探尋世界的秩序與模式

新原理

制約宇宙的定律是否允許我們準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到將來(lái)會(huì)有什么發(fā)生在我們身上？《十問(wèn)：霍金沉思錄》中寫(xiě)道，“簡(jiǎn)短的回答既是否定的，也是肯定的。在原則上，定律允許我們預(yù)測(cè)未來(lái)。但在實(shí)踐中，通常計(jì)算都太難了?！蔽覀兡軌蝾A(yù)測(cè)未來(lái)嗎？這是一個(gè)許多人都在試圖回答的問(wèn)題。量子力學(xué)的奠基人之一玻爾曾說(shuō)過(guò)：“預(yù)測(cè)任何東西都是極其困難的，尤其是關(guān)于未來(lái)。”能解釋事物如何變化是我們預(yù)測(cè)事物的關(guān)鍵。變化往往是緩慢的，比如在生物學(xué)的進(jìn)化系統(tǒng)；有時(shí)變化又非常快，比如火山爆發(fā)。在某種意義上，兩者都是可預(yù)測(cè)的事件。難以預(yù)測(cè)的是突然的變化——比如一個(gè)看似穩(wěn)定的系統(tǒng)突然發(fā)生災(zāi)難性的變化。關(guān)于預(yù)測(cè)，有一個(gè)在哲學(xué)上似乎矛盾的問(wèn)題，那就是：我們能否預(yù)測(cè)不可預(yù)測(cè)的事？或許，數(shù)學(xué)能幫我們回答這個(gè)問(wèn)題。

我們能預(yù)測(cè)未來(lái)嗎

這個(gè)宇宙是全然隨機(jī)的嗎？還是說(shuō)它具有某些秩序與模式？很顯然，大自然背后的確存在著基本的模式。正是因?yàn)橐庾R(shí)到了這一點(diǎn)，人類(lèi)才走上了通往現(xiàn)代化的道路?？梢哉f(shuō)，科學(xué)所尋找的正是宇宙的秩序與模式。而數(shù)學(xué)不僅是這些模式的基礎(chǔ)，它還為我們提供了一種描述宇宙的方法。如果你仔細(xì)觀察，你就能看到在我們的周?chē)錆M了秩序與模式。例如雪花就是一個(gè)例子，雖然每一片雪花都不一樣，但它們都有著精確的六倍對(duì)稱。自然界中遍布著高度規(guī)律的模式，我們?cè)缫蚜?xí)以為常，卻鮮少停下來(lái)去思考它們?yōu)槭裁创嬖?。然而，無(wú)論是雪花的形狀，還是晶體的原子排列，又或是巖石的折疊，它們背后都有著非?；径至瞬黄鸬某梢颉８钊梭@嘆的是，一些偉大的頭腦觀察到了恒星和行星運(yùn)動(dòng)的秩序和模式，從而打開(kāi)了通往現(xiàn)代世界的大門(mén)。在這里，有一位不得不提的科學(xué)家，那就是伽利略。1581年，伽利略在比薩大教堂中觀察青銅吊燈的擺動(dòng)時(shí)，他意識(shí)到吊燈的擺動(dòng)是受可預(yù)測(cè)的規(guī)律支配的。他發(fā)現(xiàn)在氣流影響下晃動(dòng)的吊燈，無(wú)論其擺動(dòng)的幅度如何，來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所花的時(shí)間都是一樣。然后，他用自己的脈搏來(lái)計(jì)時(shí)，在家里用大小不同但長(zhǎng)度相同的鐘擺來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)。最終證實(shí)了鐘擺的擺動(dòng)時(shí)間并不取決于它的大小，也不取決于它的位置，只取決于它的長(zhǎng)度。從此，鐘擺的擺動(dòng)成了可預(yù)測(cè)的信息。不過(guò)當(dāng)時(shí)的伽利略并不知道為什么會(huì)是這樣，在他去世后不久，另一位偉大的科學(xué)家誕生了，那就是牛頓。牛頓發(fā)現(xiàn)了許多隱藏在宇宙模式背后的定律，而且還發(fā)明了微積分等數(shù)學(xué)技術(shù)，這為我們理解宇宙的基本定律提供了重要工具。牛頓用他的三大運(yùn)動(dòng)定律清楚地描述了運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方式。這些定律全部可以用數(shù)學(xué)來(lái)描述，特別是微分方程，可以精確地描述運(yùn)動(dòng)如何隨時(shí)間演化。利用微分方程在動(dòng)力系統(tǒng)理論中所起的核心作用，最終可以得到鐘擺的長(zhǎng)度（l）與擺動(dòng)周期（T）之間的精確數(shù)學(xué)關(guān)系：如果鐘擺的長(zhǎng)度l=1m，那么T=2.00607，其中g(shù)=9.81ms-2。這與伽利略的觀測(cè)完全吻合。牛頓成功地將運(yùn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)，然后用數(shù)學(xué)的解來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)在未來(lái)的行為。這為理解宇宙的一般方法提供了一個(gè)思路，這是一個(gè)真正的開(kāi)創(chuàng)性想法，是科學(xué)發(fā)展史中轉(zhuǎn)折性的時(shí)刻。

