結(jié)合單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)的指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)定時(shí)截尾試驗(yàn)可靠性評(píng)估方法

金俊坤， 楊寧國(guó)， 呂冬雪

(63850部隊(duì)， 吉林 白城 137001)

0 引言

武器裝備可靠性試驗(yàn)一般會(huì)產(chǎn)生兩部分?jǐn)?shù)據(jù)：一部分是以各組成分系統(tǒng)或部件獨(dú)立工作為基礎(chǔ)產(chǎn)生的單元可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)(以下簡(jiǎn)稱單元試驗(yàn)數(shù)據(jù))；另一部分是以全部單元組裝成完整結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗(yàn)而產(chǎn)生的系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)(以下簡(jiǎn)稱系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù))。以往的可靠性評(píng)估方法只統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間，而忽略獨(dú)立開展的各單元試驗(yàn)時(shí)間，各單元故障數(shù)計(jì)入系統(tǒng)試驗(yàn)故障數(shù)中或者舍棄掉，前者試驗(yàn)方法十分嚴(yán)苛，但單元故障和系統(tǒng)故障來自不同的試驗(yàn)環(huán)境，直接相加有些欠妥，容易引起爭(zhēng)議；后者未充分利用單元試驗(yàn)信息，產(chǎn)生數(shù)據(jù)浪費(fèi)。綜合利用單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)可提高武器裝備的可靠性評(píng)估精度，尤其在系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)不足情形下，如射擊實(shí)彈數(shù)不足以評(píng)估彈藥可靠性時(shí)，利用獨(dú)立開展的單元可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)或其他性能試驗(yàn)形成的單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在一定程度上可以補(bǔ)充實(shí)彈數(shù)的不足。

關(guān)于單元信息的利用問題，劉春和等[1]、孫懷義[2]和柳超[3]均針對(duì)定數(shù)截尾方案給出了單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)的折合公式，但鮮有文獻(xiàn)討論定時(shí)截尾情況，原因是此時(shí)試驗(yàn)時(shí)間和故障率沒有精確的概率分布函數(shù)。

考慮到武器裝備試驗(yàn)中經(jīng)常采用便于計(jì)劃和管理的定時(shí)截尾試驗(yàn)方案，本文針對(duì)定時(shí)截尾情況，基于指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)模型，通過引入定時(shí)截尾試驗(yàn)方案下失效率的近似Fiducial概率密度，將單元試驗(yàn)時(shí)間和故障數(shù)折合到系統(tǒng)可靠性意義下的等效試驗(yàn)時(shí)間和故障數(shù)，用等效試驗(yàn)數(shù)據(jù)與系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)一起來評(píng)估被試武器裝備的平均故障間隔時(shí)間(MTBF)。分析表明，定時(shí)截尾和定數(shù)截尾二者利用單元信息的公式是有差異的，有些文獻(xiàn)在定時(shí)截尾情況下仍然套用定數(shù)截尾的單元信息折合公式是值得商榷的。

1 指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)

機(jī)電類武器裝備的單元服從指數(shù)分布，整個(gè)系統(tǒng)也服從指數(shù)分布，如果某一個(gè)單元出現(xiàn)故障，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)工作異常，在此種情況下可以認(rèn)為被試武器裝備為指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)。

設(shè)系統(tǒng)由m個(gè)不同的相互獨(dú)立單元串聯(lián)組成，第i個(gè)單元的壽命為Ti，可靠度為Ri(t)=P(Ti>t)(i=1,2,…,m),各單元發(fā)生故障互相獨(dú)立，即T1,T2,…,Tm相互獨(dú)立，串聯(lián)系統(tǒng)壽命T=min(T1,T2,…,Tm)，系統(tǒng)可靠度R(t)為

(1)

式中：λi(t)為第i個(gè)單元的失效率。

由(1)式可知串聯(lián)系統(tǒng)的失效率為

(2)

2 單元可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的折合

組成指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)的m個(gè)單元在獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)，產(chǎn)生的單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)為(r′i,T′i)，其中r′i為第i個(gè)單元在獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)的故障次數(shù)，T′i為第i個(gè)單元獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)間。在完整結(jié)構(gòu)下試驗(yàn)時(shí)，產(chǎn)生的系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為(r′,T′)，其中：r′為系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)的故障次數(shù)，T′為系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)的試驗(yàn)時(shí)間。

