微課程教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐*
——以“中心極限定理”為例

汪麗娜 龐晶 （內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院）

微課程是微型學(xué)習(xí)的一種具體形式，主要以短時(shí)視頻為載體記錄微型化的教學(xué)內(nèi)容，是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式的革新[1]。為貫徹落實(shí)《教育部關(guān)于全面提高高等教育質(zhì)量的若干意見(jiàn)》精神，推動(dòng)信息技術(shù)與大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)深度融合，促進(jìn)教師更新教學(xué)理念、革新教學(xué)方法、創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)、提升教學(xué)能力，由教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)和全國(guó)高等學(xué)校教學(xué)研究中心共同主辦了“全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽”，促進(jìn)了數(shù)學(xué)類(lèi)課程教育教學(xué)改革的發(fā)展、積累了教學(xué)成果。

微課程具有短小精悍可重現(xiàn)的教學(xué)優(yōu)勢(shì)。與傳統(tǒng)教學(xué)50分鐘一節(jié)課的安排方式相比，微課程的教學(xué)時(shí)間較短，更利于集中注意力學(xué)習(xí)，符合認(rèn)知規(guī)律。其次，微課程是對(duì)某個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)教學(xué)，與傳統(tǒng)教學(xué)相比，其主題更加突出、針對(duì)性較強(qiáng)。此外，微課程視頻易于保存?zhèn)鞑?，具有更高的教學(xué)可重現(xiàn)性，可以供多位教師多次再利用，也可以供學(xué)生預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)使用。本文以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的一類(lèi)定理——中心極限定理為例，闡述微課程教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)踐。文章第一部分介紹中心極限定理的教學(xué)特征；第二部分給出中心極限定理的微課程教學(xué)設(shè)計(jì)；第三部分闡述微課程實(shí)踐的特點(diǎn)。

一 中心極限定理的教學(xué)特征

在概率論當(dāng)中，將“相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布”這樣的定理統(tǒng)稱(chēng)為中心極限定理。它是概率論當(dāng)中最重要的一類(lèi)定理，具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。例如，應(yīng)用中心極限定理規(guī)劃雨量站網(wǎng)設(shè)計(jì)[2]，使得降水監(jiān)測(cè)更科學(xué)、經(jīng)濟(jì)；應(yīng)用中心極限定理計(jì)算股價(jià)期權(quán)價(jià)格[3]；中心極限定理在保險(xiǎn)精算[4]等行業(yè)中的應(yīng)用。

多數(shù)本科非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，中心極限定理包括：列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理。2019年考研數(shù)學(xué)大綱中對(duì)中心極限定理的考試要求是：了解列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理（數(shù)學(xué)一）；了解列維——林德伯格定理、棣莫弗——拉普拉斯定理，并會(huì)用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率（數(shù)學(xué)三）。

中心極限定理的教學(xué)安排在隨機(jī)變量、分布函數(shù)、數(shù)字特征等先修內(nèi)容之后，抽樣、估計(jì)、檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之前。從這個(gè)意義上講，中心極限定理可以看作是概率、數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩部分的銜接，有著承上啟下的作用。一方面，中心極限定理可以刻畫(huà)正態(tài)分布的形成機(jī)制，解釋正態(tài)分布的普遍性；另一方面，中心極限定理是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基石，是學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。從教學(xué)地位、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容三個(gè)方面，中心極限定理都占有重要的位置。與之形成鮮明的對(duì)比，在課程考核時(shí)，中心極限定理被忽略了。近10年的碩士研究生入學(xué)考試中，沒(méi)有涉及到中心極限定理的考題。

雖然中心極限定理應(yīng)用廣泛、地位重要，但是考試“指揮棒”沒(méi)有指到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，造成很多學(xué)生學(xué)習(xí)中心極限定理不夠積極，部分教師對(duì)中心極限定理的教學(xué)不夠重視?，F(xiàn)有中心極限定理教學(xué)中存在一些問(wèn)題：教學(xué)內(nèi)容缺乏巧妙的設(shè)計(jì)；教學(xué)手段比較簡(jiǎn)單，形象化演示不足；教學(xué)中的應(yīng)用場(chǎng)景做得不夠好，缺乏案例設(shè)計(jì)。