在數(shù)學(xué)的幫助下，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了海王星。這個(gè)巨大的勝利給了數(shù)學(xué)家們莫大的信心，這表明通過(guò)將觀察到的宇宙模式轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)，就可以對(duì)未知事物的存在做出預(yù)測(cè)。到了1860年，麥克斯韋通過(guò)將法拉第的電和磁定律寫(xiě)成數(shù)學(xué)方程再求解之后，預(yù)言了電磁波的存在?，F(xiàn)在，我們預(yù)測(cè)未來(lái)天氣也有著類(lèi)似的工作原理，我們會(huì)利用當(dāng)天的天氣，然后求解納維—斯托克斯大氣運(yùn)動(dòng)方程和熱力學(xué)方程以觀察大氣的演變。這些都是復(fù)雜性極高的方程，需要用計(jì)算機(jī)才可以求解。目前，我們已能夠足夠精確地完成這些計(jì)算，以較高的精度預(yù)測(cè)未來(lái)的天氣。事實(shí)上，人類(lèi)的行為本質(zhì)上是不可預(yù)測(cè)的，我們能夠行使自由意志。不可預(yù)測(cè)也發(fā)生在物質(zhì)世界。比如我們無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)10天之后的天氣，同樣我們也很難預(yù)測(cè)氣候現(xiàn)象，厄爾尼諾南方濤動(dòng)現(xiàn)象（ENSO）就是一個(gè)很好的例子。不可預(yù)測(cè)性的無(wú)處不在似乎與拉普拉斯預(yù)測(cè)的有序宇宙相矛盾。伴隨著牛頓定律在預(yù)測(cè)未來(lái)方面上的許多成功案例，我們不禁要問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題：我們?cè)谧匀唤缰锌吹降脑S多不可預(yù)測(cè)性真的是因?yàn)樽匀唤绲膹?fù)雜性和無(wú)法解釋性導(dǎo)致的嗎？還是說(shuō)，看似不可預(yù)測(cè)的行為實(shí)際上能從受牛頓定律支配的系統(tǒng)中產(chǎn)生？

混沌行為

我們可以通過(guò)一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題，那就是雙擺系統(tǒng)。雙擺系統(tǒng)是由兩個(gè)單擺耦合在一起形成的，它是伽利略對(duì)單擺研究的延伸，顯然，這個(gè)系統(tǒng)也受牛頓運(yùn)動(dòng)定律的支配。這個(gè)系統(tǒng)只有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的部分，即上半部分的單擺和底部的單擺，每個(gè)部分都有位置和角速度這兩個(gè)變量。因此這個(gè)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為4個(gè)自由度。這比有著數(shù)十億個(gè)自由度的天氣要少得多。但即便如此，雙擺的行為仍然非常復(fù)雜，我們可以將它的運(yùn)動(dòng)劃分為3類(lèi)。如果上半部分和下半部分的單擺以較小的角度被拉到同一邊，那么它們會(huì)像單擺一樣以規(guī)律的方式同步擺動(dòng)；如果這兩個(gè)部分以較小的角度被拉向相反的方向，那么當(dāng)它們被釋放時(shí)則會(huì)繼續(xù)朝著相反的方向運(yùn)動(dòng)，這種異相的運(yùn)動(dòng)會(huì)一直周期性地持續(xù)下去。最后，如果我們給鐘擺一個(gè)大大的擺動(dòng)，那么雙擺將以一種最不穩(wěn)定的幾乎隨機(jī)的方式運(yùn)動(dòng)。這樣的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)完全不符合我們前面所描述的可預(yù)測(cè)性，而是成了混沌運(yùn)動(dòng)?？赡苡腥藭?huì)說(shuō)這種混沌運(yùn)動(dòng)之所以看似隨機(jī)，是因?yàn)殡p擺只是對(duì)隨機(jī)氣流做出反應(yīng)。然而事實(shí)卻并非如此。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，我們可以用一對(duì)耦合的非線性二階常微分方程來(lái)描述這樣一個(gè)雙擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)：θ：角度，l：長(zhǎng)度，m：質(zhì)量。如果夾角較小，則可以用線性逼近，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精確求解，預(yù)測(cè)上述的同相和異相行為。但如果夾角很大，則只能使用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行數(shù)值求解了。在完全基于牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)上，計(jì)算機(jī)可以給出與物理系統(tǒng)完全相同的行為，這表明混沌行為確實(shí)可以作為牛頓方程的解存在。

