大學(xué)物理剛體力學(xué)中的進(jìn)動(dòng)研究及應(yīng)用拓展

杜永勝 陳華 韓向剛 慕利娟

摘 ?要：為了開(kāi)展大學(xué)物理課程的生動(dòng)形象化教學(xué)、增強(qiáng)大學(xué)物理與工程技術(shù)的結(jié)合度，針對(duì)剛體力學(xué)中的進(jìn)動(dòng)進(jìn)行了理論及應(yīng)用拓展研究。由進(jìn)動(dòng)方程分析了車(chē)輪進(jìn)動(dòng)的具體運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，通過(guò)陀螺儀的實(shí)物演示揭示了飛機(jī)導(dǎo)航儀的工作原理，炮膛中的來(lái)復(fù)線(xiàn)表明了炮彈飛行中包含進(jìn)動(dòng)。工程應(yīng)用實(shí)例的引出表明了大學(xué)物理知識(shí)點(diǎn)的具體應(yīng)用，必然會(huì)提高教學(xué)效果與質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理;剛體;進(jìn)動(dòng);角動(dòng)量;陀螺儀

中圖分類(lèi)號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2019）03-0061-03

Abstract： In order to carry out vivid visualization of teaching and enhance the integration degree of physics and engineering， the precession in rigid body mechanics has been researched by means of theory and application development. ?The precession movement of the wheel characteristics can be analyzed by the precession equation. ?The working principle of the aircraft navigation can be revealed through physical demonstration of the gyroscope. ?The precession can be included in the flight of shell by the rifling of bore. ?The introductions of engineering application indicate the application of physical knowledge. As a result， teaching effectiveness and quality can be improved.

Keywords： college physics; rigid body; precession; angular momentum; gyroscope

大學(xué)物理課程由于涉及力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)、振動(dòng)及波動(dòng)、近代物理等主要自然科學(xué)內(nèi)容而成為各高等學(xué)校理工科專(zhuān)業(yè)主要的必修課程，大學(xué)物理課程與其他基礎(chǔ)類(lèi)必修課程最明顯的區(qū)別在于大量的物理實(shí)驗(yàn)?zāi)茱@現(xiàn)各種奇異的物理現(xiàn)象，通過(guò)大學(xué)物理的學(xué)習(xí)有助于理解自然界各種現(xiàn)象的本質(zhì)[1-3]。同時(shí)大學(xué)物理各章節(jié)內(nèi)容也成為理工科學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專(zhuān)業(yè)課的理論基礎(chǔ)。此外，日常生活中涉及的一些工程問(wèn)題也可利用大學(xué)物理相關(guān)知識(shí)定量或定性解決。因而教師除了保證基本的課堂理論教學(xué)外，還可以通過(guò)相關(guān)的實(shí)物或視頻演示展現(xiàn)理論知識(shí)的應(yīng)用所在，使學(xué)生真正感受到應(yīng)用理論知識(shí)就可以解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)物理的興趣。

大學(xué)物理力學(xué)內(nèi)容除研究質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)外，具有一定形狀或大小的剛體模型更符合實(shí)際情況。相比于質(zhì)點(diǎn)（系）的平動(dòng)，剛體力學(xué)主要研究剛體的定軸旋轉(zhuǎn)[4]。剛體的進(jìn)動(dòng)則屬于剛體轉(zhuǎn)軸不固定的情況，例如常見(jiàn)的陀螺除繞本身對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，其對(duì)稱(chēng)軸還將繞豎直軸回轉(zhuǎn)，這種在外力作用下自轉(zhuǎn)物體的自轉(zhuǎn)軸繞某一中心軸旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象稱(chēng)為進(jìn)動(dòng)。進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象在實(shí)際工程中應(yīng)用非常廣泛[5]，結(jié)合實(shí)際案例進(jìn)行進(jìn)動(dòng)的課堂教學(xué)必然能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也能體現(xiàn)學(xué)習(xí)大學(xué)物理的價(jià)值所在。