二 微課程教學(xué)設(shè)計(jì)

中心極限定理從理論上說(shuō)明了“許多類(lèi)型”的隨機(jī)變量，它們的極限分布服從正態(tài)分布，這既肯定了正態(tài)分布在概率論中的重要地位，也為計(jì)算概率提供了強(qiáng)有力的手段。考慮到授課對(duì)象是理工科非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生，他們的主要專(zhuān)業(yè)需求和未來(lái)職業(yè)需求是應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的思想和方法。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)中心極限定理的研究對(duì)象和應(yīng)用中心極限定理解決實(shí)際問(wèn)題。選取案例時(shí)，選擇學(xué)生易于產(chǎn)生共鳴的題材；證明定理時(shí)，注重形象化的展示；應(yīng)用定理時(shí)，清晰明了地強(qiáng)調(diào)如何使用。

列維——林德伯格定理微課程的教學(xué)設(shè)計(jì)以如何設(shè)置住宅小區(qū)的停車(chē)位數(shù)量開(kāi)篇，引出中心極限定理的研究對(duì)象：獨(dú)立隨機(jī)變量的和。使用數(shù)值模擬方式，形象化地展示案例，啟發(fā)學(xué)生提出猜想，引出列維——林德伯格定理。省略定理的證明，采用數(shù)值模擬的方法形象化地驗(yàn)證定理內(nèi)容。最后，使用列維——林德伯格定理計(jì)算開(kāi)篇提出的案例：小區(qū)停車(chē)位數(shù)量問(wèn)題。

隨著私家車(chē)保有量的增加，住宅小區(qū)停車(chē)問(wèn)題越來(lái)越嚴(yán)重。根據(jù)小區(qū)的地理位置、預(yù)期房?jī)r(jià)、未來(lái)業(yè)主情況等信息，獲知某住宅小區(qū)一千戶(hù)居民的戶(hù)擁有汽車(chē)數(shù)量的分布情況，問(wèn)如何設(shè)置該小區(qū)的停車(chē)位數(shù)量，使得每輛車(chē)具有一個(gè)車(chē)位的概率不小于0.97。以此案例開(kāi)篇，引導(dǎo)學(xué)生：已知戶(hù)擁有汽車(chē)量的分布，如果能夠得到一千戶(hù)居民擁有汽車(chē)量的分布情況，問(wèn)題可解。由此引出中心極限定理的研究對(duì)象：隨機(jī)變量和的分布。此外，采用數(shù)值模擬的方法將一千戶(hù)居民擁有汽車(chē)數(shù)量的分布情況呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：和隨機(jī)變量服從什么分布。

棣莫弗——拉普拉斯定理微課程的教學(xué)設(shè)計(jì)以二項(xiàng)分布在醫(yī)學(xué)、保險(xiǎn)精算、質(zhì)量檢測(cè)等方面的廣泛應(yīng)用開(kāi)篇，提出問(wèn)題：在分析計(jì)算實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不可避免地涉及二項(xiàng)概率的計(jì)算，n 較大時(shí)直接用公式計(jì)算比較煩瑣，有更方便的計(jì)算方法嗎？開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地引出棣莫弗——拉普拉斯定理：n 充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量漸近服從正態(tài)分布。從數(shù)學(xué)證明、數(shù)值模擬兩個(gè)方面驗(yàn)證定理內(nèi)容。然后，利用定理解決開(kāi)篇提出的實(shí)際問(wèn)題：保險(xiǎn)盈利的概率。

三 微課程教學(xué)實(shí)踐

1 案例教學(xué)

案例一：設(shè)置合適的停車(chē)位數(shù)量。隨著私家車(chē)保有量的增加，停車(chē)問(wèn)題越來(lái)越嚴(yán)峻。根據(jù)地理位置、預(yù)期房?jī)r(jià)、目標(biāo)業(yè)主情況等信息，獲知某住宅小區(qū)居民每戶(hù)擁有汽車(chē)數(shù)量X 的分布律為：P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.6，Ps(X=2)=0.1；問(wèn)：小區(qū)共有1000 戶(hù)住戶(hù)，需要多少停車(chē)位，可以使該每輛車(chē)擁有一個(gè)車(chē)位的概率不小于0.97。

