規(guī)范理論一百年（上）

1918至1919年的一個錯誤理論開啟了一個偉大征程，導(dǎo)致描述自然界三種基本力的理論框架，以及很多重要的物理學(xué)和數(shù)學(xué)成就。為這一征程做出貢獻(xiàn)的很多物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家獲得諾貝爾物理學(xué)獎或者菲爾茲獎和阿貝爾獎。

1918至1919年的規(guī)范理論

1918至1919年，位于蘇黎世的瑞士聯(lián)邦工業(yè)學(xué)院的赫爾曼·外爾（Hermann?Weyl）發(fā)表了三篇文章，試圖將電磁力納入引力幾何理論的框架（1-41。這就是規(guī)范理論的開端。外爾是20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。曾獲得菲爾茲獎和阿貝爾獎的阿蒂亞（Michael?Atiyah）爵士曾經(jīng)告訴筆者，外爾是他的偶像之一。

外爾的這三篇文章，以《引力與電》（Gravitationund?Elektrizitat）一.文為主，該文發(fā)表于《普魯士科學(xué)院院刊》。正是在這個雜志上，愛因斯坦1915年發(fā)表了引力的幾何理論，也就是廣義相對論，揭示了引力本質(zhì)上是物質(zhì)所導(dǎo)致的時空的彎曲。

1905年，愛因斯坦提出狹義相對論。閔可夫斯基注意到，狹義相對論將時間和空間統(tǒng)一為四維時空。十年以后，愛因斯坦的廣義相對論指出，物質(zhì)使得時空彎曲，彎曲時空又決定物質(zhì)的運動。相對論是愛因斯坦最大也是最著名的貢獻(xiàn)，但是他獲得1922年諾貝爾獎主要是由于對光電效應(yīng)的理論解釋。為了領(lǐng)會時空彎曲的含義，讓我們想象一個球面。在球面上的某一點放一個箭頭，箭頭從這一點指向某個方向。然后我們將箭頭的底端在球面上移動，移動過程的每一個瞬間，都保持箭頭方向不變，這叫平行移動。然而，對于有限長度（非無窮小）的移動，箭頭方向卻變了。我們可以讓箭頭底端沿著某個閉合曲線平行移動一圈，回到原來的位置，箭頭的方向不再是原來的方向。這是球面彎曲所導(dǎo)致的。在彎曲時空里，道理與此類似，矢量的平行移動可能改變其方向，但大小不變。

當(dāng)時人們了解到，自然界有兩種基本力，除了引力，就是電磁力。所以外爾自然地想將電磁力（由電磁勢決定）也納入廣義相對論的框架。他試圖推廣平行移動的觀念，構(gòu)想矢量平行移動時，不僅方向變化，大小也變化。對于無窮小的平行移動，矢量大小改變無窮小倍，外爾假設(shè)這個無窮小倍數(shù)正比于電磁勢的無窮小改變。不難推導(dǎo)出，對于一個有限長度的平行移動，矢量大小就變成原來的大小乘以一個指數(shù)因子，指數(shù)正比于電磁勢沿著路徑的積分（即每一點的電磁勢的累加）。這個改變矢量大小的指數(shù)因子依賴于平行移動所經(jīng)過的路徑，所以叫做不可積標(biāo)度因子。這個結(jié)論很奇怪。在相對論里，尺子大小和時鐘快慢都可以看成矢量的大小。按照外爾的理論，兩點之間的尺子大小和時鐘快慢的改變居然取決于尺子和時鐘沿什么路徑移動！這就是愛因斯坦在外爾《引力與電》一文后所作評論的內(nèi)容。評論后面還發(fā)表了外爾篇幅很長但沒有說服力的答復(fù)，但是他承認(rèn)自己“像野鵝一樣追逐瘋狂的概念”。