一、進(jìn)動(dòng)方程

設(shè)存在某一物理矢量，例如角動(dòng)量，如果其變化率矢量大小不變而方向始終垂直于，則進(jìn)動(dòng)方程可描述為 ，其中常矢量，例如重力。由于變化率矢量總與矢量垂直，而它同時(shí)又是矢量的變化率，則矢量大小不變而方向改變，同時(shí)與方向同時(shí)變化，最終 矢量繞矢量做進(jìn)動(dòng)。

二、進(jìn)動(dòng)應(yīng)用拓展

（一）車(chē)輪的進(jìn)動(dòng)

將車(chē)輪的軸的一端做成球形，放在一根固定的垂直桿頂端的凹槽內(nèi)。先使車(chē)輪軸保持水平，松手則車(chē)輪在重力作用下將發(fā)生傾倒。如果使車(chē)輪高速地繞自身對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)，在重力矩作用下車(chē)輪不會(huì)傾覆。設(shè)車(chē)輪受到的重力為，力臂為，其中為角動(dòng)量單位矢量。設(shè)車(chē)輪所受力矩為，由角動(dòng)量定理可知：

最終可以得到符合進(jìn)動(dòng)方程表達(dá)式。具體討論可知為車(chē)輪重力所產(chǎn)生的重力矩，而分析可知車(chē)輪自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的角動(dòng)量與垂直，因此重力矩只改變角動(dòng)量的大小。受重力矩作用車(chē)輪dt時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量變?yōu)檐?chē)輪同時(shí)沿豎直軸轉(zhuǎn)過(guò)角度為△？漬，觀察可知重力矩此時(shí)與+d垂直。利用以上分析還可進(jìn)一步得到進(jìn)動(dòng)的角速度表達(dá)式，在dt時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量dL大小可表示為：

其中？棕為自轉(zhuǎn)角速度，d？漬為自轉(zhuǎn)軸繞oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，？茲為自轉(zhuǎn)軸與oz軸間的夾角。將角動(dòng)量定理帶入式（2）中，得到Mdt=J？棕sin？茲d？漬。由于進(jìn)動(dòng)角速度定義為？棕p=d？漬/dt，則？棕p=M/J？棕sin？茲。可見(jiàn)，自轉(zhuǎn)角速度越大則進(jìn)動(dòng)角速度越小，穩(wěn)定性越好。

圖1 車(chē)輪進(jìn)動(dòng)俯視圖

（二）陀螺儀及其應(yīng)用

陀螺不旋轉(zhuǎn)時(shí)，在重力作用下將發(fā)生傾倒。陀螺繞本身對(duì)稱(chēng)軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)在重力矩作用下陀螺不會(huì)傾覆。陀螺的定軸性是指其旋轉(zhuǎn)軸方向在沒(méi)有外力矩作用時(shí)將保持不變。圖2給出三維陀螺儀示意圖，其中兩個(gè)內(nèi)圈可動(dòng)圓環(huán)支持陀螺轉(zhuǎn)子但其位置隨機(jī)改變，外圈圓環(huán)方位固定[6]。由于陀螺重力在中心位置導(dǎo)致重力矩為零，忽略阻力作用時(shí)陀螺儀不受外力矩影響，則陀螺儀的自轉(zhuǎn)軸將穩(wěn)定在某一固定方向，表現(xiàn)為陀螺儀的定軸特性，可在慣性導(dǎo)航等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[7]。例如飛機(jī)航向陀螺儀可進(jìn)行飛機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)航向角的測(cè)量，雖然轉(zhuǎn)彎時(shí)航向陀螺儀外殼隨飛機(jī)轉(zhuǎn)向，但陀螺轉(zhuǎn)子依然穩(wěn)定在固定方向，因此可確定飛機(jī)轉(zhuǎn)過(guò)角度。傳統(tǒng)的陀螺儀主要以機(jī)械式為主，陀螺轉(zhuǎn)子必須具有足夠大的慣量或轉(zhuǎn)速，其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、對(duì)制備工藝要求很高，而測(cè)量精度又受多方面制約。目前使用更廣泛的是光纖陀螺儀，包括干涉式和諧振式陀螺儀兩種，其結(jié)構(gòu)緊湊、靈敏度高、工作可靠，已經(jīng)在現(xiàn)代導(dǎo)航儀器中扮演重要角色[8]。教師在課堂講授時(shí)，可從生活中常見(jiàn)的騎自行車(chē)這個(gè)例子出發(fā)，提問(wèn)學(xué)生為什么輪子轉(zhuǎn)得越快車(chē)越不容易倒，為什么旋轉(zhuǎn)的車(chē)軸會(huì)有一股保持水平的力量。

