數(shù)軸在初一數(shù)學中的重要應用

鄭飛飛

摘 要：數(shù)學是研究數(shù)與形的一門學科。數(shù)形結合更是數(shù)學的一種重要思想方法，而數(shù)軸則是我們學生更好掌握數(shù)形結合思想的基礎。初一課本給我們的數(shù)軸定義是：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。利用數(shù)軸可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴謹性和直觀性兩大優(yōu)勢，是優(yōu)化解體的一種重要途徑。鑒于數(shù)軸的在初一數(shù)學中的重要性現(xiàn)就數(shù)軸在初一數(shù)學解題中的應用做如下簡要的探討。

關鍵詞：數(shù)軸；解題；應用；探討

引言：數(shù)軸是數(shù)形結合思想于初中的初步體現(xiàn)，是“數(shù)”與“形”的初步結合。想要完全掌握數(shù)軸的各方面知識，我們通過“認識數(shù)軸”和“數(shù)軸上的點與實數(shù)的關系”來體會，另外在不等式中利用數(shù)軸討論不等式的解集的問題中的應用來理解。本文就“認識數(shù)軸”“數(shù)軸上的點與數(shù)軸的關系”“運算中數(shù)軸的應用”“不等式中數(shù)軸的應用”三方面來探討數(shù)軸在初一數(shù)學中的重要應用。

一：認識數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸。它具有三要素：原點、正方向、單位長度。

例1：下列數(shù)軸的畫法正確的是（）

這里主要考察對數(shù)軸的理解，數(shù)軸三要素缺一不可。

數(shù)軸的畫法：（1）.畫一條直線（一般畫成水平的直線）；

（2）.在直線上根據(jù)需要選取一點為原點（在原點下面標上“0”）；

（3）.確定正方向（一般規(guī)定向右為正，并用箭頭表示出來）；

（4）.選取適當?shù)拈L度為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…。

例2：數(shù)軸上表示數(shù)-3和2之間的所有整數(shù)（包括-3和2兩個數(shù)）的和等于多少？

通過畫出數(shù)軸，可以知道-3和2之間的所有整數(shù)有：-3，-2，-1， 0， 1， 2 它們的和：（-3）+ （-2 ）+（ -1）+ 0 + 1 + 2 =-3。這是建立在學生對數(shù)軸的理解的基礎上的，通過有形的數(shù)軸數(shù)出具體的正數(shù)。這在后面的數(shù)學學習中還有更多的體現(xiàn)。

二：數(shù)軸上的點和有理數(shù)的關系

數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關系可以從（1）任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；（2）正數(shù)可以用原點右邊的點表示，負數(shù)可以用原點左邊的點表示，0用原點表示。

其實在我們將數(shù)域擴充到實數(shù)范圍時，我們知道數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的關系。

例3：已知A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且C在B的右側.點A，B表示的數(shù)分別是1，3，如圖（1）所示.若BC=2AB，則點C表示的數(shù)是____.

本題是2017年福建中考題，考查了數(shù)軸：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù).（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù).）先利用點A、B表示的數(shù)計算出AB，再計算出BC，然后計算點C到原點的距離即可得到C點表示的數(shù).

例4、若a，b為有理數(shù)，a>0，b<0，且|a|<|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小關系是（ ）

A.b<﹣a<﹣b

C.b<﹣a

這是《安徽省合肥市2017-2018學年七年級上學期第一次月考試題》的第7題根據(jù)a>0，b<0，且|a|<|b|，可用取特殊值的方法進行比較.但此題若是運用數(shù)軸，在數(shù)軸上找到a，b，-a，-b的位置，則他們的大小關系就一目了然了。

運用數(shù)軸比較實數(shù)大小是一種非常簡單明了的辦法，只要準確的畫出數(shù)軸，找出數(shù)的位置，就可以很快地得出結果。在實數(shù)的大小比較中，運用數(shù)軸比大小是一種較為常見的方法。

例5、在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A，B，C，其中AB=2，BC=1，如圖（2）所示，設點A，B，C所對應數(shù)的和是p.

（1）若以B為原點，寫出點A，C所對應的數(shù)，并計算p的值；若以C為原點，p又是多少？

（2）若原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且CO=28，求p.

本題主要考查了兩點間的距離以及數(shù)軸的運用，解題時注意：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.根據(jù)以B為原點，則C表示1，A表示-2，進而得到p的值；根據(jù)以C為原點，則A表示-3，B表示-1，進而得到p的值；根據(jù)原點O在圖中數(shù)軸上點C的右邊，且CO=28，可得C表示-28，B表示-29，A表示-31，據(jù)此可得p的值.