在外爾的這篇文章中，有一句話體現(xiàn)了外爾的思考方式（本文中的直接引文均為筆者譯自英文）：“電磁守恒定律與新的規(guī)范不變性聯(lián)系起來，通過第五個任意函數(shù)表達(dá)。在我看來，這與能量動量原理的類似是對當(dāng)前理論的最強(qiáng)論證一只要在純粹猜想的情況下允許談?wù)撜撟C。”可以看出，外爾的信心源于他提出電磁守恒定律背后的不變性，或者說對稱性。這里的守恒量并非今天我們所知的電荷（那需要修正后的規(guī)范理論）。這里，外爾將對稱性導(dǎo)致的守恒量與能量動量守恒相比較。這些都可以當(dāng)成諾特定理的例子。諾特定理是說，連續(xù)對稱性對應(yīng)于守恒量。不知外爾當(dāng)時是否已經(jīng)知道也發(fā)表于1918年的諾特定理6。當(dāng)時諾特在哥廷根大學(xué)希爾伯特的麾下，但是五年前外爾就已經(jīng)離開了。

量子論拯救規(guī)范理論

量子論出現(xiàn)以后，1922年，外爾的朋友薛定諤猜測，可以在外爾的標(biāo)度因子的指數(shù)里加，上虛數(shù)單位i”。這樣，標(biāo)度因子就成了一個模為1的復(fù)數(shù)，即量子力學(xué)波函數(shù)的相位因子。但是薛定諤當(dāng)時還沒有波函數(shù)的概念，只是籠統(tǒng)地說某個“長度”。后來人們發(fā)現(xiàn)，這個工作對薛定諤1926年創(chuàng)立波動力學(xué)起了啟發(fā)作用[8-10。也是在1922年，在經(jīng)典理論中，卡魯扎（Theodor?Kaluza）將4維時空推廣到5維時空，其中某些度規(guī)分量代表電磁勢。當(dāng)理論不依賴于第5維坐標(biāo)時，5維坐標(biāo)變換退化為4維坐標(biāo)變換和1維規(guī)范變換。

1926年，薛定諤通過4篇文章創(chuàng)立了量子力學(xué)的波動力學(xué)表述（因此分享1933年諾貝爾物理學(xué)獎）。他在第4篇文章中指出，電磁場中帶電粒子的動量和能量算符必須包含電磁勢川。同樣是在1926年，克萊因（OskarKlein）和福克（Vladimir?Fock）分別討論了卡魯扎理論對應(yīng)的波動力學(xué)。福克特別指出，波麗數(shù)運動方程具有規(guī)范不變性，就是說，將波麗數(shù)乘以相位因子，同時電磁勢做相應(yīng)的變換，運動方程依然成立。

1926年底，倫敦（Fritz?London）給薛定諤寫了一封信，詢問他1922年對規(guī)范因子的修改與他1926年波動力學(xué)的聯(lián)系18-10]。然后倫敦自己寫了兩篇文章，將通常的波動力學(xué)與外爾的規(guī)范理論聯(lián)系起來，將外爾的不可積標(biāo)度因子改為波麗數(shù)的不可積相位因子[14-151。倫敦的工作沒有?？说?維理論的額外負(fù)擔(dān)。

規(guī)范理論的重生

在倫敦和?？斯ぷ鞯匿亯|基礎(chǔ)上，外爾在1928年的《量子力學(xué)中的群論》一書?和1929年的兩篇文章中，終于修正了他1918至1919年的理論，正式將標(biāo)度因子改為相位因子，將標(biāo)度不變性改為相位不變性，但是沿用了原來的名詞“規(guī)范（eich）”。我們特意將他在1918-1919年間的不可積因子稱作標(biāo)度因子，因為標(biāo)度因子和相位因子都稱作規(guī)范因子。2019年恰好也是規(guī)范理論重生九十周年。1929年的這兩篇文章是外爾以美國普林斯頓大學(xué)訪問教授的身份完成的。第一篇是發(fā)表于《美國科學(xué)院院刊》（PNAS）的英文概要《引力與電子》（Gravitation?and?the?electron），里面出現(xiàn)了“規(guī)范不變原理”（principle?of?gauge?invariance）。第二篇是德文文章，發(fā)表于《物理學(xué)雜志》（Zeitschrift?fir?Physik），內(nèi)容詳盡，標(biāo)題是《電子與引力（一）》（Elektronund?gravitation.I）。兩個標(biāo)題與他1918年的《引力與電》頗為呼應(yīng)。