（三）來(lái)復(fù)線(xiàn)

自轉(zhuǎn)速度極大的固體在受到諸如重力力矩的作用時(shí)，將在重力力矩的作用下進(jìn)動(dòng)而不發(fā)生傾覆，這一現(xiàn)象在工程中應(yīng)用廣泛。圖3給出槍膛或炮膛內(nèi)來(lái)復(fù)線(xiàn)結(jié)構(gòu)圖，槍彈或炮彈在射出時(shí)受來(lái)復(fù)線(xiàn)作用將做高速旋轉(zhuǎn)，此時(shí)子彈軸相當(dāng)于陀螺軸，高速旋轉(zhuǎn)的子彈不但繞著彈頭做圓圈運(yùn)動(dòng)，且彈頭的軸線(xiàn)始終圍繞著彈道切線(xiàn)做錐形運(yùn)動(dòng)，保證了子彈在空中飛行時(shí)不翻跟頭，沿彈道曲線(xiàn)飛行。教師在課堂講授相關(guān)內(nèi)容時(shí)，可以先分析子彈無(wú)旋轉(zhuǎn)射出時(shí)的情況。從槍管中高速飛出的子彈受重力作用時(shí)其彈道呈現(xiàn)拋物線(xiàn)形狀。同時(shí)子彈在空中飛行時(shí)還受空氣阻力作用，其方向與子彈運(yùn)動(dòng)方向相反并且一般不作用在子彈的質(zhì)心上，從而對(duì)子彈產(chǎn)生阻力矩作用，使其穩(wěn)定性變差，容易翻倒。最終子彈飛不遠(yuǎn)、打不準(zhǔn)。而在來(lái)復(fù)線(xiàn)作用下子彈高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，空氣阻力作用于子彈上的翻轉(zhuǎn)力矩相對(duì)于地面陀螺受到的重力偶矩，子彈在翻轉(zhuǎn)力矩作用下繞彈道切線(xiàn)作圓錐運(yùn)動(dòng)，其擺動(dòng)角很小不足以使子彈翻倒[9]。

（四）地球的進(jìn)動(dòng)

日常生活中可觀察到當(dāng)陀螺的自轉(zhuǎn)軸傾斜時(shí)，旋轉(zhuǎn)的陀螺在重力矩作用下產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，其旋轉(zhuǎn)軸繞鉛直線(xiàn)緩慢地?fù)u擺并在空間畫(huà)出一個(gè)圓錐面。類(lèi)似的，地軸的進(jìn)動(dòng)是指地球自轉(zhuǎn)軸繞地日軌道面圓心垂線(xiàn)（黃極）的圓錐形運(yùn)動(dòng)。由于地球是一個(gè)扁球體，赤道部分由于自轉(zhuǎn)的慣性離心力作用產(chǎn)生環(huán)形隆起，地軸進(jìn)動(dòng)與月球及太陽(yáng)對(duì)地球赤道隆起部分產(chǎn)生的吸引力矩有關(guān)，需要注意陀螺中引力幾乎平行于自轉(zhuǎn)軸，而地球所受引力幾乎垂直于自轉(zhuǎn)軸，從而使地軸進(jìn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相反，地軸在月球和太陽(yáng)引力作用下有直立趨勢(shì)。地球進(jìn)動(dòng)的速度為每年50.29〃，周期為25700年。地軸進(jìn)動(dòng)使北天極不能固定在某一個(gè)恒星位置，表現(xiàn)為北極星的遷移變換。還會(huì)導(dǎo)致地球極移及緯度變遷、赤道面的系統(tǒng)變化[10]。