那么我們應(yīng)該如何定義混沌行為呢？數(shù)學(xué)家Chris Budd將其描述為：混沌運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜、不規(guī)則且不可預(yù)測(cè)的行為，它產(chǎn)生于一個(gè)“簡(jiǎn)單”的系統(tǒng)，可以用“簡(jiǎn)單”的數(shù)學(xué)定律進(jìn)行精確地描述?；煦邕\(yùn)動(dòng)的一個(gè)關(guān)鍵特征在于它們對(duì)初始條件的敏感性，兩個(gè)非常接近的初始狀態(tài)會(huì)以非常不同的方式進(jìn)化，然后產(chǎn)生混沌。這種現(xiàn)象有一個(gè)通俗易懂的名字——蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)的概念引發(fā)了公眾的無(wú)限想象，它表明即使是微小的變化也會(huì)對(duì)未來(lái)產(chǎn)生巨大的影響，這種觀點(diǎn)似乎能與我們對(duì)宇宙如何運(yùn)行的一些看法產(chǎn)生共鳴。這種混沌行為存在于許多物理系統(tǒng)中。比如在一張混亂的臺(tái)球桌上，臺(tái)球在桌子上撞來(lái)撞去，它們的運(yùn)動(dòng)模式是高度復(fù)雜的，然而就像雙擺一樣，它產(chǎn)生于非常簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)定律。這個(gè)場(chǎng)景在光學(xué)、聲學(xué)以及高頻WiFi中都有非常實(shí)際的應(yīng)用。就拿WiFi來(lái)說(shuō)，我們很難預(yù)測(cè)一個(gè)房間內(nèi)的WiFi的覆蓋強(qiáng)度，這意味著真正的混沌行為無(wú)處不在?！叭欢?，在實(shí)踐中，我們預(yù)測(cè)未來(lái)的能力受限于方程的復(fù)雜性以及它們通常具有稱為混沌的屬性這一事實(shí)?！薄妒畣?wèn)：霍金沉思錄》如是寫(xiě)道。

混沌理論

混沌理論起源于洛倫茲在1963年發(fā)表的一篇論文，當(dāng)時(shí)他正在試圖研究大氣的運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)大量簡(jiǎn)化之后，他將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為3個(gè)常微分方程。在20世紀(jì)60年代以前，要準(zhǔn)確地解出這個(gè)方程組是不可能的。但之后快速數(shù)字計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使求解成為可能，其結(jié)果讓洛倫茲非常驚訝。他得到的結(jié)果并沒(méi)有出現(xiàn)他以為會(huì)出現(xiàn)的周期行為，而是以一種不穩(wěn)定的方式出現(xiàn)，他稱之為混沌。20世紀(jì)60年代發(fā)現(xiàn)的混沌在當(dāng)時(shí)引發(fā)了很大的轟動(dòng)，它吸引了許多學(xué)者的關(guān)注，也掀起了大眾媒體對(duì)此的報(bào)道熱情，其中還包括大量的炒作。不過(guò)，混沌動(dòng)力學(xué)的發(fā)現(xiàn)其實(shí)發(fā)生在更早的時(shí)候，它的發(fā)現(xiàn)很大程度上要?dú)w功于偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊。當(dāng)時(shí)，龐加萊正在研究太陽(yáng)系的穩(wěn)定性。我們知道，如果一顆行星繞著太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，那么它的運(yùn)動(dòng)是周期性的，而且可以用牛頓定律精確地預(yù)測(cè)出來(lái)。然而，龐加萊證明了一個(gè)由3個(gè)質(zhì)量相似的物體組成的系統(tǒng)在萬(wàn)有引力作用下只會(huì)在不規(guī)則軌道上運(yùn)動(dòng)。我們很難看出洛倫茲系統(tǒng)中的混沌行為是如何產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)理論在一開(kāi)始時(shí)都很抽象，你很難想象它的用途，但它們卻能在后來(lái)成為科學(xué)和技術(shù)的核心?；煦缋碚摼褪呛芎玫睦印Ｂ鍌惼澰?0世紀(jì)60年代的工作在很大程度上都是理論性的，但人們很快意識(shí)到，許多物理系統(tǒng)確實(shí)有非?；煦绲男袨椤ＴS多其他重要系統(tǒng)也被認(rèn)為是混沌的，比如天氣、汽車(chē)尾氣、電力供應(yīng)系統(tǒng)、摩擦剎車(chē)、氣候變化、WiFi、腦電圖信號(hào)、心電圖信號(hào)以及小行星的運(yùn)動(dòng)等。混沌理論使我們能夠理解、測(cè)量，并在某些情況下控制這些混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出的不確定性行為?，F(xiàn)在我們認(rèn)識(shí)到，混沌行為是由復(fù)雜的、非線性的、確定性過(guò)程控制的任何事物的自然模式的一部分。小行星就是一個(gè)很好的例子，它們有著非常復(fù)雜的軌道，這是我們必須理解的事實(shí)，否則我們可能無(wú)法預(yù)測(cè)小行星是否以及何時(shí)會(huì)撞擊地球。從這個(gè)角度看，混沌理論在拯救人類(lèi)方面還具有至關(guān)重要的意義！當(dāng)然混沌還有一些不這么聳人聽(tīng)聞的應(yīng)用。例如，混沌理論在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中扮演著越來(lái)越重要的作用?；煦缋碚搸缀跤兄鵁o(wú)限的應(yīng)用，雖然它帶來(lái)的似乎是混亂和不可預(yù)測(cè)性，但它卻是我們理解世界的一種至關(guān)重要的方法。