規(guī)范不變原理當(dāng)然就是外爾1929年文章中最重要的內(nèi)容。在量子力學(xué)框架下，電磁學(xué)作為規(guī)范不變的后果被推導(dǎo)出來，規(guī)范不變性還導(dǎo)致電荷守恒。這里的規(guī)范變換已經(jīng)不是一個實數(shù)的標(biāo)度因子，而是相位因子（指數(shù)上有個虛數(shù)單位），規(guī)范不變性事實上是相位不變性。這就是我們今天熟悉的規(guī)范理論。

導(dǎo)致電荷守恒的規(guī)范不變是在整體規(guī)范變換（又稱第一類規(guī)范變換）下，也就是相位變換與時空坐標(biāo)無關(guān)，對每時每地的波麗數(shù)作同樣的相位變換。這可以看成諾特定理的例子，雖然外爾沒有直接提到諾特定理。1929年，諾特定理已經(jīng)廣為人知。而導(dǎo)出電磁學(xué)的規(guī)范不變性對應(yīng)于局域規(guī)范變換（又稱第二類規(guī)范變換），也就是說，相位因子依賴于時空坐標(biāo)。

外爾1929年的文章仍然將引力和電磁力通盤考慮，但是現(xiàn)在需要考慮量子力學(xué)，出發(fā)點是引力場中的電子自旋。因此外爾討論了二分量旋量理論（用兩個波麗數(shù)描述電子），包括具有手征性的外爾旋量（后來被稱為外爾費米子）。

筆者發(fā)現(xiàn)特別有趣的是，在外爾的理論中，局域平直時空依賴于時空坐標(biāo)，從而導(dǎo)致了一種聯(lián)絡(luò)，與時空彎曲的克里斯托弗爾聯(lián)絡(luò)相加，類似于后來人們所知的非阿貝爾規(guī)范勢，而相應(yīng)的黎曼張量類似于非阿貝爾規(guī)范場場強(qiáng)！

被譽(yù)為“物理學(xué)的良心”并自稱“上帝的鞭子”的量子力學(xué)創(chuàng)始人之一泡利（因不相容原理獨享1945年諾貝爾物理學(xué)獎）寫了一封信給外爾：“我面前是4月份的《美國科學(xué)院院刊》。里面的‘物理’欄目下不僅有你一篇文章，而且表明你現(xiàn)在在一個‘物理實驗室’工作：聽說給了你一個美國的物理教授職位。我欣賞你的勇氣;因為不可避免的結(jié)論是，你希望不是用純數(shù)學(xué)的成功來評價你，而是用你真實但是不愉快的對物理學(xué)的熱愛來評價你。”

外爾這篇文章引起泡利的反感是可以理解的：外爾1918年的文章是帶著愛因斯坦的質(zhì)疑一起發(fā)表的，泡利當(dāng)年也反對4，現(xiàn)在居然卷土重來，再加上文章里面的二分量理論是違反宇稱守恒的。后來，1933年，泡利在他著名的《物理學(xué)手冊》的文章里仍然批評二分量理論。1957年1月，泡利聽說吳健雄等人關(guān)于弱相互作用中宇稱不守恒的實驗后（弱相互作用是主宰粒子衰變的基本相互作用），先是表示不相信宇稱不守恒，十天后讀了論文，才改變看法。