三、應(yīng)用拓展的課堂體現(xiàn)

作為理工科學(xué)生的必修課程之一，學(xué)生對(duì)大學(xué)物理復(fù)雜而繁多的公式推導(dǎo)常抱有抵觸心理，并常常困惑學(xué)習(xí)大學(xué)物理能解決什么問(wèn)題，這主要是由于大學(xué)物理中模型常常是理想化的，與實(shí)際常存在差別。這里我們需要時(shí)刻提醒學(xué)生，大學(xué)物理的理論公式背后是一個(gè)個(gè)生動(dòng)、有趣又奇異的物理實(shí)驗(yàn)，了解并掌握這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的原理非常有助于對(duì)公式的理解，同時(shí)還有可能解決一些實(shí)際的問(wèn)題，這樣才能極大地促進(jìn)學(xué)生對(duì)大學(xué)物理的學(xué)習(xí)興趣。教師在進(jìn)行實(shí)際工程問(wèn)題的課堂引入時(shí)，一定要注意問(wèn)題的選擇。簡(jiǎn)單的視頻播放及原理簡(jiǎn)介并不能真正的促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考，而過(guò)于復(fù)雜的理論推導(dǎo)學(xué)生往往難以掌握，二者效果都不理想。教師應(yīng)在選題上選取學(xué)生有一定了解并感興趣的題目，這些題目或者可以借助于大學(xué)物理中的公式說(shuō)明原理、或者教師提前給出這些工程問(wèn)題的圖形化結(jié)果并讓學(xué)生借助物理公式分析討論，這樣才能讓學(xué)生真正參與進(jìn)來(lái)，提高教學(xué)效果。在剛體進(jìn)動(dòng)部分的課堂教學(xué)中，教師可以拿常見(jiàn)的實(shí)物陀螺為例，進(jìn)行剛體進(jìn)動(dòng)內(nèi)容的講解，進(jìn)而可以結(jié)合永磁鐵進(jìn)行陀螺懸浮的演示，如圖5所示。這里可以提問(wèn)學(xué)生，永磁鐵的磁力線(xiàn)分布情況如何，實(shí)現(xiàn)懸浮為什么陀螺必須旋轉(zhuǎn)起來(lái)等問(wèn)題。此外，直升飛機(jī)的飛行中主旋翼就是一個(gè)大陀螺，它本身具有陀螺效應(yīng)。由于重力不通過(guò)旋翼頭中心，所以造成力矩的產(chǎn)生，從而導(dǎo)致主旋翼發(fā)生進(jìn)動(dòng)，導(dǎo)致飛行穩(wěn)定性的喪失，這里可以要求學(xué)生通過(guò)查閱資料尋找解決方法[11]。另一方面，由角動(dòng)量守恒可知，直升飛機(jī)尾旋翼可抵消主旋翼對(duì)機(jī)身扭力的作用，從而保證了機(jī)身的平穩(wěn)。通過(guò)人工操作尾旋翼角度保證機(jī)身穩(wěn)定難度極大。而利用陀螺儀實(shí)現(xiàn)則非常容易，陀螺儀根據(jù)機(jī)身的擺動(dòng)多少自動(dòng)作出補(bǔ)償訊號(hào)給伺服器，進(jìn)而改變尾旋翼角度，產(chǎn)生推力平衡機(jī)身。

四、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)進(jìn)動(dòng)問(wèn)題的理論研究及應(yīng)用拓展，在課堂教學(xué)中將學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題引入并讓學(xué)生利用所學(xué)物理公式進(jìn)行定性或定量解釋?zhuān)岣吡苏n堂教學(xué)效果、開(kāi)闊了學(xué)生眼界并真正體現(xiàn)了學(xué)習(xí)大學(xué)物理的目的所在。教師在授課中需要注意案例的選擇內(nèi)容及學(xué)時(shí)安排等問(wèn)題。

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