如果能夠?qū)卧囼?yàn)數(shù)據(jù)(r′i,T′i)依據(jù)一定法則折合成等效的系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，就能夠達(dá)到充分利用單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)的目的。

對(duì)于定時(shí)截尾試驗(yàn)，試驗(yàn)截止時(shí)間T′不是失效時(shí)刻，但由指數(shù)分布性質(zhì)可知,當(dāng)試驗(yàn)總故障數(shù)為r′時(shí)，統(tǒng)計(jì)量2λT′介于2λTr′和2λTr′+1之間，而2λTr′服從自由度2r′的χ2分布，2λTr′+1服從(2r′+2)的χ2分布，即2λTr′～χ2(2r′),2λTr′+1～χ2(2r′+2)，因此采用Cox的建議[4]，近似認(rèn)為2λT′～χ2(2r′+1)，由此得到定時(shí)截尾情況下失效率λ的Fiducial概率密度函數(shù)[5]為

(3)

式中：f(λ)為系統(tǒng)失效率λ的Fiducial概率密度函數(shù)；Γ(x)為伽馬函數(shù)；Γ(y|a,b)表示已知a和b條件下y服從伽馬分布。

對(duì)于指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)組成系統(tǒng)的m個(gè)單元，每個(gè)單元也同樣有2λiT′i～χ2(2r′i+1)，單元失效率λi的Fiducial概率密度函數(shù)為

(4)

式中：fi(λi)為λi的Fiducial概率密度函數(shù)。

由(4)式，可得λi的均值和方差分別為

(5)

(6)

式中：

(7)

假設(shè)這m個(gè)單元根據(jù)單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)(r′i,T′i)折合成系統(tǒng)可靠性意義下的等效故障數(shù)為r″和等效試驗(yàn)時(shí)間為T″，則由等效數(shù)據(jù)(r″,T″)可得系統(tǒng)失效率λ的均值和方差分別為

(8)

(9)

從串聯(lián)系統(tǒng)角度出發(fā)，由(2)式得到各單元失效率λi和系統(tǒng)失效率λ的關(guān)系，即

(10)

(11)

由(5)式～(11)式，按均值相等和方差相等建立折合方程組:

(12)

解此方程組，得r″和T″分別為

(13)

(14)

對(duì)于(13)式和(14)式，需要特別說明的是：

T′i(2)=T′(1)，

(15)

r′i(2)=(T′(1)/T′i)×r′i，

(16)

式中：r′i(2)、T′i(2)為單元i的信息壓縮后數(shù)據(jù)(i=m′+1,…,m)。

由(13)式、(14)式，得到由單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)折合到的等效故障數(shù)r″和等效試驗(yàn)時(shí)間T″，再加上系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的故障數(shù)r′和試驗(yàn)時(shí)間T′，就得到總故障數(shù)和試驗(yàn)總時(shí)間，即

(17)

式中：r為總故障數(shù)；T為試驗(yàn)總時(shí)間。

有了(r,T)，就可依據(jù)國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB899A給出MTBF點(diǎn)估計(jì)值和區(qū)間估計(jì)[θL,θU]或單側(cè)置信下限[11]，此處不再?gòu)?fù)述。

對(duì)于定數(shù)截尾情況，統(tǒng)計(jì)量2λT′～χ2(2r′)，由此得到定數(shù)截尾情況下失效率λ的Fiducial概率密度函數(shù)[2]為

(18)

由(18)式仿照定時(shí)截尾情況的推導(dǎo)過程，可得到定數(shù)截尾情況下的單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)折合公式，推導(dǎo)過程不再贅述，直接給出折合結(jié)果：

(19)

(20)

若出現(xiàn)某個(gè)單元故障數(shù)為0情況，則參照定時(shí)截尾折合方法的特別說明內(nèi)容進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮處理。(19)式和(20)式是大多數(shù)文獻(xiàn)利用單元信息的折合公式，這兩個(gè)公式與(13)式、(14)式是有差異的，直接將(19)式和(20)式應(yīng)用到定時(shí)截尾情況，將會(huì)導(dǎo)致折合誤差。

3 實(shí)例計(jì)算

某型裝甲車輛火控系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)采用定時(shí)截尾方案，規(guī)定的系統(tǒng)試驗(yàn)總時(shí)間為390.0 h. 該火控系統(tǒng)由9個(gè)單元組成，單元和系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某火控系統(tǒng)單元和系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)

