淺談數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維之發(fā)散思維

潘麗欽

摘 要：全國(guó)科技大會(huì)上指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力?！粋€(gè)沒(méi)有創(chuàng)新能力的民族難于屹立于世界民族之林。”教育部的一個(gè)報(bào)告指出：“實(shí)施素質(zhì)教育重點(diǎn)是改變教育觀念，……尤其是要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造精神為主?！?因此數(shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)該傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。發(fā)散思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結(jié)果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問(wèn)題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問(wèn)題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。它是一種重要的創(chuàng)造性思維。用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問(wèn)題。

數(shù)學(xué)中“一題多解”最著名的例子，是幾何學(xué)中關(guān)于“勾股定理”的證法。 勾股定理（被譽(yù)為“千古第一定理”）：一個(gè)直角三角形的斜邊c的平方等于另外兩邊（a，b）的平方和。即a2+b2=c2這個(gè)定理人們用不同的方法，給出了370多個(gè)證明。

這個(gè)定理的重要性在于：

1. 它是聯(lián)系“數(shù)”與“形”的第一個(gè)重要定理；

2. 它導(dǎo)致了不可公約量的發(fā)現(xiàn)（第一次數(shù)學(xué)危機(jī)）；

3. 它開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)擴(kuò)大到證明與推理的科學(xué)；

4. 它是最早得出完整解的不定方程，并引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，包括費(fèi)馬大定理。

數(shù)學(xué)王子高斯非常重視培養(yǎng)自己的發(fā)散思維，并且善于運(yùn)用發(fā)散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。 本文從高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的幾個(gè)例子談?wù)劙l(fā)散思維的重要性。

一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題.

例：在等差數(shù)列{an}中，a1=25，S17=S9則數(shù)列的前多少項(xiàng)之和最大？

方法一：由a1=25，S17=S9得

17×25+（17×16）d/2=9×25+（9×8）d/2解得d=-2

從而Sn=25n+n（n-1）（-2）/2=-（n-13）2+169，故前13項(xiàng)之和最大，最大值是169.

方法二：∵Sn=dn2/2+（a1-d/2）n （d<0）

∴Sn的圖像是開口向下的拋物線上一群孤立的點(diǎn)?！逽17=S9最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（9+17）/2，即S13最大，由方法一可得d=-2可求得最大值是169.

方法三：∵S17=S9∴a10+a11+…+a17=0，

∵a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0，∵a1=25>0

∴a13>0，a14<0∴S13最大，由方法一可得d=-2，可求得最大值為169.

方法四：同方法一可得d=-2由 可得25/2≤n≤27/2.

∴當(dāng)n=13時(shí)，Sn有最大值為169.

二、求軌跡有關(guān)問(wèn)題.

例 ：設(shè)圓C：（x-1）2+y2=1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

方法一：（直接法）設(shè)OQ為過(guò)O的一條弦，P（x，y）為其中點(diǎn).則CP⊥OP，OC的中點(diǎn)為M（1/2，0），則|MP|=|OC|/2=1/2得方程為（x-1/2）2+y2=1/4 .考慮軌跡的范圍知0

方法二：（定義法）∵∠OPC=90°∴動(dòng)點(diǎn)P在以M（1/2，0）為圓心OC的直徑的圓上，|OC|=1，再利用圓的定義得方程為（x-1/2）2+y2=1/4（0

方法二：由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），所以直線MN的方程為y=x-1.

本文通過(guò)上面幾道例子可知?jiǎng)?chuàng)造性思維之發(fā)散性思維，這種思維方式，遇到問(wèn)題時(shí)，能從多角度、多側(cè)面、多層次、多結(jié)構(gòu)去思考，去尋找答案。既不受現(xiàn)有知識(shí)的限制，也不受傳統(tǒng)方法的束縛，思維路線是開放性、擴(kuò)散性的。它解決問(wèn)題的方法不是單一的，而是在多種方案、多種途徑中去探索，去選擇。創(chuàng)造性思維具有廣闊性，深刻性、獨(dú)特性、批判性、敏捷性和靈活性等特點(diǎn)。

創(chuàng)造性思維具有新穎性，它貴在創(chuàng)新，或者在思路的選擇上、或者在思考的技巧上、或者在思維的結(jié)論上，具有著前無(wú)古人的獨(dú)到之處，在前人、常人的基礎(chǔ)上有新的見解、新的發(fā)現(xiàn)、新的突破，從而具有一定范圍內(nèi)的首創(chuàng)性、開拓性。

創(chuàng)造性思維具有極大的靈活性。它無(wú)現(xiàn)成的思維方法、程序可循，人可以自由地海闊天空地發(fā)揮想象力。

參考文獻(xiàn)：

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