滲透化歸，數(shù)形結(jié)合，落實數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

黃榮

在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂（2017版）中指出：數(shù)學(xué)抽象是通過數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。本文主要從“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計上，闡述如何讓學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，提升他們的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”是人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)5（必修）》第三章不等式的第3節(jié)二元一次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃問題，第1課時內(nèi)容，其相關(guān)概念是將一元一次不等式抽象出幾何背景，再以幾何直觀推理的方法解決二元一次不等式的解集問題，它是線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)和前提，為后面尋求線性規(guī)劃“最優(yōu)解”奠定了基礎(chǔ)。

一、教學(xué)設(shè)計及課堂實錄

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入新知

數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，讓學(xué)生從生活中的具體實例入手，由文字語言轉(zhuǎn)化到符號語言，建立起二元一次不等式的概念，使學(xué)生經(jīng)歷、體驗從實際問題中得到二元一次不等式（組）這一數(shù)學(xué)模型的抽象過程，讓學(xué)生從已知到對未知的沖突，從而引出本節(jié)課要研究的對象。例：某高中食堂主要以面食和米食為主，面食和米食中的蛋白質(zhì)和淀粉含量如下表所示。學(xué)校要求食堂給學(xué)生配置成盒飯，每盒至少有8個單位的蛋白質(zhì)和12個單位的淀粉，請問食堂應(yīng)該如何調(diào)配面食和米食分量呢？

設(shè)每份盒飯中面食為[x]百克，米食為[y]百克。

（得出二元一次不等式（組）的概念）

教師：如何求二元一次不等式（組）的解（集）？如果將有序?qū)崝?shù)對看做點坐標(biāo)，那么二元一次不等式（組）的解（集）又表示什么圖形？

（二）類比舊知，由數(shù)抽象出形

二元一次不等式表示什么樣的平面區(qū)域？這是一個比較抽象的問題，學(xué)生需要通過已經(jīng)學(xué)習(xí)過的、熟悉的知識進(jìn)行類比、對接。這時，教師把知識建構(gòu)的主動權(quán)交還學(xué)生，設(shè)置好梯度，以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生自已探究完成，整個過程循序漸進(jìn)，由具體一元一次到二元一次，由特殊點轉(zhuǎn)化到形，借助幾何畫板直觀形象展示，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生在探究中完成由數(shù)到形自然抽象過程.

教師：一元一次不等式的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)間，那么二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形呢？

具體實例：在數(shù)軸上畫出一元一次不等式x+3>0的解集。

教師：那么，二元一次不等式又表示什么樣的圖形呢？

探究具體實例：二元一次不等式2x+y-6<0的解集表示什么圖形。

學(xué)生探究活動一：

①設(shè)點P（x，y0）是直線2x+y-6=0上的點，求出相應(yīng)的y0;

②在①的基礎(chǔ)上，橫坐標(biāo)不變，選取適當(dāng)?shù)膟1使得A1（x，y1）滿足2x+y1-6<0;

③在②的基礎(chǔ)上，取x=-2，選取適當(dāng)?shù)膟i，使得Ai（x，yi）滿足2x+yi-6<0;

④將點A描繪到坐標(biāo)系中。

學(xué)生思考：①當(dāng)點A與點P有相同的橫坐標(biāo)時，從數(shù)來看，它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？

②從形來看，點A與直線有什么位置關(guān)系？

學(xué)生：那么是不是可以畫更多的點來驗證，滿足2x+y-6=0的點都在直線的左下方呢？

教師：這個可以通過幾何畫板隨意取點，觀察坐標(biāo)實現(xiàn)。（請學(xué)生操作幾何畫板，同學(xué)們一起觀察數(shù)與形的關(guān)系。）

學(xué)生探究活動二（分組探究）：證明直線2x+y-6=0左下方所有的點的坐標(biāo)都滿足2x+y-6<0。

學(xué)生：（通過探究活動一的啟發(fā)，經(jīng)過小組探究）將問題具體化，取直線2x+y-6=0左下方的任取一點A（x1，y1），過點A（x1，y1）做x軸垂線與直線2x+y-6=0相交于點P（x1，y），這時后橫坐標(biāo)同為x1，由圖形觀察y1與y的大小即可得到結(jié)論。

