六參數(shù)粘彈性阻尼耗能減震系統(tǒng)非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析的精細(xì)積分法

李創(chuàng)第 昌明靜 柏大煉 王博文

摘? ? 要：針對(duì)六參數(shù)粘彈性耗能減震系統(tǒng)，結(jié)合虛擬激勵(lì)法，給出了非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析的精細(xì)分析法.對(duì)于設(shè)置的支撐六參數(shù)粘彈性阻尼耗能系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，首先，采用高效的虛擬激勵(lì)法，將非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)化為確定性荷載;然后，利用擴(kuò)階法，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程;最后，給出了響應(yīng)的精細(xì)積分解析解.并通過算例驗(yàn)證本文方法的精確性與實(shí)用性，為該方法推廣應(yīng)用于復(fù)雜大型結(jié)構(gòu)的耗能減震工程提供新途徑.

關(guān)鍵詞：六參數(shù)粘彈性;精細(xì)積分法;虛擬激勵(lì)法;耗能減震系統(tǒng);非平穩(wěn)地震響應(yīng)

中圖分類號(hào)：TU311.3? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.04.003

0? ? 引言

粘彈性阻尼裝置控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)是一種有效且廣泛使用的被動(dòng)控制方法，其模型主要有Maxwell模型、Kelvin模型、六參數(shù)模型等[1-3].其中，六參數(shù)模型計(jì)算參數(shù)便于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，具有通用性和工程實(shí)用性的特點(diǎn)，是一種實(shí)用的粘彈性阻尼器減震模型[4-6].為此，對(duì)該模型的耗能減震系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行深入分析，具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義.

在工程中，應(yīng)用較多的是Priestley[7]提出的受演變隨機(jī)激勵(lì)非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析.針對(duì)此響應(yīng)分析，傳統(tǒng)分析方法有CQC計(jì)算格式[8]和SRSS近似格式[9].但因這兩種方法計(jì)算公式復(fù)雜，計(jì)算過程繁瑣且成本巨大，計(jì)算效率難以在工程上廣泛應(yīng)用.林家浩等[10]提出的虛擬激勵(lì)法，將隨機(jī)激勵(lì)化為確定性荷載，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間且結(jié)果依然相同，改善了傳統(tǒng)方法的限制.虛擬激勵(lì)法的提出解決了很多工程中重要而困難的問題，如大跨橋梁結(jié)構(gòu)、風(fēng)工程、車輛工程以及國(guó)防工程等領(lǐng)域，在國(guó)際上有較高的影響力[11].

在計(jì)算時(shí)程積分時(shí)，一般用Newmark，Wilson-θ等方法求解，但是這兩種方法都存在耗時(shí)較長(zhǎng)，精度有限等問題.鐘萬勰[12]提出的精細(xì)積分法，在積分步長(zhǎng)不受結(jié)構(gòu)自振特性制約的情況下，總能算出計(jì)算機(jī)精度范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)響應(yīng).該方法目前已被廣泛地應(yīng)用于熱傳導(dǎo)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、偏微分方程的求解等眾多領(lǐng)域[13-14];精細(xì)積分方法與虛擬激勵(lì)法結(jié)合，已經(jīng)成功解決了無阻尼結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析[15-16]，但至今尚未應(yīng)用于粘彈性阻尼耗能減震結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)響應(yīng)分析和阻尼系統(tǒng)抗震動(dòng)力可靠度分析.

對(duì)于耗能減震系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，本文利用虛擬激勵(lì)法，將非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)化為確定性荷載，利用擴(kuò)階法得出系統(tǒng)狀態(tài)方程，并算出了響應(yīng)的精細(xì)積分解析解.最終得出一套關(guān)于非平穩(wěn)地震激勵(lì)下，六參數(shù)阻尼耗能減震系統(tǒng)簡(jiǎn)明直觀的精細(xì)算法.

1? ? 阻尼器本構(gòu)關(guān)系及系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

六參數(shù)粘彈性阻尼器模型如圖1所示，該粘彈性阻尼器本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式為[4]：

[PQ（t）=k0xQ+c0xQ+P1（t） +P2（t） ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

[P1+μ1P1=k1xQ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

[P2+μ2P2=k2xQ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

式中，[k0]為阻尼器的平衡剛度;[Pi（i=1，2）]表示六參數(shù)粘彈性阻尼器中兩支Maxwell阻尼單元的單元阻尼力;[μi=ki/ci（i=1， 2）]，[xQ]為阻尼器位移.