但是泡利看了外爾1929年第二篇規(guī)范理論的文章后，態(tài)度完全變了，又寫了一封信19-201：“與我上次難聽的話相反，我上封信的主要部分已經(jīng)被否定，特別是被你在《物理學(xué)雜志》上的文章否定。因此我后來后悔給你寫上封信。研究了你的文章后，我想說我真正弄懂了你想做的（根據(jù)你在《美國科學(xué)院院刊》上的短文，情況不是這樣）。首先讓我強(qiáng)調(diào)我所完全贊同的方面：你將旋量理論納入引力理論框架。……這里我必須承認(rèn)你的物理能力。你早期用gik=λgik的理論是純數(shù)學(xué)，沒有物理意義。愛因斯坦對你的批評與責(zé)備是有道理的?，F(xiàn)在你的復(fù)仇時刻到了?！?/p>

1930年，外爾去哥廷根大學(xué)任教，成為他的導(dǎo)師希爾伯特的繼任者。

泡利成了規(guī)范理論的支持者。在上面所說的他1933年《物理學(xué)手冊》文章中，也介紹了外爾的規(guī)范理論。

也是在1933年，外爾收到普林斯頓高等研究院的教授聘書，他沒有接受。后來德國政治局勢惡化，他接受了普林斯頓高等研究院的再次相聘。他在那里工作到1951年退休，后來在蘇黎世和普林斯頓兩地生活，以蘇黎世為主。

雖然經(jīng)典電磁學(xué)中也討論規(guī)范和規(guī)范變換，但是這個名詞的使用是在1929年外爾用量子力學(xué)修改規(guī)范理論之后。

克萊因和泡利

質(zhì)子和中子統(tǒng)稱為核子，通過強(qiáng)核力結(jié)合成原子核。1922年，考慮到強(qiáng)核力與每個核子是質(zhì)子還是中子無關(guān)，海森堡提出同位旋的概念，類似于自旋，將質(zhì)子和中子表示成同位旋的兩種基本狀態(tài)，而在強(qiáng)核力下，同位旋守恒。海森堡因為最早取得從老量子論到量子力學(xué)的突破，獨享1932年諾貝爾物理學(xué)獎。1936年，湯川秀樹提出強(qiáng)核力的介子理論，即核子之間通過交換介子而產(chǎn)生強(qiáng)核力，正如帶電粒子之間的電磁力通過交換光子而實現(xiàn)，因此獨享1949年諾貝爾物理學(xué)獎。光子沒有質(zhì)量，所以電磁力是長程的，但是介子是有質(zhì)量的，所以強(qiáng)核力只能局限于很短的距離。

數(shù)學(xué)上，外爾的規(guī)范變換屬于U（1）變換，只有1個波函數(shù)作一個相位變換。而核子的同位旋變換屬于SU（2）變換，對應(yīng)于兩個同位旋狀態(tài)的2個波函數(shù)做滿足一定條件的變換。對于某種變換而言，如果連續(xù)做兩次變換的結(jié)果與順序無關(guān)，就叫阿貝爾的，否則就叫非阿貝爾的。U（1）變換是阿貝爾的，SU（2）變換是非阿貝爾的。

1938年，克萊因在波蘭的一個會議上提出一個包含引力、電磁力和強(qiáng)核力的統(tǒng)一理論，將上面提到的卡魯扎一克萊因理論中對第5維坐標(biāo)的無關(guān)性改為依賴于某個相位因子，其中第5維坐標(biāo)出現(xiàn)在指數(shù)上。這個新理論中，某些度規(guī)系數(shù)成為具有SU（2）非阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu)的矩陣?？巳R因?qū)⒋死碚撚糜诤俗??？巳R因并不要求該理論具有SU（2）規(guī)范不變性。不過他評論說質(zhì)量項可能不需要，質(zhì)量也許可以來自某種自能，這個猜想有點后來的希格斯機(jī)制的精神?？巳R因的報告沒有引起與會者多少興趣，后來又只是發(fā)表在會議文集，再加上二戰(zhàn)的爆發(fā)，這個工作沒有引起關(guān)注。