教師：（完善證明過程），通過幾何畫板展示直線2x+y-6=0左下方任一點的運動軌跡，從而完善思維，實現(xiàn)由數(shù)向形的完全轉(zhuǎn)化。

（三）由特殊到一般，生成概念

學(xué)生通過分析實際生活背景實現(xiàn)了由文字語言到數(shù)學(xué)符號的第一次抽象，再從兩個探究活動中，通過觀察——實踐——猜想——驗證，搭建了由感性思維到理性思維的橋梁，從事物的具體數(shù)學(xué)符號中抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，從而完成了第二次數(shù)學(xué)抽象過程。那么接下來將引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般抽象歸納出一般二元一次不等式的解與平面區(qū)域的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)，使二元一次不等式的解與平面區(qū)域的對應(yīng)關(guān)系的理論體系更加完備的同時提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)。

教師：通過以上的證明，我們可以對一般的二元一次不等式有什么認(rèn)知呢？

（學(xué)生討論）判斷表示平面區(qū)域的方法：直線定界，特殊點定域。

（四）概念的深化與應(yīng)用

教師：請同學(xué)們利用二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的知識，解決最初的生活問題，畫出相應(yīng)不等式表示的平面區(qū)域。

在此環(huán)節(jié)，學(xué)生在學(xué)案上做圖，利用希沃教學(xué)軟件及時對練習(xí)錯漏之處進(jìn)行互評和訂正。重點在于規(guī)范學(xué)生思維的有序性和解題表述的條理性。

二、教學(xué)啟示

（一）教學(xué)設(shè)計的立意

本案例教學(xué)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)不等式、直線方程后學(xué)習(xí)，它既是這兩部分內(nèi)容的延伸和交匯，又是圖解法解決線性規(guī)劃的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。舊教材將它安排在直線方程后學(xué)習(xí)，體現(xiàn)的是它與方程的聯(lián)系，而新教材將它與不等式的知識結(jié)合在一起，整章知識凸顯的是通過數(shù)學(xué)的直觀性進(jìn)行學(xué)習(xí)，將重要的不等關(guān)系都給出了相應(yīng)的幾何背景，從而弱化了以邏輯性推導(dǎo)為主的傳統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式的方式;在課堂教學(xué)中，緊抓概念的生成這一環(huán)節(jié)，在由二元一次不等式抽象出平面區(qū)域的過程中滲透化歸、數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想，不僅訓(xùn)練了學(xué)生計算、做圖的基本能力和學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，還有效提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維這一核心素養(yǎng)。

（二）多媒體輔助教學(xué)的優(yōu)勢

概念教學(xué)首要注重概念的生成這一重要環(huán)節(jié)，但是本學(xué)段的學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想還不夠完善，識圖、畫圖能力欠缺，對平面點集與圖象的對應(yīng)關(guān)系理解不深，因此在本案例中，如果沒有具體、形象的感知，概念很難從直觀材料或者現(xiàn)實背景中抽象出來。為了幫助學(xué)生完成思維的轉(zhuǎn)化，本案例多次使用了多媒體輔助教學(xué)。例如：在探究一活動中，利用幾何畫板取滿足不等式2x+y-6<0的點Ai群，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)點Ai群都在直線2x+y-6=0的左下方時，會有學(xué)生提出疑惑，一些特殊的點能否就代表全部滿足2x+y-6<0的點都在相應(yīng)直線左下方？這時再用幾何畫板取任意點，讓學(xué)生取移動、去觀察，就能在形象的基礎(chǔ)上讓學(xué)生得到結(jié)論，為下一步的證明打下基礎(chǔ)。探究活動二的證明是本節(jié)課的一個難點，學(xué)生必須在活動一的基礎(chǔ)上通過圖形去感知和分析，證明出來后，教師再利用幾何畫板播放，直線兩個區(qū)域點自由運動時所滿足的不等式，那么二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的這么一個抽象的數(shù)學(xué)概念就在形象生動的教學(xué)環(huán)境之下自然生成了。概念課教學(xué)是高中數(shù)學(xué)最重要的一部分，也是較為抽象的一部分，本文僅以“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”為例，淺談了對數(shù)學(xué)概念教學(xué)和培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的一點認(rèn)識，希望能起到拋磚引玉的作用。

（責(zé)任編輯? 林 娟）