工程實(shí)際中，一般把支撐和阻尼器串聯(lián)，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示.[PQ]、[Pb]和[P]分別表示阻尼器受力、支撐受力和阻尼系統(tǒng)受力，[xb]和[x]分別為支撐和結(jié)構(gòu)的位移，關(guān)系式為：

[P=PQ=Pb=kxb]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

[xb+xQ=x]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

結(jié)構(gòu)在地震作用[f（t）]下的及運(yùn)動(dòng)方程為：

[mx+cx+kx+P=f（t）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?   ? ? ? ? ? ? （6）

2? ? 六參數(shù)粘彈性阻尼減震系統(tǒng)響應(yīng)分析

2.1? ?非平穩(wěn)地震響應(yīng)的虛擬激勵(lì)法

實(shí)際地震中，地震發(fā)生的隨機(jī)振動(dòng)過程，一般視為非平穩(wěn)隨機(jī)過程，非平穩(wěn)隨機(jī)過程不是各態(tài)歷經(jīng)的，其各種統(tǒng)計(jì)信息隨時(shí)間變化而變化.地震動(dòng)過程通常包含兩個(gè)非平穩(wěn)過程，一種是強(qiáng)度非平穩(wěn)，另一種是頻率非平穩(wěn)，為考慮這兩種情況的共同影響，通常采用Priestley[7]建議的演變功率譜：

[xg（t）=-∞+∞a（ω，t）eiωtdα（ω）=a（ω，t）xf（t）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

其中，[a（ω，t）]是滿足[a（ω，t）=a*（-ω，t）]的確定性非均勻調(diào)制函數(shù)，*表示共軛，[xg]地震動(dòng)地面加速度，[xf（t）]為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，[i=-1].[α（ω）]滿足下列過程：

[xf（t）=+∞-∞eiωtdα（ω）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

[Edα*（ω1）dα（ω2）=δ（ω1-ω2）Sxf（ω1）dω1dω2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

[Sxf]（ω）為[xf]的功率譜密度函數(shù).常用的有Kanai-Tajimi激勵(lì)譜、Clough-Penizien譜、胡聿賢譜[10]等.

根據(jù)林家浩的虛擬激勵(lì)法理論，如果構(gòu)造非平穩(wěn)虛擬地震激勵(lì)為：

[xg（ω， t）=Sxf（ω）a（ω，t）eiωt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

設(shè)在[xf（ω， t）]產(chǎn)生的響應(yīng)表示為[v（ω， t）]，那么響應(yīng)的自譜密度即可表示為：

[Svv（ω， t）=v*（ω， t）v（ω， t）=I*（ω， t）I（ω， t）Sxf（ω）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

式中，[I（ω， t）=0th（t-τ）a（ω， τ）eiωτdτ].

把非平穩(wěn)虛擬地震激勵(lì)（10） 代入振動(dòng)方程（6）中得：

[mx+cx+kx+P=-mSxf（ω）a（ω， t）eiωt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

2.2? ? 六參數(shù)粘彈性阻尼減震的精細(xì)積分法

對(duì)于上面建立的非平穩(wěn)虛擬激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)模型，引入響應(yīng)變量：

[v（t）=xxxQP1P2T]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

由式（12）結(jié)合恒等式[x=x]和式（1）—式（5），寫入狀態(tài)方程為：

[Bv（t）+Av（t）=F]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

其中，

[B=cmc000m000000c00000-c11000-c201] [，? A=k0k0110-m000-kb0k0+kb11000μ100000μ2]，

[F=-mSxf（ω）a（ω， t）eiωt， 0， 0， 0， 0T]

式（14）可改寫為：

[v=Hv+r]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

式中，

[H=-B-1A ， r=B-1F]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

當(dāng)步長(zhǎng)足夠小，即[t∈（tk， tk+1）]，假定激勵(lì)荷載變化是線性的，有：

[r=r0+r1（t-t0）]? ? ?   ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （17）

式中，[r0]與[r1]是時(shí)不變向量，則方程（15）的解為：

[v（tk+1）=T（τ）[v（tk）+H-1（r0+H-1r1）]-H-1（r0+H-1r1+r1τ）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

式中，[τ=tk+1-tk]為積分步長(zhǎng).上式中出現(xiàn)的矩陣[T（τ）]的計(jì)算，首先將積分步長(zhǎng)[τ]內(nèi)部細(xì)分為[m=2N]等分，即：

[Δt=τ/m=2-Nτ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

一般取[N=20]，于是[Δt≈10-6τ]，[Δt]一般遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)的自振周期.