1953年在萊頓召開的洛倫茲一昂內(nèi)斯會議上，普林斯頓高等研究院的派斯（Abraham?Pais）為了研究粒子分類，提出一個基于同位旋的場論，將每個時空點推廣為一個2維球面，試圖將外爾的電荷守恒推廣到同位旋守恒。派斯只考慮了整體規(guī)范變換，也就是說，SU（2）變換與時空坐標(biāo)無關(guān)。泡利在場，他評論道（20.241：“我有個關(guān)于介子和核子相互作用的具體問題…我很贊成將守恒定律和不變性質(zhì)與大自然在數(shù)學(xué)上的變換群聯(lián)系起來。如果除了能量守恒和電荷守恒，核子數(shù)的守恒和核力的電荷無關(guān)確定無誤，那么它們確實必須與自然定律的群論性質(zhì)聯(lián)系起來，正如派斯現(xiàn)在試圖用數(shù)學(xué)表達(dá).的....與此相關(guān)，我想問，是否這個常數(shù)變換群（同位旋群）能夠擴(kuò)大，與電磁勢的規(guī)范群類似，從而介子一核子作用與這個擴(kuò)大的群聯(lián)系起來……”

泡利是在問，能否將與時空坐標(biāo)無關(guān)的同位旋SU（2）整體變換改為依賴時空坐標(biāo)的SU（2）局域規(guī)范變換。他自己立即研究了這個問題。泡利熟悉規(guī)范理論，以前也研究過引力和電磁力的統(tǒng)一，贊成外爾將電子旋量理論與引力理論結(jié)合起來。

在1953年7月和12月給派斯的兩封信中，泡利描述了自己的理論，題為“介子一核子相互作用與微分幾何”（Meson-nucleon?interaction?and?differential?geometry。他也用卡魯扎-克萊因理論，但是采用了兩個額外維度。在他的理論中，電磁勢不是來自度規(guī)，而是來自克里斯托弗爾聯(lián)絡(luò)。泡利在這里沒有寫下規(guī)范場的拉格朗日量以及場方程，也沒有正式發(fā)表這個理論。但他在1953年秋天做過相關(guān)演講，后來他的學(xué)生整理了講義。1954年泡利在給楊振寧的一封長信中說，他的學(xué)生在這個講義里討論了規(guī)范場的拉格朗日量。1953年12月，泡利給派斯的另一封信中說：“如果試圖給出場方程，……那么總是得到靜止質(zhì)量為0的矢量介子。”著重標(biāo)志是泡利本人所加。這里以及后來泡利與楊振寧的對話以及給楊振寧的長信反映出，泡利意識到規(guī)范粒子的質(zhì)量是個麻煩。這是因為如果規(guī)范粒子有質(zhì)量，理論的規(guī)范不變性也就失去了;而如果規(guī)范粒子沒有質(zhì)量，則意味著規(guī)范場可以將作用力傳遞無限遠(yuǎn)，但是這與強(qiáng)核力的情況不符。

楊-米爾斯理論

楊振寧當(dāng)時是普林斯頓高等研究院的年輕成員，是派斯的同事，但是1953年夏至1954年夏，他在布魯克海文實驗室訪問。楊振寧曾經(jīng)回憶：“我在昆明和芝加哥做研究生時，認(rèn)真學(xué)習(xí)了泡利關(guān)于場論的綜述文章。我對電荷守恒與理論在相位變化下不變的關(guān)系印象非常深刻。后來我發(fā)現(xiàn)這些思想來源于外爾。印象更深的是，規(guī)范不變性決定了整個電磁相互作用?！睏钫駥幗又貞?，在芝加哥讀研究生時，他就開始嘗試將規(guī)范理論推廣到同位旋。2005年出版的《楊-米爾斯理論50年》（50?Years?of?Yang-Mills?Theory）收人了楊振寧在1947年的三頁筆記，編者特霍夫特（Gerardus’t?Hooft）說，“這是一個當(dāng)時在為規(guī)范不變性概念而努力的研究生的筆記，距1954年的杰作還有一段長路。”1947年后楊振寧還進(jìn)行了很多不成功的計算。

