關(guān)于二元函數(shù)可微性的判定

高義

摘要：二元函數(shù)可微性是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中重要的也是難以理解的知識(shí)點(diǎn)之一，為了幫助學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行更好的理解和掌握，本文從可微性的定義入手，輔以具體的例子，對(duì)二元函數(shù)可微性的判定條件展開了討論和分析，進(jìn)而給出一個(gè)判定二元函數(shù)可微性的流程圖.

關(guān)鍵詞：二元函數(shù);可微;偏導(dǎo)數(shù);連續(xù)

中圖分類號(hào)：O174.41? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）04-0007-04

二元函數(shù)可微性是數(shù)學(xué)分析教學(xué)和學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，涉及的知識(shí)點(diǎn)有二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)以及全面極限的計(jì)算等. 另外，由于可微性是刻畫二元函數(shù)性態(tài)的一個(gè)更加精細(xì)的概念，因而受到人們廣泛的關(guān)注，尤其在教學(xué)方面，有很多文獻(xiàn)[1-12]對(duì)此進(jìn)行了討論.我們?cè)陂L(zhǎng)期的教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)二元函數(shù)可微性的概念的理解不夠深入和系統(tǒng)，這對(duì)后繼課程如復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)帶來了影響.為了更好地引導(dǎo)學(xué)生思考，本文對(duì)二元函數(shù)的可微性展開了討論，以可微性的定義入手，通過啟發(fā)性問題和典型例子層層引領(lǐng)學(xué)生對(duì)可微性的概念、判定條件等進(jìn)行細(xì)致分析.同時(shí)，本文對(duì)已有的關(guān)于二元函數(shù)可微性的判定條件的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)了判定二元函數(shù)可微性的充分條件或弱化的充分條件以及充要條件，進(jìn)而給出一個(gè)判定二元函數(shù)可微性的流程圖，清晰地展示了二元函數(shù)可微或不可微的判別條件，對(duì)二元函數(shù)可微性的判定做了一個(gè)有益補(bǔ)充.

1 二元函數(shù)可微性的定義

我們先給出二元函數(shù)可微性的定義.

定義1[13，14] 設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在P0（x0，y0）點(diǎn)的某鄰域有定義.若函數(shù)f在P0點(diǎn)的全改變量？駐z可表為

我們對(duì)此定義給出注解.

不存在或者不等于0的話，那么函數(shù)f在（x0，y0）點(diǎn)不可微.也就是說，如果一個(gè)二元函數(shù)f在（x0，y0）點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，還要想進(jìn)一步判斷其在該點(diǎn)的可微性，我們只要求解極限（1.2）即可.

2 二元函數(shù)可微性的判定

利用定義判定一個(gè)函數(shù)的可微性固然重要，但是需要求極限（1.2），有時(shí)候，求極限（1.2）不是件容易的事情.本節(jié)從可微性的定義出發(fā)，討論分析其它的可微性的判定方法.首先，我們討論函數(shù)可微性和連續(xù)性的關(guān)系.由定義1，函數(shù)的可微性顯然可以推得其連續(xù)性.

定理1[13] 若二元函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）可微，則f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）連續(xù).

自然地，一個(gè)二元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，那么它在該點(diǎn)可微嗎？為此，我們給出一個(gè)例子進(jìn)行說明.

不存在，即偏導(dǎo)數(shù)fx（0，0）不存在，由注1知道該函數(shù)在（0，0）點(diǎn)不可微.

由例1知函數(shù)的可微性要比連續(xù)性更強(qiáng)，一個(gè)二元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，并不意味著其在該點(diǎn)可微. 但是，若一個(gè)二元函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，那么它在該點(diǎn)一定不可微，即連續(xù)性是可微性的一個(gè)必要條件.例1是因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)不存在而導(dǎo)致其不可微，那么是不是一個(gè)二元函數(shù)在某點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在就一定能說明其在該點(diǎn)處可微呢？我們?cè)倏匆粋€(gè)例子.

