變換讓數(shù)學(xué)概念更厚重

范琰

在近階段的畢業(yè)復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)以往數(shù)學(xué)知識(shí)的遺忘程度真的讓人感到難以置信，特別是量與計(jì)量的換算，簡直是一塌糊涂，百思不得其解。聽了特級(jí)教師周衛(wèi)東的《分?jǐn)?shù)的意義》一課后，筆者恍然大悟。學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時(shí)，尤其是核心概念的學(xué)習(xí)，如果沒有豐富的典型素材，也沒有不斷地變換教學(xué)方式，只是一味簡單地重復(fù)概念，那只是一種低等級(jí)水平的技能上高頻熟練而已，并沒有真正地觸動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，思維也沒有得到很好的發(fā)展，當(dāng)然學(xué)生遺忘得也快。周衛(wèi)東在《分?jǐn)?shù)的意義》中的幾個(gè)巧妙的變換，讓單薄的概念變得如此的厚重，值得琢磨。現(xiàn)擷取幾個(gè)精彩片斷，與大家一起賞析。

變換素材，多維度詮釋概念

數(shù)學(xué)中的概念似乎都與“抽象”掛鉤，而我們往往沒有站在孩子的角度，習(xí)慣用成人的眼光看數(shù)學(xué)問題，認(rèn)為這些概念很簡單不必“糾纏”豐富的素材，往往為了趕時(shí)間而急于得出概念，然后讓學(xué)生進(jìn)行識(shí)記并應(yīng)用，這樣的教學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程肯定不夠深刻。名師的課堂會(huì)讓我們窺見一斑，原來數(shù)學(xué)概念也可以上得如此的形象生動(dòng)。在揭示核心概念的時(shí)候，他們舍得花時(shí)間，通過數(shù)形結(jié)合，不斷地變換素材，把一個(gè)概念從多個(gè)維度詮釋得淋漓盡致，讓學(xué)生感到不是在重復(fù)著同一內(nèi)容的操練，而是每道題目都有新意，都有不同的味道，但始終都是理解同一個(gè)概念。

【片段一】 ?的素材變換，感知分?jǐn)?shù)的意義

下面各圖中的涂色部分，哪些能用

表示？

（1） ? ? ?（2）

（3） ? ? ? ? ? ?（4）

生1：（1）（2）（3）涂色部分可以用 ?表示。

生2：第（4）幅圖表示把5個(gè)△平均分成5份，涂了其中的3份，用 ?來表示。

課件隱去一幅，剩（1）（2）（3）。

師：（1）（2）（3）為什么都能用 表示呢？這三幅圖有哪些相同的地方？

生：因?yàn)榘岩粋€(gè)圓平均分成4份，涂色了3份。把一條1米長的線段平均分成4份，涂色了3份。把8個(gè)圓平均分成4份，涂色了3份。所以都可以用 ?表示。

師：剛才大家分別說了三幅圖的意思，能不能概括地說一下。

生：這三幅圖都平均分成4份，把其中的三份涂起來。

師：都是把一個(gè)整體平均分成4份，表示這樣的3份。這三幅圖哪兒不一樣？

生：其中一份的數(shù)不一樣。

師：你能明白他的意思嗎？

生：分的總量不一樣。

師：（針對(duì)1號(hào)月餅圖）一個(gè)蘋果可以嗎？一個(gè)月餅、一個(gè)蘋果等都稱為1個(gè)物體。

師：（針對(duì)2號(hào)1米圖）把1米平均分成4份，還可以是1厘米、1分米，1天可以嗎？1小時(shí)可以嗎？1噸呢？也就是說把一個(gè)計(jì)量單位平均分成4份，表示這樣的3份。

師：（針對(duì)3號(hào)圓形圖）把8個(gè)圓形平均分成4份，這8個(gè)圓形還可以是什么？（生答略）也就是一些物體。

師：一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一些物體，給這三個(gè)取一個(gè)共同的名字，叫做單位“1”，寫得時(shí)候這樣寫“1”，讀的時(shí)候讀作單位“1”。

師：究竟什么是 ?呢？

生：把單位“1”平均分成4份，表示這樣的3份。

區(qū)區(qū)一個(gè) ，不僅用了以上五幅不同的圖形，還從一號(hào)圖的月餅聯(lián)想到一個(gè)蘋果，一個(gè)月餅、一個(gè)蘋果等都稱為1個(gè)物體。由（2）號(hào)圖的1米聯(lián)想到1厘米、1分米，1天、1小時(shí)、1噸，從而概括成把一個(gè)“計(jì)量單位”平均分成4份，表示這樣的3份。從（3）號(hào)圖由8個(gè)圓形聯(lián)想到一些物體。從“一個(gè)”聯(lián)想到“一類”，豐厚的素材從不同的維度足以讓學(xué)生深刻理解 的意義，有種“似曾相似，卻又不同”的感覺。

