一類導(dǎo)彈追蹤敵快艇問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

馬慧

摘要：本文主要研究了一類導(dǎo)彈追蹤敵快艇的軍事問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)彈和敵快艇的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，給出了追蹤引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)求解，并通過(guò)迭代公式分析了敵快艇的逃逸策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;微分方程;迭代公式;MATLAB軟件

1 引言

隨著高新技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的刻畫(huà)也越來(lái)越精確，而數(shù)學(xué)模型作為橋梁也發(fā)揮著舉足輕重的作用。對(duì)于工程技術(shù)、自動(dòng)控制等領(lǐng)域的問(wèn)題，主要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型，其中大多數(shù)模型涉及到微分方程。而復(fù)雜微分方程的解析解一般很難求出，因此需要通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求解。在數(shù)學(xué)模型中，迭代公式也是一種常用的方法，主要通過(guò)分析問(wèn)題找出迭代關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解。

本文主要研究一類導(dǎo)彈追蹤敵快艇問(wèn)題，相關(guān)表述如下：某沿海導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)其正北方向h km處海面上有一艘敵快艇，正以v km/h的速度向正東方向行駛，該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵快艇;導(dǎo)彈的飛行速度為v0 km/h，并自動(dòng)導(dǎo)航使導(dǎo)彈在任意時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵快艇飛行。假設(shè)以導(dǎo)彈基地為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則敵快艇在y軸上點(diǎn)A處;導(dǎo)彈在t時(shí)刻的位置是P（x，y），敵快艇的位置是Q（vt，h）;導(dǎo)彈的飛行曲線y=f（x）.

圖1

2 一類導(dǎo)彈追蹤敵快艇題的數(shù)學(xué)模型

對(duì)于上述問(wèn)題，主要考慮兩種情形：情形一是在h=100km，v=90km/h，v0=450km/h時(shí)，研究導(dǎo)彈將在何時(shí)何處擊中敵快艇;情形二是在H=120km，V=135km/h，v0=450km/h時(shí)，考慮敵快艇沿著與導(dǎo)彈飛行方向成何夾角，更有利于敵快艇的逃逸，并進(jìn)一步地研究敵快艇的逃跑策略。具體步驟如下：

2.1 分析與假設(shè)

針對(duì)該問(wèn)題，可考慮兩個(gè)方面。一是由導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程建立關(guān)于導(dǎo)彈飛行路線的微分方程數(shù)學(xué)模型;二是研究敵快艇的逃逸策略，實(shí)際上只需考慮導(dǎo)彈何時(shí)擊中敵快艇，再?gòu)南喾吹姆矫婵紤]問(wèn)題，即可得出相關(guān)的策略。再由問(wèn)題的實(shí)際運(yùn)行環(huán)境和條件，結(jié)合數(shù)學(xué)理論和模型建立的可行性，做出如下假設(shè)：

（1）在整個(gè)過(guò)程中忽略導(dǎo)彈飛行遇到的空氣、風(fēng)力和風(fēng)向等因素的影響;對(duì)于敵快艇來(lái)說(shuō)，忽略海上自然條件帶來(lái)的影響。

（2）導(dǎo)彈從發(fā)射出去后，始終以v0=450km/h勻速飛行，忽略其速度方向;同時(shí)不考慮敵快艇速度方向，在情形一中始終以v=90km/h做勻速運(yùn)動(dòng)，在情形二中始終以V=135km/h做勻速運(yùn)動(dòng)。

（3）導(dǎo)彈飛行方向與敵快艇逃逸方向的夾角為θ，考慮到敵快艇自身的體積，若導(dǎo)彈與敵快艇的位置相距不超過(guò)0.001km=1m，則可認(rèn)為導(dǎo)彈擊中敵快艇。

2.2 模型的建立與求解

由上述分析和假設(shè)，結(jié)合給出的具體數(shù)據(jù)，可建立兩個(gè)模型。

模型一：微分方程1。針對(duì)情形一，由于導(dǎo)彈在任意時(shí)刻都對(duì)準(zhǔn)敵快艇飛行，結(jié)合圖1知，直線PQ的斜率就是導(dǎo)彈的飛行曲線OP在點(diǎn)P處的飛行方向，則