案例二：隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。以加工零件為例，一位工人在機(jī)床上加工零件，加工過(guò)程中受到一些隨機(jī)因素的影響：噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變；空氣擾動(dòng)、大地微震；機(jī)床本身有磨損；工人的技術(shù)熟練程度不同；工人感覺(jué)器官無(wú)規(guī)律變化等等。這些隨機(jī)因素的影響使得加工出的零件與要求存在一定誤差。這個(gè)隨機(jī)誤差是由大量的微小的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響構(gòu)成的，因此，根據(jù)中心極限定理它近似服從正態(tài)分布。

案例三：戀愛(ài)保險(xiǎn)盈利的概率。2017年初，某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推出一項(xiàng)戀愛(ài)保險(xiǎn)：投保人支付少量的保金（有三個(gè)檔次），如果在第3～13年內(nèi)結(jié)婚，可以獲贈(zèng)近保金20 倍的祝福金。這項(xiàng)保險(xiǎn)具有祝福和承諾的美好含義，推出當(dāng)天即售出1.5 萬(wàn)份。簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題，假設(shè)每個(gè)投保人交納99 元保金，符合約定條款的概率為0.04，符合約定條款后可獲贈(zèng)祝福金1999 元。忽略其他成本，如果有一萬(wàn)人投保，問(wèn)：保險(xiǎn)公司獲利的概率是多少？

將案例引入教學(xué)中，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到抽象的定理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生數(shù)理統(tǒng)計(jì)的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)他們喜愛(ài)數(shù)理統(tǒng)計(jì)。在中心極限定理微課程教學(xué)實(shí)踐時(shí)，使用了三個(gè)案例。這些案例來(lái)源于實(shí)際，貼近學(xué)生生活，使教學(xué)更生動(dòng)；此外，理解這些案例不需要深厚的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，適用于各個(gè)學(xué)院的學(xué)生，應(yīng)用范圍較廣。引入列維——林德伯格定理時(shí)，使用數(shù)值模擬方法處理了案例一，合理設(shè)置住宅小區(qū)的停車(chē)位數(shù)量；講授列維——林德伯格定理的應(yīng)用時(shí)，使用了案例二，解釋為什么物理實(shí)驗(yàn)中將隨機(jī)誤差認(rèn)定為服從正態(tài)分布；在應(yīng)用棣莫弗——拉普拉斯定理處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，使用了案例三，啟發(fā)學(xué)生初步了解保險(xiǎn)精算。

2 形象化教學(xué)

形象化教學(xué)可以將抽象的內(nèi)容具化地展示出來(lái)。在棣莫弗——拉普拉斯定理的微課程教學(xué)設(shè)計(jì)中，采用數(shù)學(xué)證明和數(shù)值模擬相結(jié)合的方式驗(yàn)證定理內(nèi)容。如圖1 所示，每次生成一萬(wàn)組隨機(jī)數(shù)、每組一百個(gè)數(shù)據(jù)。圖1 是參數(shù)為n=100，p=0.2 的二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)頻率直方圖。圖形呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低、左右對(duì)稱(chēng)”的特點(diǎn)，符合正態(tài)鐘形曲線的特征。圖1 的數(shù)值模擬柱狀圖不僅輔助了定理的證明，而且鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，引導(dǎo)他們先大膽猜想再?lài)?yán)格證明，這也是科學(xué)研究中常用的一種思維方式，理論證明與數(shù)值模擬相符。

圖1 二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)頻率直方圖

此外，某些情況下受知識(shí)所限不能給出嚴(yán)格證明時(shí)，形象化教學(xué)可以起到驗(yàn)證證明的輔助作用。由于知識(shí)所限，教材中省略了列維——林德伯格定理的證明。在微課程教學(xué)實(shí)踐中，我們使用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了定理的內(nèi)容，形象化地展示了列維——林德伯格定理，這有利于學(xué)生理解和領(lǐng)悟定理內(nèi)容，如圖2 和圖3 所示。圖2 以指數(shù)分布為例，數(shù)值模擬了列維——林德伯格定理。生成參數(shù)為二分之一的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)，每次生成一萬(wàn)組、每組 n 個(gè)數(shù)據(jù)（a：n=1；b：n=2；c：n=10；d：n=100），計(jì)算隨機(jī)數(shù)的和，做頻率直方圖。觀察這些直方圖，隨著n 的增加，圖形呈現(xiàn)出鐘形曲線的特征，趨近正態(tài)曲線。通過(guò)圖2 的演示，學(xué)生可以觀察到：隨著隨機(jī)變量疊加之個(gè)數(shù)的增大，曲線由偏態(tài)逐漸向正態(tài)接近的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)中心極限定理的理解。