后來隨著實驗上越來越多的介子被發(fā)現(xiàn)，楊振寧認(rèn)為需要一個寫下相互作用的原理。所以1953年夏天在布魯克海文實驗室，楊振寧回到這個問題。當(dāng)時，他與即將在哥倫比亞大學(xué)博士畢業(yè)的米爾斯（Robert?Mills）共用一個辦公室。這一次，兩人終于完成了規(guī)范理論的非阿貝爾推廣。

1954年2月，楊振寧回到普林斯頓高等研究院作學(xué)術(shù)報告，介紹這個理論。泡利在聽眾中，那個時期他與老朋友外爾一樣在蘇黎世與普林斯頓高等研究院之間“振蕩”。犀利的泡利不斷問楊振寧規(guī)范粒子的質(zhì)量。楊振寧回答說不知道，曾經(jīng)研究過，但是沒有明確結(jié)論。泡利說：“這不是充分的理由?！钡诙?，楊振寧收到泡利的短信，去找泡利。泡利建議楊振寧去看薛定諤關(guān)于引力場中狄拉克方程的文章。楊振寧發(fā)現(xiàn)，里面的方程一方面與黎曼幾何有關(guān)，一方面與他和米爾斯的方程類似12]。這個月，泡利還寫了一封長信給楊振寧，將自己之前的結(jié)果在平直時空和其他條件下簡化，與楊-米爾斯的結(jié)果一致，并說他的學(xué)生討論了規(guī)范場的拉格朗日量。泡利最后寫道：“但是我曾經(jīng)而且仍然對粒子靜止質(zhì)量為零的矢量場感到反感和泄氣（我不將你的’復(fù)雜’之說當(dāng)回事），而且也存在電磁場的特性導(dǎo)致的群的困難?！?/p>

楊振寧和米爾斯的工作與廣義相對論完全無關(guān)，沒有額外維度的負(fù)擔(dān)。在他們的文章之前，除了倫敦的文章和泡利的綜述，研究不可積規(guī)范因子和規(guī)范理論的論文都將規(guī)范場與引力糾纏在一起，這有一定誤導(dǎo)性，但有一定技術(shù)上的優(yōu)勢。楊振寧和米爾斯在明確的物理動機(jī)下，提出清晰的非阿貝爾規(guī)范理論。但是因為他們當(dāng)時不了解規(guī)范場的幾何意義，不知道場強(qiáng)可以直接從協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對易子得到。而克萊因和泡利的工作是在彎曲時空理論的框架中，所以很自然地通過協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對易子得到場強(qiáng)。不過筆者注意到，在泡利當(dāng)初介紹外爾規(guī)范場的綜述文章中，對于通常的平直空間，也用協(xié)變導(dǎo)數(shù)的對易子表示了場強(qiáng)。楊振寧大概沒有留意到這一點，否則推廣的過程會順利很多。

盡管受到泡利的批評，楊振寧依然認(rèn)為想法很美，應(yīng)該發(fā)表。這體現(xiàn)了巨大的勇氣，因為泡利的批評有強(qiáng)大的殺傷力。比如1925年，烏倫貝克（George?Uhlenbeck）和古德斯米特（Samuel?Goudsmit）提出電子具有自旋。這個貢獻(xiàn)沒有得到諾貝爾獎，因為克勒尼希（Ralph?Kronig）大半年前提出同樣想法，但在泡利、海森堡和克拉默斯（Hendrik?Kramers）反對下沒有發(fā)表。