由例2看到，一個(gè)二元函數(shù)在某點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在并不能完全保證函數(shù)在該點(diǎn)的可微性. 既然可微性要求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都要存在，那么我們?cè)诖嘶A(chǔ)上能否加強(qiáng)，使得函數(shù)能夠可微呢？

定理2[13，14] 若二元函數(shù)f（x，y）在P0（x0，y0）點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，且fx（x，y），fy（x，y）在P0（x0，y0）點(diǎn)連續(xù)，則f（x，y）在P0（x0，y0）點(diǎn)可微.

相比較求解極限（1.2），定理2的條件的驗(yàn)證較容易. 該定理可以推廣到某個(gè)區(qū)域上處處可微性的判斷，我們只要判斷函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的在某個(gè)區(qū)域上的存在性和連續(xù)性即可.

定理3 若二元函數(shù)f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù)，且fx（x，y），fy（x，y）在D內(nèi)處處連續(xù)，則f（x，y）在D內(nèi)處處可微.

注3 定理3在判斷一個(gè)復(fù)變函數(shù)是否為解析函數(shù)時(shí)很重要，關(guān)于解析函數(shù)的概念參見文獻(xiàn)[15].

例3 考察函數(shù)f（x，y）=exsiny在平面R2上的可微性.

在平面R2上處處連續(xù)，所以函數(shù)f（x，y）=exsiny在平面R2上處處可微.

然而，定理2的條件能否減弱呢？假如一個(gè)二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)有一個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)，另外一個(gè)在該點(diǎn)不連續(xù)，能否判斷這個(gè)二元函數(shù)在該點(diǎn)可微呢？我們給出另外一個(gè)例子.

通過例4，我們看到定理2的條件可以減弱，為此，我們給出如下的定理.

定理4 若二元函數(shù)f（x，y）在P0（x0，y0）點(diǎn)的某鄰域O（P0）內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y）和fy（x，y），且二者中至少有一個(gè)在P0（x0，y0）點(diǎn)連續(xù)，則f（x，y）在P0（x0，y0）點(diǎn)可微.

一個(gè)自然的問題是，一個(gè)二元函數(shù)的某個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是判斷該函數(shù)可微性的必要條件嗎？我們看如下的例子.

的偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在（0，）點(diǎn)不連續(xù)，而該函數(shù)在（0，0）點(diǎn)可微.

通過例5我們看到，定理2僅僅給出了一個(gè)判斷函數(shù)在某點(diǎn)可微的充分條件，而不是必要條件.不僅如此，一個(gè)二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都不連續(xù)，但這個(gè)函數(shù)也有可能在該點(diǎn)可微. 然而，除了定義，有沒有一個(gè)判斷二元函數(shù)在某點(diǎn)可微的充分必要條件呢？文獻(xiàn)[5]基于方向?qū)?shù)，給出如下定理.

基于可微性的幾何意義，文獻(xiàn)[14]給出另外一個(gè)判別函數(shù)可微性的充要條件.

定理6[14] 二元函數(shù)f（x，y）在P0（x0，y0）點(diǎn)可微的充要條件是：曲面z=f（x，y）在點(diǎn)P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z軸的切平面.

綜上，我們給出一個(gè)判定二元函數(shù)可微性的流程圖.

最后，關(guān)于函數(shù)的可微性，我們給出幾點(diǎn)說明.

（1）二元函數(shù)可微性的情況可以推廣到多元函數(shù)的情形，參見文獻(xiàn)[16，17].

（2）二元函數(shù)可微性在判斷某個(gè)復(fù)變函數(shù)是否為解析函數(shù)時(shí)顯得尤為重要，關(guān)于這方面的討論參見文獻(xiàn)[15，18-20].

（3）可以進(jìn)一步討論二元函數(shù)一致可微性的概念，參見文獻(xiàn)[21].

3 結(jié)論

本文是對(duì)二元函數(shù)可微性這一知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐而形成的總結(jié)，主要通過設(shè)置問題和典型例題入手層層引領(lǐng)學(xué)生提高對(duì)二元函數(shù)可微性的認(rèn)識(shí)、理解和掌握.同時(shí)，在對(duì)已有二元函數(shù)可微性判定條件的基礎(chǔ)上，討論并分析了判定二元函數(shù)可微性的充分或必要條件，進(jìn)而給出一個(gè)判定二元函數(shù)可微性的流程圖，清晰地展示了二元函數(shù)可微或不可微的判別條件.

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