基于譜矩的單自由度復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)的等效阻尼分析

李暾 謝海文 李創(chuàng)第 葛新廣

摘? ? 要：復(fù)阻尼模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，但結(jié)構(gòu)動力分析較為復(fù)雜.本文針對單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)基于譜矩相等準(zhǔn)則，即令復(fù)阻尼原始系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的的零階和二階譜矩相等，得到單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的等效頻率和等效阻尼.將等效系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果與原始系統(tǒng)計(jì)算得到的精確解以及由經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行比較，等效系統(tǒng)具有很高的精度.

關(guān)鍵詞：復(fù)阻尼結(jié)構(gòu);譜矩;等效頻率;等效阻尼;單自由度

中圖分類號：TU311.3? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.04.002

0? ? 引言

復(fù)阻尼模型和粘滯阻尼模型是常見的阻尼模型[1-3]，在實(shí)際工程中的應(yīng)用也較為廣泛.對于這些阻尼耗能結(jié)構(gòu)，目前在世界范圍內(nèi)進(jìn)行抗震設(shè)防設(shè)計(jì)基本是基于反應(yīng)譜的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)[4-5].地震動特性和阻尼器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力特性兩者間的關(guān)系是抗震設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵問題，這兩者之間關(guān)系在反應(yīng)譜中都考慮進(jìn)去了，因此要用合理的方法確定結(jié)構(gòu)的等效阻尼.

相比于粘滯阻尼，復(fù)阻尼模型可以比較好的描述阻尼特性[6-8]，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對比，復(fù)阻尼模型也比較相符[9].振幅改變、應(yīng)力等因素對實(shí)際應(yīng)用的材料都有影響，并且材料的能量耗散也與之相關(guān)，相比于其他阻尼模型，復(fù)阻尼模型考慮到了這些的問題.因此，研究復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的地震分析以及其等效阻尼極其具有工程意義.

在對單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)動力特性分析方面，已經(jīng)有對其在頻域和時(shí)域的研究成果[10-13]，通過對比單自由度復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)時(shí)域精確解法與頻域解法之間的情況，分析了在求解過程中一些不恰當(dāng)?shù)淖龇?，以及在進(jìn)行時(shí)域計(jì)算時(shí)實(shí)部與虛部之間的影響.但大都是采用如精細(xì)積分法、Newmark-[β]、平均加速度等方法，尚未解決有關(guān)等效阻尼的算法，因反應(yīng)譜法中需要涉及，本文提供了一種單自由度復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)的等效阻尼算法.

阻尼耗能結(jié)構(gòu)的解析法分為擴(kuò)階法和非擴(kuò)階法.對于Maxwell、廣義Maxwell模型[14-15]，以及分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[16-17]，目前一般采用擴(kuò)階法，此法可以比較快速獲得擴(kuò)階的近似模型從而求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的解析解.但是在應(yīng)用擴(kuò)階法時(shí)，常常因其變量個(gè)數(shù)較多，導(dǎo)致在計(jì)算過程中效率降低.經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法[18-19]和強(qiáng)行振型解耦法[20]屬于非擴(kuò)階法，這兩種方法在計(jì)算過程中采用了比較多的假設(shè)，其適用性和精確性有待提高.

在工程中大量運(yùn)用的阻尼系統(tǒng)，其動力特性都是由其頻率響應(yīng)函數(shù)決定[21].在此基礎(chǔ)上，本文重新構(gòu)造了復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的基本分析方程，根據(jù)其頻率響應(yīng)函數(shù)，基于譜矩相等的等效準(zhǔn)則，即原始系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的頻響函數(shù)的各階譜矩均相等，則兩個(gè)系統(tǒng)完全等效;如果兩個(gè)系統(tǒng)有限階譜矩也相等，則他們近似等效.因此令復(fù)阻尼原始系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的零階和二階譜矩相等，求得單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的近似解析式以及等效阻尼和等效頻率.譜矩相等的準(zhǔn)則在求解Maxwell阻尼器結(jié)構(gòu)也有應(yīng)用[22]，用譜矩法求解的優(yōu)勢在于可以直接通過積分的方法求得其各階譜矩，為在分析其他各種阻尼耗能結(jié)構(gòu)提供一種新思路.

