基于滾珠絲杠傳動的機床進給系統(tǒng)建模與分析

陳哲鑰，張建業(yè)，呂張成，劉浩

(1.天津工業(yè)大學機械工程學院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學天津市現(xiàn)代機電裝備技術(shù)重點實驗室，天津 300387)

0 前言

隨著制造業(yè)的高速發(fā)展，對零部件的加工精度要求也愈來愈高，數(shù)控機床作為加工零部件和推進制造業(yè)發(fā)展升級的載體，在制造業(yè)升級中占有重要地位。數(shù)控機床進給系統(tǒng)是整個數(shù)控機床中由機械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)組合的具有精確和快速執(zhí)行數(shù)控指令到達指定位置的集成系統(tǒng)，擔當著數(shù)控機床的核心部件。而滾珠絲杠傳動作為數(shù)控機床進給系統(tǒng)最常見的傳遞機構(gòu)，通過聯(lián)軸器與交流伺服電機相連接，數(shù)控指令作用于電機編碼器使得電機帶動支撐在角接觸軸承組上的滾珠絲杠轉(zhuǎn)動，再通過絲杠與螺母間的傳動比i使得工作臺做直線進給運動。文獻[1]指出高速運動的過程中進給系統(tǒng)的振動特性與高速機床控制系統(tǒng)的帶寬有一定影響。商用數(shù)控控制器，如FANUC和西門子都要求機器設(shè)計者使機械系統(tǒng)的一階固有頻率比伺服響應(yīng)帶寬高一級，以確保驅(qū)動機構(gòu)安全穩(wěn)定的運行[2]。文獻[3-4]通過實驗得知，對于大多數(shù)技術(shù)應(yīng)用，軸向模式的特征頻率明顯小于旋轉(zhuǎn)模式的特征頻率。因此，軸向模式通常被稱為滾珠絲杠進給系統(tǒng)的一階固有頻率。由此可知，在對進給系統(tǒng)進行動態(tài)特性分析時，需要建立精確的動力學模型，定量分析其零部件參數(shù)及工作狀態(tài)對一階固有頻率的影響，并通過仿真預測其動態(tài)特性。文獻[5]通過集中質(zhì)量法建立了進給系統(tǒng)的動力學模型，且通過共振頻率的正弦掃描實驗對比驗證了此模型的正確性；文獻[6-8]使用有限元法(FEM)和混合建模法建動力學模型，盡可能詳細地描述了進給系統(tǒng)的動力學行為。然而，上述建模未將零部件剛度的改變以及工作狀態(tài)對進給系統(tǒng)一階固有頻率的影響考慮進去。在伺服控制系統(tǒng)設(shè)計方面，KIM、CHUNG[9]提出一種離散控制器的綜合伺服機構(gòu)設(shè)計方法，文獻[10]提出迭代學習輪廓控制器，但在伺服系統(tǒng)設(shè)計過程中忽略了對外部干擾的抑制以及對現(xiàn)有摩擦的補償。

針對這些問題，本文作者通過Hertz接觸理論和吉村允孝法，結(jié)合有效機械參數(shù)計算部件結(jié)合部剛度，并代入拉格朗日方程建立的數(shù)控機床進給系統(tǒng)動力學模型，將動力學模型求解結(jié)果與ANSYS有限元分析結(jié)果進行對比，并定量分析部件參數(shù)及工作狀態(tài)對數(shù)控機床進給系統(tǒng)振動一階固有頻率的影響?？紤]到機械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)之間的耦合作用，為使進給系統(tǒng)能快速精準到達數(shù)控指令預期的指定位置，基于MATLAB軟件中的Simulink模塊建立含有摩擦影響的伺服系統(tǒng)控制模型，對于進給系統(tǒng)位置和速度跟蹤響應(yīng)出現(xiàn)的不利情況，采用前饋補償進行有效的改善。

1 剛度計算

1.1 固定結(jié)合部

吉村允孝通過對大量機床結(jié)合部進行實驗研究得出：平均接觸壓力相同的兩固定接觸的物體，其結(jié)合部單位面積內(nèi)的動態(tài)特性數(shù)據(jù)是相同的[11]。當螺栓連接和過盈配合結(jié)合部壓力分布均勻時，結(jié)合部等效剛度的基本積分公式為

K=?kidxdy

(1)

式中：ki是法向單位面積接觸剛度。

1.2 滾動結(jié)合部

Hertz接觸理論被廣泛應(yīng)用于研究相互接觸的兩彈性體間接觸變形和接觸應(yīng)力。假設(shè)兩材料均勻和各向同性且滿足胡克定律的物體，在外力F的作用下相互接觸，并且兩物體接觸表面光滑、接觸面尺寸與物體的曲率半徑比值趨近于無窮小量，則兩物體在接觸過程中的彈性變形δ可表示為

