百花齊放,各顯其艷—如何在課堂中訓(xùn)練學(xué)生的思維

福建莆田四中數(shù)學(xué)組(351100)黃雄林

百花齊放,各顯其艷—如何在課堂中訓(xùn)練學(xué)生的思維

福建莆田四中數(shù)學(xué)組(351100)黃雄林

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一,如何打破傳統(tǒng)課堂教學(xué)陳規(guī),在數(shù)學(xué)課堂上發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,在教師的組織下通過學(xué)生的自主探究,將課堂中的思維空間讓給學(xué)生,是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂變革的新特點.下面通過我的一節(jié)思維活動課來談?wù)勅绾卧谡n堂上訓(xùn)練學(xué)生的思維.

(一)立足基礎(chǔ)、全員參與

課堂教學(xué)是面對班級全體學(xué)生的教學(xué),而不是部分學(xué)生、個別同學(xué)的教學(xué),因此要讓每個學(xué)生都有參與思維的機會,激發(fā)每一個學(xué)生的思維是我們教學(xué)的前提.這就要求我們在備課時就應(yīng)立足基礎(chǔ),面向全體學(xué)生.本節(jié)課我以教材的一道課后習(xí)題為引例,展開了學(xué)生的思維訓(xùn)練.

例1.寫出過點A(?5,3),并且和曲線xy=1相切的兩條直線方程.(湘教《數(shù)學(xué)》選修2-2 P17)

我先讓學(xué)生思考片刻,并通過分組討論、合作交流,然后各組選派1名同學(xué)上來板演.發(fā)現(xiàn)了兩種不同的求解方法:

【方法1】解:由數(shù)形結(jié)合知過A(?5,3)的曲線xy=1的切線斜率存在,設(shè)切線斜率為k,方程為y?3=k(x+5).由

消去4y得:x[k(x+5)+3]?1=0,整理得

因為直線與曲線相切,故

整理得

學(xué)生們從不同的思維角度解決了求過某點的曲線的切線方程.有效地防止了思維定勢的發(fā)生.方法1使用直線與二次曲線關(guān)系中求曲線的切線的“?”法;方法2利用了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,通過求導(dǎo)的辦法來解決問題.這兩種方法都是高中數(shù)學(xué)的基本方法,涉及到的都是基礎(chǔ)知識,學(xué)生易于接受且都能應(yīng)用.同時也讓大家都能感覺到動手實踐,合作交流的樂趣,同學(xué)們體驗到了成功的喜悅.

(二)趁勝追擊,繼續(xù)前進(jìn)

趁著大家在感受成功喜悅,我展開了本節(jié)課的創(chuàng)造性思維活動,來引領(lǐng)大家發(fā)現(xiàn)、提出問題展開思維空間.于是,我開始提出問題:“上例求出的兩條切線方程和 y=?x?2,它們與兩坐標(biāo)軸圍成的面積分別是多少?”通過一分鐘多的運算、求解,大家得到了相同的結(jié)論:兩切線與坐標(biāo)軸圍成的面積均為2平方單位.

“是不是過曲線xy=1上每個點的的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積都是2平方單位?”帶著疑問的表情,和著同學(xué)們的好奇心,激起了大家的探究熱情.

圖1

得到了統(tǒng)一的結(jié)果:曲線xy=1上任一點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積均為定值2平方單位.原來數(shù)學(xué)中蘊藏著這么多的奧秘,同學(xué)們真是興奮不已.同時,這節(jié)課同學(xué)們的思維也已進(jìn)入了高潮,我感覺火候已到,開始了本節(jié)課的探究活動.

(三)抓住時機,適當(dāng)探究

(方法1)設(shè)出曲線的切線方程,利用“?”法求出切線的方程,并證明它與兩漸近性圍成的面積為定值1平方單位.

(方法2)根據(jù)圖形的對稱性,設(shè)(x0,y0)為曲線上第一象限內(nèi)的點,把雙曲線x2?y2=1化為函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,通過求導(dǎo)的方法得到切線方程來解決,也得到了相同的結(jié)論.

但這一次我又發(fā)現(xiàn)了一個意外,有幾個同學(xué)正在激烈的討論著另一種方法,他們是應(yīng)用圓錐形曲線上某點處的切線系方程來證明,其方法過程如下:

(方法3)圖2,設(shè)過曲線x2?y2=1右支上的點M(x0,y0)的切線方程為x0x?y0y=1,與雙曲線的兩漸近性方程為y=x和y=?x相交于A、B兩點,在切線x0x?y0y=1中:令y=0得得直線xx?yy=1與x00軸交點令y=x得x0x?y0x=1,x

圖2

為定值.當(dāng)點(x0,y0)為雙曲線左支上的點時同理可證得.

原來他們使用了圓錐曲線上某點處的切線系方程的結(jié)論:過雙曲線上的點(x0,y0)的切線方程為簡潔的思維方法,簡練的解題過程令同學(xué)們觀為嘆止,興奮不已.我也得到了意外的收獲.

為了把思維延伸到課外,我給他們布置了兩道探究性思考題:

1.已知頂點為原點O,焦點在x軸上的拋物線y2=16x,過拋物線上一動點M作拋物線切線l,又MN⊥l且交拋物線于另一點N,ME(E在M的右側(cè))平行于x軸,若∠FMN=λ∠NME,求λ的值.(答案:λ=1.思維目標(biāo):旨在引導(dǎo)學(xué)生理解運用曲線的點A(x0,y0))處的切線方程為:以及曲線y2=2px上,點 B(x0,y0)處的切線方程為:y0y=p(x0+x)).

這一節(jié)課引用了在曲線上某點處的切線方程的求法,以及曲線上動點處的切線與兩定直線圍成三角形面積的定值問題等知識點,通過了合作討論,自主探究等教學(xué)方法,全面有效地訓(xùn)練了同學(xué)們的思維,也讓所有的同學(xué)都能在這一節(jié)課中得到收獲.同時我依據(jù)學(xué)生已有的知識背景和活動經(jīng)驗,提供學(xué)生更多的操作、思考和交流的機會,使學(xué)生通過自己探索與合作交流形成了新的知識.課堂上充分利用創(chuàng)設(shè)“問題”的教學(xué)方法,結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,提出問題,拓展學(xué)生的思維空間,發(fā)揮學(xué)生“自主學(xué)習(xí),合作探究”的學(xué)習(xí)主動性.通過師生互動,面向全體,引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)了學(xué)生的求知欲,使學(xué)生在愉快和諧的交流中滿懷激情地學(xué)習(xí).