以往的MTBF估計(jì)方法是只統(tǒng)計(jì)全部單元同時(shí)參與試驗(yàn)的系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間，即只計(jì)390.0 h,將獨(dú)立開展的單元試驗(yàn)故障數(shù)直接計(jì)入系統(tǒng)故障數(shù)，則故障數(shù)為5，因此MTBF的點(diǎn)估計(jì)值=390.0 h/5=78.0 h，置信度80%下的單側(cè)置信下限為49.3 h. 這種可靠性數(shù)據(jù)處理方法有一個(gè)問題：?jiǎn)卧囼?yàn)數(shù)據(jù)和系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是在不同環(huán)境下取得的，單元的2個(gè)故障在數(shù)值上也不一定等效于系統(tǒng)的2個(gè)故障，單元故障數(shù)直接和系統(tǒng)故障數(shù)相加作為試驗(yàn)總故障數(shù)存在不合理性，局部不可能直接等效于總體。

為科學(xué)合理地利用單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)，首先采用(13)式和(14)式進(jìn)行單元數(shù)據(jù)等效處理，則單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)等效的系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間為39.5 h，等效故障數(shù)為2.3；再結(jié)合系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間和故障數(shù)，由(17)式得到總試驗(yàn)時(shí)間為429.5 h和總故障數(shù)為5.3，由此得到該火控系統(tǒng)的MTBF點(diǎn)估計(jì)值為81.0 h，同樣在置信度80%下的單側(cè)置信下限為52.0 h.

上述評(píng)估過程表明：

1)由折合公式得到單元的2個(gè)故障等效于系統(tǒng)的2.3個(gè)故障，進(jìn)一步驗(yàn)證了將單元故障數(shù)直接和系統(tǒng)故障數(shù)相加是不合理的，同時(shí)單元數(shù)據(jù)向系統(tǒng)數(shù)據(jù)等效后，不能簡(jiǎn)單認(rèn)為故障數(shù)一定減少。

2)各單元試驗(yàn)時(shí)間有長(zhǎng)有短，單元數(shù)據(jù)等效的系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間為39.5 h，比最短的車長(zhǎng)瞄準(zhǔn)鏡試驗(yàn)時(shí)間33.2 h要長(zhǎng)些，因此取最短試驗(yàn)時(shí)間作為等效的系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間方法也是不合理的，在一些可靠性試驗(yàn)中曾出現(xiàn)這種錯(cuò)誤做法。

3)MTBF點(diǎn)估計(jì)值和單側(cè)置信下限均有所提高，這是因?yàn)槌浞掷昧藛卧囼?yàn)數(shù)據(jù)，在系統(tǒng)試驗(yàn)信息之外又增加了額外信息，MTBF估計(jì)精度得到提高。

4)通過對(duì)單元試驗(yàn)信息的利用，可以提高等效后的總試驗(yàn)時(shí)間，因此可以適當(dāng)減少系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間，從而縮短試驗(yàn)周期和減少試驗(yàn)消耗。

4 結(jié)論

本文基于指數(shù)型串聯(lián)系統(tǒng)模型，分別給出了定時(shí)截尾和定數(shù)截尾試驗(yàn)情況下的單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)折算方法，依據(jù)折算方法可以充分利用單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)，使得可靠性評(píng)估結(jié)果更反映武器裝備的真實(shí)情況。得出主要結(jié)論如下：

1)利用只統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間和統(tǒng)計(jì)所有故障數(shù)(單元和系統(tǒng))的方案進(jìn)行可靠性評(píng)估，是非常嚴(yán)苛的試驗(yàn)方法，試驗(yàn)結(jié)果偏于保守，也不夠合理，在武器裝備定型過程中容易引起生產(chǎn)方的爭(zhēng)議。

2)丟棄單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)的做法實(shí)際上損失了單元部分的可靠性試驗(yàn)信息，在單元試驗(yàn)時(shí)間比較長(zhǎng)而系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間比較短的情況下，可以考慮利用單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)提高可靠性評(píng)估精度，減少試驗(yàn)消耗。

3)單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過上文的折合算法可計(jì)算出等效的系統(tǒng)試驗(yàn)時(shí)間和故障數(shù)，可以合理利用單元試驗(yàn)信息，折合算法見(13)式、(14)式(定時(shí)截尾)或(19)式、(20)式(定數(shù)截尾)，兩組公式是有區(qū)別的，定時(shí)截尾情況直接套用定數(shù)截尾的折合公式是值得商榷的。