(2)

式中：Kh和a是Hertz系數(shù)；u1、u2為兩接觸體的泊松比；E1和E2是兩接觸體的彈性模量；∑ρ為接觸點的綜合曲率；P為法向接觸力。

以滾珠絲杠為例計算結(jié)合部的剛度，在軸向力F的作用下滾珠絲杠螺母副結(jié)合部受力如圖1所示。其中滾珠與滾道之間的法向壓力為P，α為滾珠與滾道接觸點的壓力角，φ為滾珠絲杠的螺旋升角，Z為滾珠數(shù)目。受力分析可得：

圖1 滾珠絲杠螺母副結(jié)合部受力分析

F=PZsinαcosφ

(3)

由Hertz接觸理論得到的彈性變形：

(4)

(5)

(6)

式中：db為滾珠直徑；d為絲杠公稱直徑；f1、f2為密合度。

由滾珠絲杠螺母副的幾何關(guān)系可知絲杠螺母相對絲杠的軸向位移為

δ=(δ1+δ2)/sinαcosφ

(7)

則滾珠絲杠結(jié)合部的軸向剛度可以表示為

Kn=F/δ

(8)

角接觸軸承組等其他滾動結(jié)合部可根據(jù)式(2)—(8)計算，因篇幅關(guān)系不再闡述。

2 動力學建模與分析

2.1 動力學建模

在伺服電機的旋轉(zhuǎn)運動通過以滾珠絲杠為傳動元件轉(zhuǎn)化為工作臺的直線運動的數(shù)控機床進給系統(tǒng)中，整個進給系統(tǒng)傳動鏈的剛度可以等效地視為絲杠及其支撐元件為了抵抗驅(qū)動力作用下進給方向所受力與變形的比值。為了更好地研究進給系統(tǒng)的動態(tài)特性，使建立的動力學模型更加符合實際狀態(tài)，并且準確地預測進給系統(tǒng)的動態(tài)性能，現(xiàn)將床身和軸承座簡化為剛體。由于絲杠螺母副和軸承副在進給過程中作為關(guān)鍵的動力傳遞與轉(zhuǎn)換的構(gòu)件，且絲杠作為細長桿，在軸向簡諧力的作用下產(chǎn)生一定的變形與振動，會在數(shù)控加工時影響伺服系統(tǒng)的定位精度，從而影響零部件所需的加工精度，因此不能將其簡化為剛體。作者把螺栓連接的絲杠螺母、螺母座、導軌滑塊、工作臺視為整體，通過絲杠螺母中點將材料均勻連續(xù)、各向同性的絲杠劃分為兩段，并將螺母與絲杠兩端的軸承副簡化為彈簧-阻尼系統(tǒng)。根據(jù)上述簡化條件，數(shù)控機床進給系統(tǒng)在簡諧外力作用下的簡化動力學模型如圖2所示。

圖2 動力學模型簡化

圖中：kbl、cbl分別為左端軸承副(包括聯(lián)軸器、電機軸)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)；F(t)為簡諧力；f為摩擦力；msl、msr分別為左、右段絲杠質(zhì)量；l為絲杠總長；n為t時刻左端絲杠長度；xbl為絲杠左端位移；ksl、csl、ksr、csr分別為與工作臺位置有關(guān)的左、右段絲杠剛度和阻尼系數(shù)；xn為螺母位移；mt為工作臺質(zhì)量；xt為工作臺位移；kn、cn分別為螺母及螺母座結(jié)合部剛度和阻尼系數(shù)；kbr、cbr分別為右端軸承副剛度和阻尼系數(shù)；xbr為絲杠右端位移。

由于螺母使得絲杠左右兩段的運動受力情況不同，因此在計算動能時選取微元dm，其位移為

(9)

則左段絲杠的動能為

(10)

右段絲杠的動能為

(11)

式(10)—(11)中：

msl11=msl22=msr11=msr22=msl/3

msl12=msr12=msl/6，msl=n×ms/l

工作臺動能為

(12)

整個進給系統(tǒng)的總動能為

(13)

在對動力學模型簡化的過程中，由于兩端軸承副與螺母簡化為彈簧-阻尼系統(tǒng)，絲杠被視為彈性桿件，因此數(shù)控機床進給系統(tǒng)的總勢能可以表達為

(14)

系統(tǒng)的耗散能計算可將整個進給系統(tǒng)的阻尼假設(shè)為與速度成正比的黏性阻尼得：

(15)