[T（τ）=（eHΔt）m≈（I+HΔt+（HΔt）2/2！+（HΔt）3/3！+（HΔt）4/4?。﹎=（I+Ta0）m]? ? ? ? ? ? （20）

令：

[I+Tai=（I+Ta，i-1）2=（I+2Ta，i-1+Ta，i-1Ta，i-1） ;i=1，2，…，N]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（21）

得：

[Tai=2Ta，i-1+Ta，i-1Ta，i-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（22）

那么，

[I+TaN=（I+Ta，N-1）2=（I+Ta，N-2）4=…=（I+Ta0）m=T（τ）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （23）

計(jì)算得到[Ta1 ， Ta2 ， …， TaN]，進(jìn)而得到[Τ（τ）]，即可由式（18）得到各響應(yīng)的解析解.

以上[T（τ）]的推導(dǎo)過程均為精確推導(dǎo)，可以看出只有一處近似，即式（20）的計(jì)算過程中忽略了[Δt5]及更高階的項(xiàng)，其數(shù)量級(jí)已經(jīng)超過[10-30O（τ5）]，遠(yuǎn)超過使用計(jì)算機(jī)的精度范圍.該方法過程簡(jiǎn)明易于理解且計(jì)算較精確.

綜上步驟，六參數(shù)粘彈性耗能減震系統(tǒng)的位移[x（ω， t）]、速度[x（ω， t）]和阻尼器位移[xQ（ω， t）]即：

[x（ω， t）=v（1）]? ? ?   ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （24）

[x（ω， t）=v（2）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）

[xQ（ω， t）=v（3）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; ? ? ? ? ? ? ? ? ?（26）

支撐位移[xb（ω， t）]：

[xb（ω， t）=x（ω， t）-xQ（ω， t）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（27）

[P（ω， t）=kbxb（ω， t）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （28）

阻尼力[P（ω， t）]可由式（28）得到，也可根據(jù)式（1）得到.

[P（ω， t）=kbxb（ω， t）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（29）

阻尼力速度[P（ω， t）]可根據(jù)對(duì)應(yīng)的阻尼力求導(dǎo)，也可由式（29）得到.

阻尼器速度和支撐速度可根據(jù)對(duì)應(yīng)的位移求導(dǎo)得到.響應(yīng)的方差由式（18）得：

[σ2v（t）=-∞+∞Svv（ω）dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（30）

3? ? 算例

某單自由度帶支撐的六參數(shù)粘彈性阻尼耗能減震系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量[m=38 600 kg]，結(jié)構(gòu)剛度? ? ? ? ? ? ? [k=146.01×105 N/m]，阻尼比[s0]=0.04;阻尼器的平衡剛度[k0=0.36×105 N/m]，阻尼參數(shù)[c0=0.37×105 N?s/m]，兩個(gè)Maxwell分支單元的剛度[k1=42.08×105 N/m]，[k2=6.87×105 N/m]，阻尼? ? [c1=0.83×105 N?s/m]、[c2=2.15×105 N?s/m];支撐剛度[kb=rbk];平穩(wěn)地震動(dòng)[xf（t）]譜密度函數(shù)采用

[Sxf（ω）=ω4g+4ξ2gω2gω2（ωg-ω2）2+4ξ2gω2gω2S0]

[S0]為地震譜強(qiáng)度.[ωg=19 rad/s]，[ξg=0.65]，[S0=0.015 54 m2/s3].

1）經(jīng)典階躍型調(diào)制函數(shù)，[a（t）=1 ].

2）Spanos-Solomos型調(diào)制函數(shù)[16]：

[a（ω，t）=2 ω5π t e-0.5×0.15+ω225π2t].

