變系數(shù)非線性薛定諤方程的精確行波解

摘 要：本文研究了非線性光學(xué)中的變系數(shù)非線性薛定諤方程。基于行波變換和改進(jìn)的

G′G-展開方法， 成功得到變系數(shù)非線性薛定諤方程的精確行波解， 包括亮暗孤子解， 三角函數(shù)周期解， 雙曲函數(shù)解和有理函數(shù)解。

關(guān)鍵詞：非線性薛定諤方程;行波解;改進(jìn)的 G′G-展開法

中圖分類號(hào)：O175.29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

非線性發(fā)展方程通常用來描述自然科學(xué)領(lǐng)域中出現(xiàn)的非線性現(xiàn)象，而構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解是研究這些非線性現(xiàn)象的一個(gè)重要課題之一。在過去的幾十年，許多專家學(xué)者提出了一系列行之有效的求解精確行波解的方法，例如齊次平衡法[1]， Painleve截尾展開法[2]， Hirota雙線性方法[3]， sine￣cosine函數(shù)方法[4]， 雙曲函數(shù)法[5]， 試探函數(shù)法[6]， Jacobi橢圓函數(shù)展開法[7]以及F-展開法[8]， 對(duì)稱約化法[9-10]等。利用以上這些方法成功獲得了非線性發(fā)展方程豐富的精確行波解。

王明亮等[11]提出了一種新方法稱為G′G-展開方法，并說明這種方法是求解非線性發(fā)展方程的一種有效方法。 G′G-展開方法的關(guān)鍵在于非線性發(fā)展方程的精確解能表示成關(guān)于G′G的多項(xiàng)式形式，這里G=G（ξ）滿足一個(gè)二階線性常微分方程。隨后，利用各種改進(jìn)的 G′G-展開方法， 許多學(xué)者獲得了一大批非線性發(fā)展方程的精確解[12-14]。隨后， Malik 等 [15]基于一個(gè)新的假設(shè)提出了改進(jìn)的G′G-展開方法，用來求解了 Bogoyavlenskii 方程并得到了許多精確解，以此來說明這種方法的有效性。

本文中，我們利用改進(jìn)的G′G-展開方法構(gòu)造下列廣義變系數(shù)非線性薛定諤方程的行波解[16]

3 總結(jié)

本文中，利用推廣的G′G-展開方法構(gòu)造了變系數(shù)非線性薛定諤方程的精確解。該方法的關(guān)鍵在于把變系數(shù)非線性發(fā)展方程轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程。再借助于輔助方程的解，在一定的限制條件下，獲得了變系數(shù)非線性薛定諤方程的精確行波解，包括了三角函數(shù)周期解，雙曲函數(shù)解和有理函數(shù)解。特別地，當(dāng)參數(shù)取一些具體的值，得到了亮孤子解，暗孤子解和復(fù)合孤子解。這些結(jié)果或許有助于解釋非線性光學(xué)中的一些實(shí)際問題。本文表明：推廣的G′G-展開方法和適當(dāng)?shù)淖儞Q的結(jié)合提供了尋找變系數(shù)非線性發(fā)展方程精確解的強(qiáng)有力的工具，而且這種方法能求解數(shù)學(xué)物理中其他的變系數(shù)非線性發(fā)展方程。

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（責(zé)任編輯：周曉南）