取L=T-U將上式代入第二類拉格朗日方程

(16)

式中：廣義坐標q為

q=[xblxnxtxbr]T

廣義力F為

F=[0 0F(t)-f0]T

將計算得到的系統(tǒng)動能T、勢能U、耗散能D代入式(16)，得到系統(tǒng)運動的微分方程為

(17)

將式(17)整理成矩陣形式得：

(18)

式中：M為慣性系數(shù)矩陣；C為阻尼系數(shù)矩陣；K為剛度系數(shù)矩陣。

2.2 一階固有頻率求解

由于進給系統(tǒng)的位置精度與閉環(huán)帶寬通常受到一階固有頻率的限制，除特定阻尼機制結(jié)構(gòu)外，在現(xiàn)實結(jié)構(gòu)中，由于一般機構(gòu)的阻尼比ξ非常小，且對機構(gòu)的固有頻率影響微乎其微[12]，因此，式(18)可以表示成無阻尼自由振動方程

(19)

假設(shè)系統(tǒng)進行簡諧運動，則有

x=Xsin(ωnt+φ)

(20)

對式(20)求導

(21)

將式(20)、(21)代入式(19)得齊次線性方程組

(22)

要使得方程組有非零解，需要特征方程等于零，即X的系數(shù)行列式等于零，求得ωn就是進給系統(tǒng)的固有頻率。

現(xiàn)擬用HIWIN公司R40-10B1-OFSW行程為1 250 mm絲杠的某機床進給系統(tǒng)為研究對象，通過剛度計算和原有參數(shù)，可得動力學模型參數(shù)見表1。

表1 進給系統(tǒng)剛度及結(jié)構(gòu)參數(shù)

當工作臺位于絲杠中間位置時，將表1數(shù)值代入動力學方程用MATLAB求解軸向一階固有頻率，與ANSYS軟件中的Workbench模塊有限元分析的結(jié)果進行對比，結(jié)果見表2，基于有限元分析一階振動模態(tài)見圖3。

表2 進給系統(tǒng)一階頻率對比

圖3 有限元一階振動模態(tài)

可以對比出動力學模型計算與有限元分析誤差為7.9%，在一個比較合理的范圍，說明通過赫茲接觸理論和吉村允孝法，結(jié)合有效機械參數(shù)計算部件結(jié)合部剛度，并通過拉格朗日方程建立數(shù)控機床進給系統(tǒng)的動力學模型可以比較精確地預測數(shù)控機床進給系統(tǒng)的動態(tài)性能，同時造成誤差的主要原因在于模型處理方式不同。

由于進給系統(tǒng)剛度以及結(jié)構(gòu)參數(shù)對一階固有頻率有一定影響，下面將定量分析這些參數(shù)的變化對進給系統(tǒng)一階固有頻率的影響。

針對進給系統(tǒng)各結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的耦合關(guān)系，數(shù)控機床在加工的過程中，進給系統(tǒng)一直在做進給運動。在工件裝夾與切削的過程中，工作臺位置與質(zhì)量時刻發(fā)生著變化。圖4、圖5采用控制變量法分別分析了工作臺質(zhì)量和工作臺位置變化對進給系統(tǒng)一階固有頻率的影響。

圖4 工作臺質(zhì)量m對一階固有頻率f1的影響

圖5 工作臺位置x對一階固有頻率f1的影響

在對工作臺質(zhì)量變化進行分析時，為了分離出各結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對固有頻率的影響，只改變工作臺質(zhì)量，其他參數(shù)視為常數(shù)。由圖4可知：工作臺質(zhì)量mt在50～300 kg間變化，進給系統(tǒng)一階固有頻率從358.3 Hz下降到147.6 Hz，且在原有質(zhì)量(100±10)kg的時候，一階固有頻率為242.7～268.9 Hz，變化率為10.3%。

保持部件剛度和工作臺質(zhì)量不變，僅單獨改變工作臺位置，從圖5可知：最低頻率出現(xiàn)在工作臺運行到絲杠中間的位置，且當進給運動從近電機端向遠電機端時，進給系統(tǒng)一階固有頻率變化規(guī)律呈現(xiàn)出先降低再升高的趨勢。

保持工作臺質(zhì)量與位置不變，當且僅當單獨改變部件剛度，從圖6可以看出：在部件剛度逐漸增大的過程中，進給系統(tǒng)一階固有頻率也在逐漸增大；當剛度增大到一定值時，頻率增大趨于平緩。對比滾珠絲杠螺母副和軸承副剛度增大固有頻率的變化率，可明確得出滾珠絲杠螺母副剛度變化對一階固有頻率影響較大。其主要原因是滾珠絲杠相對于整個進給系統(tǒng)來說是細長桿件，是整個進給系統(tǒng)中最薄弱的環(huán)節(jié)，在軸向簡諧力的作用下易發(fā)生變形和振動，因此，滾珠絲杠螺母副剛度變化對其一階固有頻率影響比較大。