2012年，楊振寧說：“這篇文章是我一生最重要的工作。雖然未竟全功，但是決定當(dāng)時發(fā)表是極正確的。

1954年，楊振寧和米爾斯其實發(fā)表了兩篇文章，提出楊-米爾斯理論。第一篇只是楊振寧在當(dāng)年美國物理學(xué)會四月會議所作報告《同位旋守恒與推廣的規(guī)范不變性》（Isotopic?spin?conservation?and?ageneralized?gauge?invariance）的摘要，發(fā)表在《物理評論》（Physical?Review），但是很好地總結(jié)了楊-米爾斯理論的物理思想：“同位旋守恒與電荷守恒類似，顯示存在一個基本的不變定律。在后者的情況，電荷是電磁場的源;這里的一個重要概念是規(guī)范不變性，它緊密相關(guān)于（1）電磁場的運動方程，（2）流密度的存在，（3）可能存在的帶電的場與電磁場的相互作用。我們嘗試將這一規(guī)范不變性的概念推廣，以運用于同位旋守恒。結(jié)果表明，這個推廣很自然。與電磁場類似的場是一個矢量場，即使其他場不存在，也滿足非線性方程。（與電磁場不同，這個場具有同位旋，是它自己的源。）流密度自動存在，這個場與其他任意同位旋的場的相互作用具有確定形式（除了與電動力學(xué)中的反常磁矩作用相類似的可能項）。”他們另一篇文章是詳細(xì)的論文《同位旋守恒與同位旋規(guī)范不變性》（Conservation?of?isotopicspin?and?isotopic?gauge?invariance），6月28日被《物理評論》收稿。此文的摘要強(qiáng)調(diào)了局域變換：“本文指出通常在同位旋旋轉(zhuǎn)下的不變性原理與局域場的概念不融洽。本文探討在局域同位旋旋轉(zhuǎn)下的不變性。這導(dǎo)致建立了一個同位旋規(guī)范不變性原理和某個b場粒子的存在，它與同位旋的關(guān)系類似于電磁場與電荷的關(guān)系。b場滿足非線性微分方程。b場的量子是自旋為1、同位旋為1、電荷為土e或0的粒子?！蔽恼伦詈笳f明，對于規(guī)范粒子的質(zhì)量問題，還沒有滿意答案，并指出質(zhì)量為零的選項面臨發(fā)散的困難。

我們順便提一下，整體對稱也是合法的，不與規(guī)范對稱矛盾，兩種對稱都存在，前者也可看成后者的特例，事實上電荷守恒正是整體相位變換不變性的后果。

雖然是一個很美的理論，但是楊-米爾斯理論沒有能立即用到物理上。當(dāng)時除了在普林斯頓，楊振寧只在哈佛大學(xué)作過一次介紹這個工作的演講。

2012年，楊振寧評論：“最近一些年，經(jīng)常有人問我，為什么1954年泡利沒有發(fā)表他關(guān)于規(guī)范場的計算，而米爾斯和我發(fā)表了。我認(rèn)為答案在于我們關(guān)于以下兩者不同的價值判斷：（A）規(guī)范不變性的美和力量，以及（B）規(guī)范玻色子的質(zhì)量問題。對于米爾斯和我來說，中心動機(jī)來自（A），正如我們的短摘要（譯注：上文已引述）所表明的。至于（B），米爾斯和我探討了各種可能性，在我們1954年的文章最后總結(jié)道：‘因此我們沒有得到關(guān)于b量子的質(zhì)量的任何結(jié)論?！簿褪钦f，我們將（B）當(dāng)作未來的問題。對于泡利來說，規(guī)范不變性的美顯然沒有被充分領(lǐng)會。他對整個想法有持續(xù)的負(fù)面態(tài)度。參見文章[85j]的腳注34。因此（B），質(zhì)量問題，對于泡利來說，成為中心和決定性的。”這里提到的[85j]就是楊振寧的《外爾對物理學(xué)的貢獻(xiàn)》，里面的腳注34指出，泡利生前最后一些年對規(guī)范場的思想持負(fù)面態(tài)度，并提到1956年泡利曾經(jīng)為他1921年的文章《相對論》寫過一系列后記，其中關(guān)于“外爾的理論”的后記不再如他1921年的文章那樣正面。