1? ? 復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的譜矩分析

復(fù)阻尼單自由度系統(tǒng)在地震激勵下，其運(yùn)動方程為[10]：

[mx+k（1+iη）x=-mxg]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中，m——質(zhì)量;k——剛度;i——虛數(shù)單位，i=[-1];[η]——耗損因子，且0<[η]<1;[x]——質(zhì)點(diǎn)相對于地面位移;[xg]——地震動地面加速度.

方程（1）可以改寫為：

[x+ω20（1+iη）x=-xg]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

式中，

[ω20=km]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

方程（2）的頻率響應(yīng)函數(shù)為：

[H（iω）=-1（iω）2+ω20（1+iη）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

由隨機(jī)振動結(jié)構(gòu)中的定義，可以得到頻率響應(yīng)函數(shù)[H（iω）]的零階譜矩[I0]和二階譜矩[I2]表達(dá)式分別為：

[I0=-∞+∞ω0H（ω）2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

[I2=-∞+∞ω2H（ω）2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式（5）、式（6）中，[·]表示求模.

將方程（4）代入方程（5）可求得：

[I0=-∞+∞ω0H（ω）2dω=π2ω30η1+1+η21+η2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

同理，將方程（4）代入方程（6）可求得：

[I2=-∞+∞ω2H（ω）2dω=π2ω0η1+η2+1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

2? ? 復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的等效系統(tǒng)

2.1? ?等效系統(tǒng)的譜矩分析

假設(shè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（2）的等效系統(tǒng)為：

[x+2ξeωex+ω2ex=-xg]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

式中，[ωe、ξe]分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)待定的等效頻率和等效阻尼比（式（9）通常的阻尼結(jié)構(gòu)都可以采用該類等效）.

方程（9）的等效系統(tǒng)的位移頻率響應(yīng)函數(shù)[Hxe（iω）]為：

[Hxe（iω）=-1ω2e+2ξeωe（iω）+（iω）2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

由隨機(jī)振動譜矩的耗能結(jié)構(gòu)的位移方程，可以求得等效系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)[Hxe（iω）]的零階譜矩[I0e]和二階譜矩[I2e]解析式分別為：

[I0e=-∞∞ω0Hxe（iω）2dω=π2ξeω3e]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

[I2e=-∞∞ω2Hxe（iω）2dω=π2ξeωe]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

2.2? ?基于譜矩的等效頻率和等效阻尼比

根據(jù)文獻(xiàn)[22]，采用譜矩相等的等效準(zhǔn)則來求復(fù)阻尼的等效頻率和等效阻尼，有：

[I0e=I0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（13）

[I2e=I2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

在基于譜矩相等的等效準(zhǔn)則下，由式（7）、式（8）以及式（11）、式（12）的關(guān)系，可求出復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)的等效頻率和阻尼分別得：

[ω2e=I2eI0e=I2I0=ω201+η2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

[ωe=ω0（1+η2）14]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? &nbsp; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

[2ξeωe=πI2e=πI2=2ω0η（1+η2+1）12]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

[ξe=2η2（1+η2+1）12?（1+η2）14]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

3? ? 近似等效系統(tǒng)的精度分析

將用兩種近似方法所求得的頻率響應(yīng)函數(shù)近似解，即模態(tài)應(yīng)變能法求得的與式（10）和原始方程求得的精確解式（4）進(jìn)行比較，通過對比分析可得到兩種近似方法的計(jì)算精度.

3.1? ?隨機(jī)響應(yīng)方差對比分析

對于單自由度復(fù)阻尼減震結(jié)構(gòu)的原始方程，在譜密度[Sxg（ω）=S0]的作用下，其位移平穩(wěn)響應(yīng)方差為：

[σ2=-∞+∞H（ω）2Sxg（ω）dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

由已經(jīng)求得的頻率響應(yīng)函數(shù)[H（ω）]，可求得原始方程精確解：

[σ2x=πS02ηω301+1+η21+η212]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（20）

同樣由已經(jīng)求得等效方程的頻率響應(yīng)函數(shù)，求得等效方程的解為：

[σ2xe=πS0ηω3e]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

由模態(tài)應(yīng)變能法求得的位移平穩(wěn)響應(yīng)方差的近似解為：

[σ2x1=πS0ηω31]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（22）

3.2&nbsp; ?算例分析

對于在工程實(shí)際中應(yīng)用的阻尼耗能結(jié)構(gòu)，實(shí)際中絕大多數(shù)單自由度基礎(chǔ)固定結(jié)構(gòu)自振頻率范圍為[10 rad/s≤ω0≤30 rad/s].