三：運算中數(shù)軸的應用

數(shù)軸不但將抽象的“數(shù)”直觀形象化，而且也有助于理解運算，將運算直觀形象化.如加法就是在數(shù)軸上先找到一個加數(shù)，再繼續(xù)向右數(shù).數(shù)到幾，和就是幾。乘法就是在數(shù)軸上從0開始幾個幾個地向右數(shù)，數(shù)到幾，積就是幾。我們知道減法是加法的逆運算，加法是向右數(shù)，那么減法就是從被減數(shù)開始向左數(shù)，數(shù)到幾，差就是幾。對于除法的運算，仿照這種思想利用數(shù)軸也可以進行計算。當學生擁有在數(shù)軸上進行加法的“跳躍”經驗后，在數(shù)軸上進行乘法計算時，這種連續(xù)的“等距離跳躍”（如下圖），既可以幫助學生進一步理解相同加數(shù)連加的乘法本質，使學生清楚地認識乘法口訣中每個乘積的來源，理解相鄰兩個積之間等差的關系，又有助于學生初步感知數(shù)列的規(guī)律。

例6、利用數(shù)軸計算3*4

分析：

借助數(shù)軸幫助學生理解運算，學生需要將計數(shù)與圖像聯(lián)系起來.如“加一個”就是與數(shù)序中的后一個數(shù)相關聯(lián)，在數(shù)軸上表現(xiàn)為向右數(shù)或向右移動；“減一個”則是與數(shù)序中的前一個數(shù)相關聯(lián)，在數(shù)軸上表現(xiàn)為向左數(shù)或向左移動.這種在數(shù)軸上的移動表征，為以計數(shù)為基礎的計算策略提供了心理意象.

四：不等式中數(shù)軸的應用

在不等式中講對于數(shù)軸的應用可以從（1）用數(shù)軸表示不等式的解集；（2）用數(shù)軸表示不等式組的解集；（3）利用數(shù)軸解不等式中參數(shù)范圍的應用三方面來加以探討。

例7、解不等式5（x-1）≤3（x+1），并把解集在數(shù)軸上表示出來.

這是最一般的不等式，是七年級下學期的內容，考察在數(shù)軸上表示不等式的解集、以及解一元一次不等式。把解集在數(shù)軸上表示出來是對上學期有關數(shù)軸的復習，也是對數(shù)軸的再次深入應用。讓學生對于不等式的解集從抽象的字眼轉向了具體的實物，讓學生易于理解何為不等式的解集。為學生更深入的學習打下了基礎。

例8、解下列不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

由上述四例可發(fā)現(xiàn)不等式組的解集有四種情況（a>b）：

若：①當 時，則不等式的公共解集為x>a；

②當 時，不等式的公共解集為b

③當 時，不等式的公共解集為x

④當 時，不等式組無解.

也可以用語言簡單表述為大大取?。恍⌒∪⌒?，大小小大取中間；大大小小題無解.

本題考察了不等式組的解法，通過在數(shù)軸上表示不等式的解集，將不等式組的解集作出如上歸納。

例9、關于x的不等式a-2x<-1的解集如圖所示.求a.

本題根據(jù)數(shù)軸給出的解集反過來求參數(shù)值的問題，考察了數(shù)軸、不等式待定系數(shù)的求法。這是在學生對于“數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應”的準確理解下的正確應用，才可對此題做出正確的解題過程。

例10、不等式組 有解，則a必須滿足什么條件？

這種題型在不等式的練習預測始終較常出現(xiàn)，但學生對于這類題也是有的害怕，因為它相對于簡單的解不等式或不等式組的題有點區(qū)別，需要學生先理解，自己寫出關于a的不等式，然后將之解出來。其中一個不等式已經給出-1≤x≤1，要使不等式組有解則另一不等式的解必含有已有的解的范圍。通過這種思想加上數(shù)軸形象的表示出有關a的范圍是a/2>-1，從而得出a>-2.對于a/2能否等于-1.很多學生會有困擾，其實只要畫出數(shù)軸我們就能很清楚的看出來。

數(shù)軸不僅有上述探討的應用，它還有很多其他的用處，例如：數(shù)軸是認識時間的輔助平臺、數(shù)軸是平面結構化的組成元素等等。本文就不一一探討說明了。

數(shù)周的學習與應用對于數(shù)形結合的思想的培養(yǎng)具有重要的作用，它是數(shù)與形的初步結合，是數(shù)形結合的開始。利用數(shù)軸可以使我們在解題過程中將很多復雜問題簡單化，抽象問題形象化。在我們初一的數(shù)學學習過程中，利用好數(shù)軸，可以使我們的很多問題簡單化。

參考文獻：

[1]《義務教育課程標準實驗教科書 數(shù)學 七年級上冊》，上?？茖W技術出版社.

[2]《義務教育課程標準實驗教科書 數(shù)學 七年級下冊》，上?？茖W技術出版社.