.（1）

對(duì)式（1）整理可得，

.（2）

由具體數(shù)據(jù)知，導(dǎo)彈飛行速度是敵快艇運(yùn)動(dòng)速度的5倍（），即

.（3）

聯(lián)立方程（2）（3）并對(duì)y求導(dǎo)，得

.（4）

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，令x=x1，x′=x2，則結(jié)合方程（4）和初始條件x（0）=0，x′（0）=0，可建立微分方程的初值問(wèn)題，即

.（5）

進(jìn)一步地，將上述初值問(wèn)題轉(zhuǎn)換成y關(guān)于x的微分方程初值問(wèn)題，即

.（6）

其中h=1×102km，利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件2求解式（6），整理得到圖2。

圖2

由圖2知，導(dǎo)彈在點(diǎn)（2，100）km處（即t=13.3min時(shí)）可擊中快艇。

模型二：迭代公式。針對(duì)情形二，可利用追蹤導(dǎo)引法3，通過(guò)劃分時(shí)間段來(lái)研究夾角θ的變化，判斷導(dǎo)彈到敵快艇之間的距離與0.001km的大小關(guān)系即可。而時(shí)間段劃分的越詳細(xì)，則導(dǎo)彈飛行的曲線就越接近直線。

假設(shè)在任意時(shí)刻導(dǎo)彈和敵快艇的位置坐標(biāo)分別為（xmi， ymi）、（xsi， ysi），導(dǎo)彈速度方向與x軸正方向的夾角為αi，當(dāng)時(shí)間段（步長(zhǎng)）為λ時(shí)迭代格式如下：

導(dǎo)彈的坐標(biāo)，

敵快艇的坐標(biāo)，

其中，夾角 ;第一個(gè)步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈和敵快艇坐標(biāo)分別為， .

由距離公式可知，當(dāng)滿足時(shí)，導(dǎo)彈可擊中敵快艇。假設(shè)導(dǎo)彈擊中敵快艇的位置（xpn， ypn）=（X， Y），擊中的時(shí)間T=nλ，即敵快艇若在T=nλ時(shí)間內(nèi)可以選擇逃跑。通過(guò)MATLAB數(shù)學(xué)軟件求解，整理可得，當(dāng)θ=0時(shí)，敵快艇擁有的逃逸時(shí)間為T(mén)=22.86min，此時(shí)的逃逸時(shí)間最長(zhǎng)。

由此可知，當(dāng)導(dǎo)彈剛發(fā)射時(shí)，敵快艇擁有的逃跑時(shí)間最長(zhǎng)，也就說(shuō)，當(dāng)敵快艇逃跑方向與導(dǎo)彈飛行方向平行時(shí)，最有利于敵快艇逃逸。事實(shí)上，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)，敵快艇的逃逸速度（不考慮方向）在導(dǎo)彈速度方向上的最大分量遠(yuǎn)小于導(dǎo)彈的飛行速度（V=135， v0=450km/h），;因此對(duì)于有重要作用的快艇，若能提高敵快艇的逃逸速度，再設(shè)計(jì)逃跑策略，則有可能實(shí)現(xiàn)成功逃逸。

2.3 模型的評(píng)價(jià)與不足

本文通過(guò)微分方程和迭代公式進(jìn)行建模，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可研究、可定量分析的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求解，提高了求解的效率和精度。但由于考慮了相對(duì)理想的自然環(huán)境，忽略了其對(duì)追蹤時(shí)的影響，因此本文所得到的數(shù)據(jù)有一定的誤差;接下來(lái)，可加入風(fēng)力、風(fēng)向等因素，進(jìn)行更詳細(xì)的研究，通過(guò)敵快艇的逃逸策略來(lái)改進(jìn)導(dǎo)彈，提高導(dǎo)彈的打擊精度。

導(dǎo)彈追蹤敵快艇的問(wèn)題是將數(shù)學(xué)理論與軍事問(wèn)題相結(jié)合的一個(gè)小分支。近兩年，隨著國(guó)內(nèi)外形式的變化及高新技術(shù)在軍事上的應(yīng)用，相關(guān)導(dǎo)彈問(wèn)題的研究越來(lái)越受到很多學(xué)者的重視;同時(shí)這也是數(shù)學(xué)模型在實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要應(yīng)用。因此從數(shù)學(xué)建模的角度對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析，考慮導(dǎo)彈擊中快艇的位置和時(shí)間和快艇的逃逸策略，對(duì)新形勢(shì)下研究高新技術(shù)在軍事方面的應(yīng)用有著十分重要的意義。

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（作者單位：陸軍邊海防學(xué)院）