry and Conic Sections, with Applications to Trigonometry and Mensuration. New York and Chicago: A. S. Barnes & Company, 1876.Peck W G. Manual of Geometry and Conic Sections, with Application to Trigonometry and Mensuration. New York, Chicago and New Orleans: A. S. Barnes & Company, 1876.Peck W G. Manual of Geometry and Conic Sections, with Application to Trigonometry and Mensuration. New York and Chicago: A. S. Barnes & Company.?！缎螌W(xué)備旨》卷1、卷2和卷3有6道習(xí)題翻譯自《幾何與圓錐曲線手冊(cè)》。

最后對(duì)比沃森(17)沃森， 1827年2月25日生于英國(guó)倫敦的馬里爾伯恩(Marylebone)，數(shù)學(xué)家，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。他從國(guó)王學(xué)院和劍橋三一學(xué)院畢業(yè)后，在劍橋大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)講師，編寫過一本幾何教科書，還出版過《氣體動(dòng)力學(xué)理論》(Treatise on the kinetic theory of gases)、《電磁學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(The mathematical theory of electricity and magnetism)、《靜電學(xué)》(Electrostatics)和《磁和電動(dòng)力學(xué)》(Magnetism and electrodynamics)等書。的《平面與立體幾何》(TheElementsofPlaneandSolidGeometry)與《形學(xué)備旨》。筆者現(xiàn)有《平面與立體幾何》的1871年本和1872年本。1872年本僅對(duì)1871年本的個(gè)別錯(cuò)誤進(jìn)行了修訂，整體內(nèi)容一致(18)對(duì)比的版本為1871年本和1872年本。Watson H W. The Elements of Plane and Solid Geometry. London: Longmans, Green, and CO., 1871.Watson H W. The Elements of Plane and Solid Geometry (Second Edition). London: Longmans, Green, and CO., 1872.?！缎螌W(xué)備旨》卷1的第29題、第30題，卷3的第20題、第21題、第22題，卷5的第17題，卷1的10道習(xí)題，卷3的8道習(xí)題，卷7的1道習(xí)題，卷10的3道習(xí)題，均譯自《平面與立體幾何》。

經(jīng)過詳細(xì)爬梳，《形學(xué)備旨》在羅密士書中對(duì)應(yīng)不上的定義、定理和習(xí)題，大部分可在羅賓遜、派克和沃森的書中找到。要說明的是，《形學(xué)備旨》對(duì)于勾股定理的證明是一題多證，證法和羅賓遜的修訂本的兩種證法相同，而羅賓遜的初刊本并無一題多證情況，故可以判斷《形學(xué)備旨》與羅賓遜修訂本吻合度更高。

具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：《形學(xué)備旨》中定義有3例出自羅賓遜修訂本；定理有6例出自羅賓遜修訂本，6例同于沃森的書；習(xí)題有13例出自羅賓遜修訂本、6例來自派克的書、22例同于沃森的書。

3 《形學(xué)備旨》文字來源的總體分析

對(duì)已有對(duì)比結(jié)果進(jìn)行綜合分析，可知《形學(xué)備旨》各章定義、定理和習(xí)題的總數(shù)分別為83例、230例和 161例。其中定義有77例翻譯自羅密士的書，3例出自羅賓遜的書，3例出處不明；定理有215例翻譯自羅密士的書、6例出自羅賓遜的書、6例同于沃森的書，3例出處不明；習(xí)題有76例翻譯自羅密士的書、13例出自羅賓遜的書、6例來自派克的書、22例同于沃森的書，44例出處不明。見表2。

表2 《形學(xué)備旨》定義、定理和習(xí)題出處數(shù)目對(duì)照表

續(xù)表2

另外，《形學(xué)備旨》開端的40例定義，有9例翻譯僅出自于羅密士原本，3例定義僅同于羅密士的修訂本，23例為羅密士原本和修訂本共同含有，4例來自羅賓遜修訂本，1例不明出處。

至此，《形學(xué)備旨》的底本已基本確定：整體框架，絕大部分定義、定理和習(xí)題依據(jù)羅密士幾何教科書的原本和修訂本相互參照翻譯；個(gè)別定義、少數(shù)定理和部分習(xí)題則參照羅賓遜的《平面幾何和球面三角》、派克的《幾何與圓錐曲線手冊(cè)》和沃森的《平面與立體幾何》編譯而成。

4 《形學(xué)備旨》編譯之優(yōu)點(diǎn)

通過與底本的對(duì)照，我們可以看到狄考文對(duì)《形學(xué)備旨》的編寫是用心的——不是簡(jiǎn)單的翻譯，而是參考多種歐美教科書，進(jìn)行綜合編譯。編譯后有明顯優(yōu)于底本之處，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

第一，對(duì)章節(jié)、定義和定理的調(diào)整，更符合學(xué)習(xí)認(rèn)知過程。例如，羅密士的書第八章講述棱體，第九章介紹球面幾何，第十章是圓柱體。而《形學(xué)備旨》把羅密士書的第九章和第十章調(diào)換，卷9接卷8棱體講圓柱體。兩章對(duì)調(diào)但內(nèi)容沒有進(jìn)行直接平移，《形學(xué)備旨》把定義和定理重新歸類，分別寫入各卷。例如，把有關(guān)球的基本定義和定理放入卷9。其中定義有球、半徑、球心、大圓、球的切面、球帶、球截體和球扇體；定理有卷9第7題(19)《形學(xué)備旨》每卷的“界”即“定義”，“界”后的“題”即“定理”?！胺财矫孢^球，所割成之面周，必為圓”和第8題“于球徑一端所作之垂面，為球之切面。反之，球之切面必為過切點(diǎn)之徑直垂面”。這些定義和定理的調(diào)整為卷10引入弧角形(今球面三角形和球面多邊形)做鋪墊。