變換提問方式，打破思維定勢

在上“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，我們都知道理解單位“1”是重中之重，但糟糕的是都掉入單位“1”中無法自拔，模式化的一句話“把誰看作單位1，平均分成幾份，表示這樣的幾份”貫穿課的始終，甚至用于整個(gè)單元。這純是一種形式化的敘述，而學(xué)生并沒有真正地感悟單位“1”的意義。實(shí)踐表明，只有不斷地變換提問的方式，放眼于整個(gè)單元的內(nèi)容（求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)），多角度地打破平時(shí)一貫的敘述方式，才能真正靈活地理解單位“1”的本質(zhì)含義。

【片段二】感悟單位“1”的提問變換，理解分?jǐn)?shù)的意義

師：分?jǐn)?shù)中只有 嗎？這兒有兩個(gè)分?jǐn)?shù)： ， 各表示什么意思？

生1： 把單位“1”平均分成6份，表示這樣的1份。

生2： 把單位“1”平均分成3份，表示這樣的2份。

師：這兒有四種不同的單位“1”，如果研究 ?，你選哪些作為單位“1”？

出示：選擇合適的單位“1”，表示下列各分?jǐn)?shù)： ，

（1）

（2）

（3）

師：干嗎不選第（1）個(gè)？

生：7÷6，7÷3除不盡。

師：男女各選一個(gè)分?jǐn)?shù)，把這個(gè)分?jǐn)?shù)畫出來。

生1：把鐘面上12個(gè)刻度平均分成3份，涂這樣的2份。

生2：把12個(gè)圓形平均分成3份，涂這樣的2份。

生3：把這條線段平均分成3份，每份是這樣的 ?，2份是這樣的 ?。

生4：把圓形平均分成6份，涂這樣的1份。

師：比較（2）（3），有什么不同？

小結(jié)：橫著看，表示的分?jǐn)?shù)一樣，不同的單位“1”可以表示同一個(gè)分?jǐn)?shù)。

豎著看，同樣的單位“1”，可以表示不同的分?jǐn)?shù)。揭示分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。

變換之一：讓學(xué)生自主選擇單位“1”的量。“這兒有四種不同的單位“1”，如果研究 ?，你選哪些作為單位‘1’？”尤其用了反證材料7個(gè)三角形，7都不是6和3的倍數(shù)，突出“平均分”的重要性，進(jìn)一步理解分母的意義。我們一般都是讓學(xué)生舉例生活中還可以把哪些物體當(dāng)作單位“1”，相比之下，此處的目標(biāo)更為明確，更有思考的價(jià)值。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)教學(xué)的核心之一理解單位“1”，但并不是所有的單位“1”都能直接表示出 ?， ?。

變換之二：這二題圖的橫向與縱向的比較，橫著看，不同的單位“1”可以表示同一個(gè)分?jǐn)?shù);豎著看，同樣的單位“1”，可以表示不同的分?jǐn)?shù)。此處可謂“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情”，突出分?jǐn)?shù)與平均分成的份數(shù)有著舉足輕重的作用，突破教學(xué)的重難點(diǎn)，即分母表示分成的份數(shù)。不同的單位“1”，只要平均分成6份，表示這樣的1份就可以用 表示，與材料的顏色、形狀、大小、多少都無關(guān)。盡管單位“1”相同， ?但分成的份數(shù)不同，涂色的份數(shù)也不同，就可以表示不同的分?jǐn)?shù)，突出分?jǐn)?shù)的分母與分成的份數(shù)有關(guān)，分子與涂色的份數(shù)有關(guān)。