圖6 部件剛度對一階固有頻率的影響

3 伺服環(huán)境下進給系統(tǒng)仿真分析

為準確得到數(shù)控機床進給系統(tǒng)中機械系統(tǒng)和控制系統(tǒng)耦合作用下，工作臺的實際速度與位移對數(shù)控指令的跟蹤性能，在第2章動力學模型的基礎(chǔ)上，添加利用矢量變換的方法建立交流永磁同步電機(PMSM)線性解耦下類似于直流電機的數(shù)學模型，并設(shè)計伺服系統(tǒng)三環(huán)電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)。為探討摩擦力對進給系統(tǒng)伺服響應(yīng)的影響，在機電耦合模型中加入與速度相關(guān)的黏性摩擦模型[13]。

PMSM由于具備低轉(zhuǎn)矩脈沖、高效率、高精度、高能量密度的特點，廣泛應(yīng)用于機加工設(shè)備和電驅(qū)設(shè)備的大范圍調(diào)速和定位系統(tǒng)中。假設(shè)在復雜電磁耦合下電機定轉(zhuǎn)子滿足三相定子繞組間隔120°、不計轉(zhuǎn)子和永磁體的阻尼、不計渦流和遲滯的損耗，PMSM可通過矢量變換的方法將定子上a、b、c三相交流轉(zhuǎn)換為定子α-β二相交流再變換到d-q二相直流，其公式原理如下：

(23)

通過MATLAB軟件中的Simulink工具箱建立PMSM采用id=0矢量控制策略的PID控制+前饋控制的三環(huán)伺服系統(tǒng)機電耦合仿真模型如圖7所示，其Subsystem中封裝了電流環(huán)、摩擦模型及機械系統(tǒng)。模型中Kd為速度環(huán)放大系數(shù)、Ku為電壓放大系數(shù)、Kv為速度環(huán)反饋系數(shù)，PID控制器中Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分系數(shù)，伺服控制參數(shù)取值見表3。

表3 伺服控制參數(shù)

圖7 進給系統(tǒng)機電耦合模型

擬以疊加的正弦信號作為伺服環(huán)境下數(shù)控機床進給系統(tǒng)的輸入指令，以電動機的角速度、絲杠的角位移和工作臺位置作為反饋信號，得到進給系統(tǒng)在有無摩擦補償下的仿真結(jié)果。圖8在沒有摩擦前饋補償?shù)那闆r下，明顯看出：位置跟蹤易出現(xiàn)“平頂”的現(xiàn)象；而速度跟蹤下，特別是速度過零的附近區(qū)域，出現(xiàn)明顯的“死區(qū)”現(xiàn)象。這2種現(xiàn)象對精密零部件的加工精度有著重大影響，甚至有著報廢零部件的可能。圖9在使用PID控制+前饋控制的情況下，對摩擦影響進行一定補償，“平頂”和“死區(qū)”現(xiàn)象得到了明顯改善，從而提高了進給系統(tǒng)在作進給運動時的精準性，保證了加工精度。

圖8 無摩擦補償下速度、位移響應(yīng)

圖9 摩擦補償下速度、位移響應(yīng)

4 結(jié)論

(1)基于滾珠絲杠傳動的機床進給系統(tǒng)，通過赫茲接觸理論與吉村允效法闡述零部件動力學剛度參數(shù)的計算，并代入拉格朗日方程，建立了零部件剛度改變以及工作狀態(tài)改變對進給系統(tǒng)一階固有頻率影響的進給系統(tǒng)動力學模型。

(2)動力學模型一階固有頻率求解與ANSYS分析對比驗證，誤差在7.9%，確保了動力學模型的準確性。定量分析頻率的影響因素得出：隨著工作臺質(zhì)量增大，固有頻率降低；固有頻率隨部件剛度增大而增大；當工作臺位于絲杠中間位置時固有頻率最低。所建動力學模型為進給系統(tǒng)動態(tài)特性優(yōu)化提供理論指導。

(3)用MATLAB/Simulink工具箱建立了進給系統(tǒng)的機電耦合模型，通過PID控制+前饋控制改善了進給系統(tǒng)“平頂”和“死區(qū)”現(xiàn)象，為摩擦力影響下滾珠絲杠傳動的機床進給系統(tǒng)運動控制與動態(tài)誤差補償提供了參考。