顯然以上調(diào)換是符合認(rèn)知邏輯順序的。我們知道棱體和圓柱體是共性比較多的幾何體，它們都是由平面圍成且有底面和高，而球面是由曲面圍成，沒有底面和高。羅密士的書把圓柱體放到球面幾何后介紹，沒有與棱體銜接，使得關(guān)系緊密的知識(shí)點(diǎn)被割裂，在結(jié)構(gòu)的安排上有一種跳躍感。經(jīng)《形學(xué)備旨》調(diào)整過后，使得知識(shí)體系遞進(jìn)更有序。值得指出的是，現(xiàn)今中小學(xué)幾何教學(xué)對(duì)于棱體、圓柱體和球的順序安排幾乎與《形學(xué)備旨》完全一致，也反映出《形學(xué)備旨》章節(jié)調(diào)整的合理性。

第二，《形學(xué)備旨》既是教師用書也是學(xué)生用書。書中標(biāo)注學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)注意事項(xiàng)，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。這些內(nèi)容出現(xiàn)在書的開端和正文中，以小于原書字號(hào)被標(biāo)示出來[9]。例如，“形學(xué)凡例”部分有“先生命學(xué)生證題，必先使之畫圖”、“凡圖中甲、乙、丙、丁等字，亦須隨口以竿指明，口一言及某字，竿即指定某字，毋得亂行指揮，令聞?wù)卟恢曇病?；?第10題最后有“此不遇略開層次，令學(xué)者循途自證之耳”，等等。這些是給予教師的具體教學(xué)建議和教具使用方法。

凡例部分還有“此書原為要學(xué)，凡欲洞悉其理者，非熟習(xí)之不可”、“學(xué)者必循次第，斷不得躐等而進(jìn)也”、“學(xué)此書者必用心習(xí)畫圖之法，使其正斜不差，遠(yuǎn)近畢肖”、“學(xué)此書之要訣有二：一在聚精會(huì)神，一察其理；二在按圖以記其證”；卷1第15題后有“此題亦可按十四題之證法證之，即舉其相當(dāng)角，證其無大無小，學(xué)者自證可也”等等。這些是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的要求，讓其充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性。

相比之下，《形學(xué)備旨》的眾底本均未有告訴教師如何教學(xué)的注釋，也未見如此詳細(xì)的學(xué)習(xí)要求。可見，狄考文編寫的教科書更專業(yè)化，同時(shí)也形成了特有的狄氏教科書編寫形式。

第三，增補(bǔ)習(xí)題?！缎螌W(xué)備旨》除卷8和卷9外，均附有習(xí)題，共計(jì)161例。這些習(xí)題大部分來自于四本底本，但仍有相當(dāng)一部分習(xí)題出處不明，占習(xí)題總量的四分之一。自編的44道習(xí)題，在各卷的分布情況是：卷1有2例，卷2有6例，卷3有5例，卷4有2例，卷7有12例，卷10有17例。習(xí)題的作用是為了鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生得到更全面的訓(xùn)練，以防學(xué)生“泥于成法，能學(xué)而不能用，雖學(xué)猶未學(xué)也”。而其眾底本雖都含有習(xí)題，但數(shù)量少，且只覆蓋部分章節(jié)。對(duì)于一個(gè)需要通過練習(xí)來不斷加深所學(xué)知識(shí)的學(xué)科來講，《形學(xué)備旨》在這方面做得更好一些。

5 結(jié) 語

編寫一部?jī)?yōu)秀的教科書是一項(xiàng)繁復(fù)的浩大工程?！缎螌W(xué)備旨》作為幾何教科書，編譯自歐美當(dāng)時(shí)的暢銷教科書，可以說底本選擇上狄考文是有所考量的。狄考文對(duì)羅密士《幾何與圓錐曲線》的原本和修訂本進(jìn)行相互參考，對(duì)定義、定理和章節(jié)進(jìn)行調(diào)整，同時(shí)還參考羅賓遜、派克和沃森的幾何教科書，彌補(bǔ)羅密士書的疏漏之處。

《形學(xué)備旨》編譯成書后并未出版發(fā)行，而是在實(shí)際教學(xué)中不斷調(diào)整修改。增補(bǔ)自編習(xí)題用于課后鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)在書中標(biāo)注學(xué)習(xí)方法和教授注意事項(xiàng)，以達(dá)到最好的教學(xué)效果。光緒十一年(1885)《形學(xué)備旨》出版，它的這些優(yōu)點(diǎn)使其在26年間印刷24次，不僅在全國(guó)教會(huì)學(xué)校被推廣，而且在山東、福建、江蘇、四川、浙江和湖北的私塾和新式學(xué)堂被廣泛使用。

《形學(xué)備旨》的出現(xiàn)可以看作是西方幾何學(xué)在中國(guó)普及的萌芽。不僅如此，在清末教育改革頒布新學(xué)制時(shí)，由于國(guó)人自編數(shù)學(xué)教科書匱乏，它填補(bǔ)了幾何教科書的空白。相較于《幾何原本》的傳播，《形學(xué)備旨》的出版和使用，使得歐氏幾何在中國(guó)得到更為廣泛的普及。

致 謝本文初稿完成后，導(dǎo)師石云里教授和郭書春研究員進(jìn)行了悉心指導(dǎo)和細(xì)致修改。謹(jǐn)此致謝!