圖2 以指數(shù)分布為例，展示列維—林德伯格定理

圖3 以一些常見(jiàn)分布為例，數(shù)值模擬列維——林德伯格定理。分別生成四種不同分布（圖3a：參數(shù)為2 的泊松分布；圖3b：參數(shù)為0、4 的均勻分布；圖3c：參數(shù)為三分之一的幾何分布；圖3d：參數(shù)為10、0.2 的二項(xiàng)分布）的隨機(jī)數(shù)，每次生成一萬(wàn)組、每組100 個(gè)數(shù)據(jù)；計(jì)算隨機(jī)數(shù)的和，做頻率直方圖，可以觀察到圖形呈現(xiàn)出正態(tài)鐘形曲線的特征。圖3 的可視化展示再次印證了中心極限定理的重要作用：不論隨機(jī)變量服從什么分布，不論隨機(jī)變量是離散型還是連續(xù)型，滿(mǎn)足一定條件時(shí)，隨著隨機(jī)變量個(gè)數(shù)的疊加，部分和隨機(jī)變量都近似服從正態(tài)分布。

圖3 以一些常見(jiàn)分布為例，展示列維—林德伯格定理

3 教學(xué)的系統(tǒng)性

教學(xué)設(shè)計(jì)中融入簡(jiǎn)短的科學(xué)發(fā)展史信息，提高學(xué)生對(duì)中心極限定理的認(rèn)知。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材和教學(xué)中，遵循了從一般到特殊的邏輯規(guī)律，將列維——林德伯格定理安排在棣莫弗——拉普拉斯定理的前面；并且，使用列維——林德伯格定理的一般性結(jié)論證明了棣莫弗——拉普拉斯定理。事實(shí)上，從歷史發(fā)展進(jìn)程的角度，棣莫弗——拉普拉斯定理出現(xiàn)的更早。1733年，棣莫弗研究了二項(xiàng)概率的近似計(jì)算問(wèn)題；約40年后，拉普拉斯建立了中心極限定理較一般的形式；到20世紀(jì)30年代，獨(dú)立和中心極限定理的最一般形式最終完成[5]。介紹科學(xué)發(fā)展史可以培養(yǎng)學(xué)生的理性思維；與此同時(shí)，為那些感興趣的學(xué)生提供繼續(xù)深入認(rèn)識(shí)中心極限定理的渠道。

微課程中的第一個(gè)字——微，包含了兩層含義。一方面，微課程教學(xué)時(shí)間短，相對(duì)于傳統(tǒng)的課堂教學(xué)一學(xué)時(shí)50 分鐘時(shí)長(zhǎng)而言，微課程視頻時(shí)長(zhǎng)在10 分鐘左右甚至更短。另一方面，微課程教學(xué)內(nèi)容少，一個(gè)微課程講授一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。微課程時(shí)間短，更方便學(xué)生將碎片化的時(shí)間利用起來(lái)，這是微課程的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。但同時(shí)，微課程教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)避免將知識(shí)碎化，教學(xué)設(shè)計(jì)中更應(yīng)加強(qiáng)教學(xué)完整性、系統(tǒng)性的考量。兩個(gè)中心極限定理微課程教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，特別注意了合理設(shè)置課程結(jié)構(gòu)。教學(xué)過(guò)程依據(jù)“案例引子→可視化展示→定理→應(yīng)用于案例→小結(jié)”的結(jié)構(gòu)；微課程結(jié)束部分安排了課程小結(jié)，注重了講授的完整性和系統(tǒng)性；定理和定理的應(yīng)用兩部分時(shí)長(zhǎng)占比超過(guò)70%，突出了課程的重點(diǎn)。此外，配以一定的輔助材料：練習(xí)題及其詳解和數(shù)值模擬時(shí)的程序代碼。