伏安法測(cè)電阻的誤差分析

熊楊爽 茍熹

【摘? 要】安培表與伏特表內(nèi)阻的存在，使得伏安法測(cè)電阻無(wú)論選擇內(nèi)接法還是外接法，測(cè)量結(jié)果都會(huì)存在誤差。理論分析兩種電路誤差來(lái)源，根據(jù)誤差來(lái)源，因相對(duì)誤差更能反映測(cè)量的可信程度，結(jié)合相對(duì)誤差推倒出兩種測(cè)量方法的選擇依據(jù)。文章旨在引導(dǎo)學(xué)生分析內(nèi)接與外接兩種電路系統(tǒng)誤差的來(lái)源，結(jié)合相對(duì)誤差定義進(jìn)行分析，并根據(jù)被測(cè)電阻來(lái)選擇合適的電路進(jìn)行測(cè)量，得到較準(zhǔn)確的測(cè)量值。

【關(guān)鍵詞】外接法、內(nèi)接法、的比較

伏安法測(cè)電阻有安培表內(nèi)接和安培表外接兩種連接電路，如圖1和圖2所示。電壓表的電阻雖然非常大，但電壓表接入電路，并不是嚴(yán)格意義上的斷路，實(shí)際上有微弱的電流通過電壓表，這就是電壓表的分流作用;電流表的電阻很小，但它接入電路后也不是一段嚴(yán)格意義的導(dǎo)線，電流表兩端也有電壓，這就是電流表的分壓作用。正是由于電壓表的分流、電流表的分壓，導(dǎo)致伏安法測(cè)電阻時(shí)，無(wú)論采取哪種連接電路，都不可避免的會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。

在圖1所示的外接法測(cè)電阻的電路中，電壓表V有分流作用，設(shè)流過電壓表的電流為，流流過安培表的電流為，過的電流，與不相等，有：，（1）

電壓表所測(cè)電壓即為兩端的電壓，即：（2）

由歐姆定律有：（3），解（1）（2）（3）

有（4）

（4）式表明，安培表外接測(cè)電阻時(shí)測(cè)得的是電阻與電壓表的電阻兩者的并聯(lián)值，即：（5）

其測(cè)量的絕對(duì)誤差：（6）

我們用絕對(duì)誤差與測(cè)量值的比值來(lái)計(jì)算相對(duì)誤差，

有：（7）

（7）式表明，用安培表外接法測(cè)電阻時(shí)，在電壓表電阻一定的情況下，所測(cè)電阻越大，測(cè)量的相對(duì)誤差越大。

在圖2所示的內(nèi)接法測(cè)電阻的電路中，流過安培表A的電流與流過的電流是相等的，即：（8）

由于安培表A有微小電阻，安培表兩端有電壓，使得電壓表測(cè)得的電壓與兩端的電壓不相等，即：（9）

由歐姆定律：，

有：（10）

（10）式表明，安培表內(nèi)接測(cè)電阻時(shí)，測(cè)得的電阻是電阻與安培表的電阻的串聯(lián)值，

其測(cè)量的絕對(duì)誤差：（11）

我們用測(cè)量的絕對(duì)誤差與電阻的真實(shí)值的比值（注：兩種電路求相對(duì)誤差的方法略有不同，前者是絕對(duì)誤差與測(cè)量值的比值，此處是用絕對(duì)誤差與真實(shí)值的比值，這樣做的的好處是便于比較。）來(lái)計(jì)算相對(duì)誤差

有：（12）

（12）式表明，用安培表內(nèi)接測(cè)電阻時(shí)，在所用安培表內(nèi)阻一定時(shí)，所測(cè)電阻越小，測(cè)量的相誤差越大。

當(dāng)兩種測(cè)量電路測(cè)得的相對(duì)誤差與相等時(shí)，由（7）、（12）

有：（13）即：（14）

（14）式表明，當(dāng)時(shí)兩種測(cè)量電路測(cè)電阻時(shí)，測(cè)量的相對(duì)誤差相同。

由此，用伏安法測(cè)電阻時(shí)往往把測(cè)電阻的粗略值與先進(jìn)行比較，做為選擇測(cè)量電路的依據(jù)：若則認(rèn)為為大電阻，一般采用安培表內(nèi)接法，，若則認(rèn)為為小電阻，一般采用安培表外接法。

在用伏安法測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的實(shí)驗(yàn)中，由閉合電路的歐姆定律：，可得：（15）（注：當(dāng)電壓表示數(shù)增大時(shí)，安培表的示數(shù)減小，即當(dāng)即時(shí)、，的負(fù)值才是電源的內(nèi)電阻）。

采用安培表外接的測(cè)量電路如圖3所示，電壓表測(cè)得的是電源兩端的路端電壓，

即：（16），

由于電壓表的分流作用，電流表的測(cè)量值小于流過電源的電流，即：（17）

解（15）（16）（17）得：（18）

即：（19）

（注：電壓表測(cè)量的電壓與流過電壓表的電流是同步變化的，即當(dāng)時(shí)，，故，后面討論到安培表時(shí)也是如此）

（19）式表明在用伏安法測(cè)電源的內(nèi)阻時(shí)，采用安培表外接，測(cè)得的是電源內(nèi)電阻和電壓表電阻的并聯(lián)值。由（7）式可知，當(dāng)電源內(nèi)阻越小時(shí)，測(cè)量的相對(duì)誤差越小。

如采用如圖4所示安培表內(nèi)接測(cè)電源的內(nèi)電阻，其流過安培表的電流與流過電源的電流相等，即：（20）

但由于安培表的分壓作用，電壓表測(cè)得的電壓小于電源的路端電壓，

即：（21）

解（15）（20）（21）得：（22）

（22）式表明在用伏安法測(cè)電源的內(nèi)阻時(shí)，采用安培表內(nèi)接時(shí)，測(cè)得的是電源內(nèi)阻和安培表電阻的串聯(lián)值。由（12）式可知，當(dāng)安培表電阻一定時(shí)，電源的內(nèi)阻越大，測(cè)量的相對(duì)誤差越小。

高中《物理選修3-1》第70頁(yè)，“測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”一節(jié)，之所以采用安培表外接（課本圖2.10-1）來(lái)測(cè)量，正是因?yàn)殡姵兀ㄟ@里的電池指的是干電池）的內(nèi)阻很小，測(cè)量的相對(duì)誤差較小。如果是測(cè)一個(gè)內(nèi)阻較大的電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，采用安培表內(nèi)接更為合理。

結(jié)束語(yǔ)

伏安法測(cè)電阻無(wú)論內(nèi)接還是外接，測(cè)量值與真實(shí)值之間都會(huì)有誤差，如何選擇電路一般根據(jù)相對(duì)誤差大小而定，讓學(xué)生知道相對(duì)誤差的概念并根據(jù)相對(duì)誤差的大小來(lái)選擇測(cè)量電路，借此可以提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。在教學(xué)中滲透相對(duì)誤差的思想并學(xué)會(huì)計(jì)算相對(duì)誤差，也能培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]崔勇.對(duì)伏安法測(cè)電阻中電流表內(nèi)接外接法的探討[J].物理通 報(bào)，2016，10：85-88.

[2}《物理實(shí)驗(yàn)》（高等學(xué)校教學(xué)用書）李長(zhǎng)江主編