淺談優(yōu)化數(shù)學(xué)歸納法的概念教學(xué)

尤園飛

數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)方法之一。學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法之后，有學(xué)生曾說：“反正老師說完成兩個(gè)步驟就正確。我也不知道為什么正確，也勿需去考慮它為什么正確”。所以這些學(xué)生在解決問題時(shí)往往忽視了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用而束手無策，或者在完成第二步驟時(shí)，由于缺乏自信心而半途而廢。這與是否注重概念的過程教學(xué)密切相關(guān)。數(shù)學(xué)歸納法概念的教學(xué)，首先要通過實(shí)例使學(xué)生體會到歸納法的基本思想，如從對學(xué)生熟知的等差數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納過程著手，拉開序幕。并指出：像這種“由特殊到一般”的推理方法叫歸納法。這樣的歸納推理是認(rèn)識上的一個(gè)“飛躍”。再講一個(gè)“王二上學(xué)的故事”：第一天教師教“一”，并劃了一橫杠，王二記住了;第二天老師教“二”，并劃了兩橫杠，王二又記住了;于是王二就預(yù)料，第三天老師要教“三”，并要劃三橫杠，第三天果然如此。到了第四天，王二對父親說：“從今天起我不再上學(xué)了，我都會了?！备赣H說：“為什么這么快呢？”王二說：“就是劃橫杠嘛”。父親說：“我的孩子真聰明?！迸銮筛赣H的一位朋友來了，父親說：“我這位朋友叫萬百千，你能把他的名字寫出來嗎？”王二驚呆了，并說：“這個(gè)名字要花費(fèi)多少時(shí)間才能寫完哪！”王二這個(gè)歸納推理是錯(cuò)誤的可笑的。上述兩個(gè)實(shí)例告訴我們，同樣用的“歸納法”，一個(gè)結(jié)論正確，一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤。這就是說，僅僅考察部分特例而得出一般結(jié)論的推理方法，所得結(jié)論不一定正確，通常稱為不完全歸納法。那么歸納推理在什么條件下才是可靠正確的呢？

讓我們來做一個(gè)游戲，這個(gè)游戲曾在中央電視臺演播過，不妨稱為“擺磚游戲”。我們把很多很多磚塊按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放，從教室擺到操場，再擺到公路上，再擺到香港，再擺到外國……，甚至可以沒完沒了的擺下去。那么，我們只要推倒第一塊磚，就能把所有的磚塊全部推倒。這個(gè)游戲有兩個(gè)條件：第一，要推倒第一塊磚;第二，磚塊必須按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放。顯然，這兩個(gè)條件缺一不可。如果缺少第一個(gè)條件，就會有磚沒有被推倒（至少第一塊磚沒有推倒）。如果缺少第二個(gè)條件，“碰倒過程”就會中斷，就會有很多很多磚塊沒有推倒。

從上面的“思維游戲”啟發(fā)我們得出一個(gè)處理與自然數(shù)有關(guān)問題的方法：

（1）處理第一個(gè)問題（相當(dāng)于推倒第一塊磚）;

（2）驗(yàn)證前一號問題與后一號問題有傳遞關(guān)系（相關(guān)于前磚

碰倒后磚），這時(shí)主角亮相了。數(shù)學(xué)歸納法是可靠正確的推理方法。介紹了數(shù)學(xué)歸納法之后，師生共同參與，按以下設(shè)問進(jìn)行教學(xué)：

1.第一步驟是遞推的基礎(chǔ)，第二步驟是遞推的依據(jù)。若二者缺一將會出現(xiàn)什么問題呢？能舉出實(shí)例來嗎？

2.完成第一步驟后，在第二步驟中，假設(shè)n=k時(shí)的結(jié)論正確，這樣的k值是否存在呢？證明N=K+1時(shí)結(jié)論也正確，是否起著“傳遞性”的作用？

3.第二步驟中，如果不使用N=K時(shí)結(jié)論正確這個(gè)條件，直接證明N=K+1時(shí)結(jié)論正確，是否還是數(shù)學(xué)歸納法呢？或者說比數(shù)學(xué)歸納法更好呢？

4.第一步驟中，證明N取第一個(gè)值結(jié)論正確，這第一個(gè)值從哪里取起呢？

5.第二步驟中，在使用N=K時(shí)結(jié)論正確的前提下，可以用哪些方法來突破N=K+I時(shí)結(jié)論正確這一關(guān)呢？（如：演繹法、分析法、反證法等）。

6.數(shù)學(xué)歸納法是針對n∈N而言的.那么N取非自然數(shù)時(shí)，是否也可以呢？

針對學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問題：錯(cuò)誤理解、認(rèn)識膚淺、似是而非、掌握不牢等現(xiàn)象，教師要精心創(chuàng)設(shè)情景，優(yōu)化教學(xué)手段，以達(dá)到對概念的理解、認(rèn)識到位，對概念的掌握準(zhǔn)確、牢固、靈活之目的。同時(shí)，行之有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性和深刻性。

掌握了數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明格式后，還需要進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法和歸納法這兩種推理方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，初步形成“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的思維方法，既能發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又能證明結(jié)論的正確性。這又是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造能力、分析問題和解決問題能力的重要內(nèi)容。

優(yōu)化概念教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是充分展示概念的形成、深化過程以及它的本質(zhì)屬性。它為學(xué)生牢固掌握概念、靈活運(yùn)用概念創(chuàng)造了條件，它為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，幫助學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，造就力求創(chuàng)新開拓進(jìn)取的英才，打下了良好的基礎(chǔ)。