變換比較標(biāo)準(zhǔn)理解相對(duì)性

名師的課堂，看似如出一轍，卻大相徑庭。因?yàn)樗麄兊慕虒W(xué)總是蘊(yùn)藏著深刻的數(shù)學(xué)思想方法，他們的教學(xué)總是“一脈相承”，把前后知識(shí)的來龍去脈搞得一清二楚?！胺?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)可以看作是學(xué)生數(shù)感發(fā)展的一個(gè)分水嶺，從認(rèn)識(shí)表示數(shù)量與順序絕對(duì)數(shù)值到認(rèn)識(shí)表示相對(duì)數(shù)值的分?jǐn)?shù)，這是一次“數(shù)的認(rèn)識(shí)”質(zhì)的飛躍。相對(duì)于自然數(shù)而言，分?jǐn)?shù)的意義更廣泛，所代表的范圍更大，更具有相對(duì)性。周老師在原有的知識(shí)體系上不斷地完善數(shù)的體系，完成數(shù)系的擴(kuò)展。他把分?jǐn)?shù)的教學(xué)置于整個(gè)“數(shù)系”中去，把分?jǐn)?shù)與整數(shù)聯(lián)系起來，通過數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生從數(shù)整數(shù)開始，復(fù)習(xí)自然數(shù)單位，引出分?jǐn)?shù)單位，那么數(shù)出分?jǐn)?shù)便水到渠成，并且把分?jǐn)?shù)的“相對(duì)性”解釋得清清楚楚，這是課堂中所欠缺的。

【片段三】分?jǐn)?shù)的相對(duì)性

師：華羅庚爺爺講過這樣一句話：數(shù)，起源于數(shù)。剛一年級(jí)，我們會(huì)數(shù)1、2、3、4

○○○○ ? ?4，表示4個(gè)一

○○ ? ? ? ?2，表示2個(gè)一

○ ? ? ? ? ?1，

每次數(shù)1個(gè)，所以1是自然數(shù)單位。

師： 你數(shù)了嗎？

， ， ，3個(gè) ，每一次數(shù) ， 的計(jì)數(shù)單位就是 。

師：把4個(gè)圓圈看做單位“1”，那么2個(gè)圓圈怎么表示？1個(gè)圓圈呢？

○○○○ ? ? ? ?“1”

○○

○

師：把2個(gè)圓圈看做單位“1”，那么4個(gè)圓圈怎么表示？1個(gè)圓圈呢？

○○○○ ? ? ? ? ?2

○○ ? ? ? ? ? ?“1”

○

師：同樣是4個(gè)圓，一會(huì)是2，一會(huì)是1，一會(huì)是4，跟誰有關(guān)系？

此處最大的亮點(diǎn)是通過反復(fù)變換比較的標(biāo)準(zhǔn)，把分?jǐn)?shù)置于整個(gè)“數(shù)系”中去理解分?jǐn)?shù)的相對(duì)性，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與自然數(shù)之間的巧妙聯(lián)系。分?jǐn)?shù)的相對(duì)性表現(xiàn)在，同一物體個(gè)數(shù)因相對(duì)的單位“1”不同而用不同的分?jǐn)?shù)來表示，同一個(gè)分?jǐn)?shù)因單位“1”的不同使得它所代表的數(shù)量大小也不同。周老師做得順理成章，筆者明白，原來這節(jié)課還可以這樣上的，同時(shí)深深感到自己對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的淺薄。

其實(shí)，在這節(jié)課中滲透“相對(duì)性”對(duì)以后的教學(xué)也是很有幫助的。我們都知道，在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的應(yīng)用中理解關(guān)系句是尤為重要的，把誰看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，與它比較的另一個(gè)量隨著這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的變化而變化。如女生人數(shù)比男生多25%，若把男生看成100份，則女生125份;若把男生看成4份，則女生5份;若把男生看成1份，則女生（1+25%）份等。這樣的“相對(duì)性”教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多個(gè)角度思考問題，避免了解題的盲目性，有利于培養(yǎng)求異思維和求同思維，讓學(xué)生感悟到數(shù)出分?jǐn)?shù)是有條件的，也就是說比較的標(biāo)準(zhǔn)量大小變了，比較的對(duì)應(yīng)量也隨著變化，突出數(shù)的“相對(duì)性”。同時(shí)在數(shù)的過程中，讓學(xué)生不知不覺地理解了分?jǐn)?shù)單位所表示的含義。

結(jié)束語

變換讓概念披上多姿的外衣，同時(shí)又詮釋了知識(shí)的內(nèi)涵，給學(xué)生常換常新的感覺。因此，在教學(xué)中我們應(yīng)該對(duì)新概念的知識(shí)“生長點(diǎn)”與以后的“落腳點(diǎn)”要有一個(gè)全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，善于不斷地變換素材、變換提問和練習(xí)的方式，讓概念不再單薄，變得厚重起來。讓學(xué)生更加輕松地學(xué)習(xí)概念，更加深刻地理解概念的本質(zhì)，更加靈活地運(yùn)用概念。

（作者單位：浙江省玉環(huán)市楚門中心小學(xué)）