取5種工況，分別為[rb=0.5，? rb=0.8，? rb=1.5，? rb=10，? rb=∞].計(jì)算中步長(zhǎng)取[τ=0.01 s].

①響應(yīng)方差對(duì)比分析

在上述兩種非平穩(wěn)地震激勵(lì)下，本文方法與傳統(tǒng)方法求出該系統(tǒng)在5種工況下的位移、速度和阻尼力對(duì)比的誤差值如表1所示.

可以看出，本文方法所得響應(yīng)方差誤差較小，無論[rb]取多大值，位移與速度響應(yīng)方差的最大誤差[Δmax≤0.5%]，阻尼力響應(yīng)方差誤差[Δmax]在[1.5%]左右，數(shù)值計(jì)算結(jié)果較為理想，從而驗(yàn)證了本文方法的精確性與可行性.

②結(jié)構(gòu)及各阻尼構(gòu)件的響應(yīng)方差計(jì)算

利用本文方法求出結(jié)構(gòu)位移、速度，阻尼器受力、受力速度，阻尼器位移、速度，支撐位移、速度的響應(yīng)方差，圖像如下，階躍型調(diào)制非平穩(wěn)響應(yīng)圖像如圖3—圖10，Spanos-Solomos型調(diào)制非平穩(wěn)響應(yīng)圖像如圖11—圖18.

以上兩種調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下，對(duì)結(jié)構(gòu)及各減震構(gòu)件響應(yīng)方差的數(shù)值分析可以看出：

1）支撐剛度[kb]對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果影響較大.在5種[kb]的影響下，隨著支撐剛度[kb]的增加，結(jié)構(gòu)的位移（對(duì)應(yīng)圖3、圖11）、速度（對(duì)應(yīng)圖4、圖12），支撐的位移（對(duì)應(yīng)圖9、圖17）、速度（對(duì)應(yīng)圖10、圖18）等響應(yīng)方差均呈現(xiàn)減小趨勢(shì).但是當(dāng)支撐剛度[kb≥10 k]后，結(jié)構(gòu)位移和速度響應(yīng)的減小量不大.即支撐剛度越大，減震效果越好，但是當(dāng)支撐剛度足夠大時(shí)，減震效果改善不明顯且不夠經(jīng)濟(jì).

2）支撐位移和速度響應(yīng)方差，與結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差變化趨勢(shì)保持一致，阻尼器位移和速度響應(yīng)方差，與阻尼器受力響應(yīng)方差變化趨勢(shì)保持一致.支撐剛度[kb]越大時(shí)，阻尼器的位移、速度及阻尼器兩端受力均越大，對(duì)應(yīng)圖5—圖8和圖13—圖16可以看出.阻尼器的位移、速度和兩端受力的大小，必然將影響構(gòu)件的動(dòng)力可靠度及性能.

4? ? 結(jié)論

在六參數(shù)粘彈性阻尼耗能減震系統(tǒng)的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析中，化隨機(jī)激勵(lì)為虛擬激勵(lì)，得出系統(tǒng)的響應(yīng)的精細(xì)積分法響分析法，經(jīng)分析得出如下結(jié)論：

1）本文方法與傳統(tǒng)方法對(duì)比精度較高，驗(yàn)證本文方法的精確性與可行性，說明本文所獲得的非平穩(wěn)響應(yīng)的解析解，對(duì)于六參數(shù)粘彈性耗能減震系統(tǒng)具有較好的工程適用性.

2）本文方法不僅可應(yīng)用于此類耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析，而且可應(yīng)用于各減震構(gòu)件基于泊松過程的抗震動(dòng)力可靠度分析，為虛擬激勵(lì)-精細(xì)積分法開辟了新的應(yīng)用領(lǐng)域.

3）支撐剛度的變化對(duì)結(jié)構(gòu)和各減震構(gòu)件的響應(yīng)有很大影響，該研究對(duì)于系統(tǒng)中減震構(gòu)件參數(shù)的選用具有一定的參考價(jià)值.

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Precise integration method for non-stationary seismic response

analysis of six-parameter viscoelastic energy dissipation system

LI Chuangdi， CHANG Mingjing， BAI Dalian， WANG Bowen

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： For a six-parameter viscoelastic energy dissipation system， a precise analysis method of