順便提一下，1955年劍橋大學(xué)薩拉姆的學(xué)生肖（Ronald?Shaw）的博士論文也討論了規(guī)范理論的SU（2）推廣。肖聲稱他1953年看到施溫格（Julian?Schwinger）的一篇論文預(yù)印本用SO（2）討論電磁規(guī)范理論，便將其推廣到SU（2）。肖所做的只是一個未發(fā)表的數(shù)學(xué)練習(xí)，他和薩拉姆都沒有意識到非阿貝爾規(guī)范場的重要意義。1955年內(nèi)山菱友（Ryoyu?Utiyama）完成了一篇探討一般規(guī)范結(jié)構(gòu)的論文，次年發(fā)表，其中以電磁學(xué)、引力和楊-米爾斯場作為例子。內(nèi)山聲稱其主要工作完成于1954年3月底，但并沒有成文，而且這已經(jīng)是在楊振寧的普林斯頓演講之后。

總之，楊振寧和米爾斯成為非阿貝爾規(guī)范理論的創(chuàng)立者，非阿貝爾規(guī)范理論也被稱為“楊-米爾斯理論”。1999年，在美國物理學(xué)會成立100周年之際，楊振寧當(dāng)初的同事和見證人派斯寫了理論粒子物理的歷史綜述，其中寫道：“1954年，兩篇精彩的短文標(biāo)志著非阿貝爾規(guī)范理論的開端（譯注：派斯在這句話后面引用了楊振寧和米爾斯的兩篇文章）。它們處理一種全新的強(qiáng)相互作用，由零質(zhì)量矢量介子傳遞。這個工作引起很大興趣，但是如何應(yīng)用這些深奧的想法是另一回事，那時沒有矢量玻色子，更不用說零質(zhì)量的矢量玻色子。問題一直被擱置到1970年代?！?/p>

楊-米爾斯理論的發(fā)表使得很多物理學(xué)家開始關(guān)注這個問題，成為一個候選理論，雖然并沒有立即成功解決具體物理問題。楊振寧回憶：“1950年代后期，規(guī)范理論被用到強(qiáng)相互作用和弱相互作用。1960年，櫻井（JunJohn?Sakurai）發(fā)表了一篇很熱切的文章，提出強(qiáng)相互作用的非阿貝爾規(guī)范理論?！保?71但是楊振寧認(rèn)為櫻井的做法破壞了規(guī)范不變性這一規(guī)范理論中最美妙的觀念，認(rèn)為不應(yīng)當(dāng)馬馬虎虎地將規(guī)范理論變?yōu)槲ㄏ蟮臇|西。1961年，格拉肖（Sheldon?L.Glashow）如櫻井一樣，硬行假設(shè)規(guī)范粒子具有質(zhì)量，提出一個具有U（1）xSU（2）對稱性的模型，以統(tǒng)一電磁相互作用和弱相互作用。

另一方面，楊-米爾斯理論也引起一些純理論的興趣。1960年代，費曼（Richard?Feynman）、德維特（Bryce?DeWitt）、波波夫（Victor?Nikolaevich?Popov）和法捷耶夫（Ludvig?Dmitrievich?Faddeev）研究了楊-米爾斯理論的量子化。因量子電動力學(xué)的重正化，費曼和施溫格（Julian Schwinger）、朝永振一郎（Shinichiro?Tomonaga）分享1965年諾貝爾物理學(xué)獎。

[本文作者受國家自然科學(xué)基金面上項目（11574054）資助。]

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關(guān)鍵詞：外爾?規(guī)范理論?規(guī)范場?楊-米爾斯理論?標(biāo)準(zhǔn)模型?粒子物理