周密思考 嚴(yán)格論證

蔣小平

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2019）03-0218-01

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過學(xué)習(xí)平面圖形的變換，能夠提升他們對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，增強(qiáng)空間想象能力，從而逐漸形成嚴(yán)密的邏輯思考體系，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣。在初中的平面圖形學(xué)習(xí)中，正方形是基礎(chǔ)的四邊形——具有許多性質(zhì)，是“最完美的四邊形”。由此，在中考題目中，也嘗嘗以正放心為基礎(chǔ)，考察分割問題。旨在考察學(xué)生的知識(shí)時(shí)間能力和思維辨析能力，從而符合當(dāng)下新課改中教育的新目標(biāo)和新理念。

解決這一類型的數(shù)學(xué)問題，不能夠隨意進(jìn)行分割或者拼湊，而需要具有基本的思路，進(jìn)行周密思考，并嚴(yán)格論證：根據(jù)分割前后正方形面積不變的原理，進(jìn)行計(jì)算分割后的正方形邊長(zhǎng)，根據(jù)邊長(zhǎng)設(shè)計(jì)解決問題的方案。

例題1、有五個(gè)完全相同的正方形組成一個(gè)“十字架”圖形，A、B點(diǎn)為所在邊長(zhǎng)的中點(diǎn)。如何進(jìn)行分割，才能夠讓這個(gè)“十字架”分割后的部分能夠重新拼接成一個(gè)正方形。

解題思路：

首先，需要計(jì)算原圖案和分割后正方形拼接的邊長(zhǎng)。假設(shè)原圖案中的每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為1，那么原圖形的面積之和則為1*1*5=5。分割之后，所拼接的正方形面積是5，邊長(zhǎng)則為根號(hào)5。邊長(zhǎng)是根號(hào)5的線段有很多，包括如下：

根據(jù)題目我們知道，A、B點(diǎn)都是所在邊長(zhǎng)的中點(diǎn)，所以c點(diǎn)是AB線段的中點(diǎn)，如果過c點(diǎn)作長(zhǎng)度為根號(hào)5的線段，則做出CD段分割線，D點(diǎn)也為所在邊長(zhǎng)中點(diǎn)。如何切割符合題目的要求，需要進(jìn)一步的分析。

接下來，需要進(jìn)入深人分析：CD線段將圖形已經(jīng)分成了四個(gè)部分，此時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生將線段CD為新的邊長(zhǎng)，作出正方形。通過將大正方形外的三個(gè)部分進(jìn)行平移，得到拼接后的新圖案。

通過分割，線段所分割的正方形后的四個(gè)部分，不能夠組成一個(gè)大的正方形。因此，即使不限制分割線條的數(shù)量，也可以完成后續(xù)的拼接。

解題反思：在解決正方形的分割過程中，最關(guān)鍵的點(diǎn)在于正方形分割前后的面積不會(huì)發(fā)生變化。如果在分割正方形的過程中，不知道邊長(zhǎng)，便可以利用“假設(shè)法”，將小的正方形邊長(zhǎng)假設(shè)為單位“1”，從而能夠計(jì)算出大的整體圖形的邊長(zhǎng)。

這一類型的正方形分割問題不僅限于分割，還考慮到分割后的拼接，因此有利于鍛煉學(xué)生的想象能力，讓他們?cè)谒伎嫉倪^程中更加嚴(yán)密，提升直觀思維能力，在分割前后以及后續(xù)的拼接中嚴(yán)格論證。

例題2、有一大一小兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)分別為a和b。如何將此圖形進(jìn)行分割，從而讓他們能夠拼成一個(gè)正方形？請(qǐng)討論分割方案。

思考過程：在解決正方形的分割過程中，最關(guān)鍵的點(diǎn)在于正方形分割前后的面積不會(huì)發(fā)生變化。因此，分割前后的正方形邊長(zhǎng)都應(yīng)該為根號(hào)下a的平方和b的平方。由此需要構(gòu)造此長(zhǎng)度的正方形，分割方案有許多。教師可以引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位，進(jìn)行探討，小組展示自己的分割方案。

小組討論的分割線長(zhǎng)度都為根號(hào)下a的平方和b的平方。以分割線條為基準(zhǔn)進(jìn)行分割，將分割后的部分拼接起來，如下：

教學(xué)反思：通過這個(gè)例題的練習(xí)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步消化有關(guān)正方形分割問題的解決方法。依舊是抓住正方形切割前后面積不邊這一性質(zhì)，通過分割和拼接后新正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)行分割方案設(shè)計(jì)。這種類型的題目沒有分割次數(shù)的限制。由此，有利于學(xué)生在嚴(yán)密邏輯下，有更廣闊的思考空間，能夠在嚴(yán)格論證中開放探索。

例題3、在正方形分割問題教學(xué)中，并不需要初中生有多么高深的知識(shí)，但需要他們更根據(jù)自己學(xué)習(xí)到的正方形相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行思維發(fā)散，通過嚴(yán)密和敏捷的思維，迅速抓住問題的核心，并進(jìn)行嚴(yán)格的論證。如以下這道正方形分割問題對(duì)學(xué)生思維能力的考查：正方形ABCD，怎樣的正整數(shù)n能夠?qū)⒄叫蜛BCD分割成n個(gè)小正方形，這些小正方形不會(huì)互相重疊，并且分割后的小正方形大小不會(huì)相同？

教學(xué)思路：首先，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生從自然數(shù)n看起，作為解題的突破口。如果n=1，那么不需要分割，因?yàn)閳D形ABCD本身就是一個(gè)正方形。繼續(xù)通過假設(shè)法進(jìn)行推理：

如果n為4的時(shí)候，可以進(jìn)行分割。將正方形ABCD對(duì)邊的重點(diǎn)用直線連接起來。此時(shí)，正方形ABCD便被分成了四個(gè)小的正方形。通過同樣的方法，連接第一次分割后小正方形的中點(diǎn)，正方形ABCD便被分成了7個(gè)小的正方形?；谶@樣的分割方法，n可以設(shè)置為1、4、7、10等等。

為了方便學(xué)生理解，教師還可以直接將正方形ABCD的邊長(zhǎng)假設(shè)為單位“1”。在更為嚴(yán)密的論證中，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=6的時(shí)候，也能夠進(jìn)行分割，n可以為6、9、12等等。

接下來，將原正方形分割成8個(gè)小正方形，n的取值可以為8、11、14等等。

周密的思考需要全面，通過上述三種分割之后，還剩下n=2，3和5的情況。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生親自畫一畫，從而嚴(yán)格的證明。完成了分割思考和證明之后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考。比如，“如果需要將一個(gè)正方形分成1、2、3、4個(gè)互不相交的小正方形，應(yīng)該怎么做？”

總而言之，需要通過正方形的分割問題引導(dǎo)初中生養(yǎng)成嚴(yán)密思考和嚴(yán)格論證的良好解題習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力。