取下面典型的實(shí)際工程參數(shù)進(jìn)行算例分析.

1）自振頻率[ω0=10 rad/s]，耗損因子[η]（[0<η<1]）分別取0.2、0.4、0.6、0.8，頻率響應(yīng)函數(shù)曲線分別由圖1—圖4表示.

2）自振頻率[ω0=20 rad/s]，耗損因子[η]（[0<η<1]）分別取0.2、0.4、0.6、0.8，頻率響應(yīng)函數(shù)曲線分別由圖5—圖8表示.

3）自振頻率[ω0=30 rad/s]，耗損因子[η]（[0<η<1]）分別取0.2、0.4、0.6、0.8，頻率響應(yīng)函數(shù)曲線分別由圖9—圖12表示.

4）圖13—圖15是當(dāng)[ω0=10、? 20、? 30 rad/s]，標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差曲線圖.

本文方法的標(biāo)注差的相對誤差=[σ2xe-σ2xσ2x]，模態(tài)應(yīng)變能法的標(biāo)注差的相對誤差=[σ2x1-σ2xσ2x].

5）由文獻(xiàn)[23]可知，單自由度復(fù)阻尼用多尺度法求得的標(biāo)準(zhǔn)差為：

[σxa=πS0ηω20ωa]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

式中，

[ωa=22ω0（1+1+2η2）12]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（24）

本文方法的標(biāo)注差的相對誤差=[σ2xe-σ2xσ2x]，多尺度法的標(biāo)注差的相對誤差=[σ2xa-σ2xσ2x].

結(jié)構(gòu)圖16—圖18是當(dāng)[ω0=10、20、30 rad/s]，標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差曲線圖.

對于大部分在實(shí)際工程中，[ω0]從10 ～30 rad/s為大部分單自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率范圍，以上算例中基本涵蓋了此頻率范圍.

1）圖1—圖4表明，相對比于用經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法求得的結(jié)果，本文用基于譜矩相等準(zhǔn)則求得的結(jié)果精度更好，且用本文方法求得的等效阻尼與原始方程求得的結(jié)果十分接近.

2）對比圖1—圖12，有：

[①]當(dāng)耗損因子[η]（[0<η<1]）一定的時(shí)候，隨著結(jié)構(gòu)自振頻率的增大，本文方法較經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法提高的更明顯.

[②]當(dāng)結(jié)構(gòu)自振頻率[ω0]一定的時(shí)候，隨著結(jié)構(gòu)阻尼耗損因子[η]（[0<η<1]）的增大，本文方法較經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法有顯著提高，且結(jié)構(gòu)阻尼耗損因子[η]（[0<η<1]）越大，提高越明顯.

[③]當(dāng)處于曲線下降階段時(shí)，已超出我國抗震規(guī)范對于參數(shù)的要求，因此，在規(guī)定范圍內(nèi)本文方法是較優(yōu)的.

3）圖4、圖8、圖12表明，當(dāng)結(jié)構(gòu)耗損因子比較大的時(shí)候，在規(guī)定的范圍內(nèi)本文方法仍優(yōu)于模態(tài)應(yīng)變能法，說明本文方法對于較大阻尼比的情況仍然適用.

4）圖13—圖15表明，本文方法對在實(shí)際中的單自由度耗能結(jié)構(gòu)[10 rad/s≤ω0≤30 rad/s]，較經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法有很大提高.

5）圖16—圖18表明，本文方法和多尺度法在實(shí)際中的單自由度耗能結(jié)構(gòu)[10 rad/s≤ω0≤30 rad/s].

[①]當(dāng)耗損因子[η]（[0<η<1]）一定的時(shí)候，隨著結(jié)構(gòu)自振頻率的增大，本文方法比多尺度法精度更好.

[②]由文獻(xiàn)[23]知，用多尺度法求得復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)的等效阻尼精度比經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法已經(jīng)有很大提高，現(xiàn)對比分析可得，運(yùn)用本文方法的精度比多尺度法更高.

4? ? 結(jié)論

為建立復(fù)阻尼耗能減震結(jié)構(gòu)基于反應(yīng)譜的抗震設(shè)計(jì)方法，對單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)及其等效阻尼和等效頻率以及近似解析解進(jìn)行研究分析，結(jié)論如下：

1）單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)采用本文方法，求得其等效頻率和等效阻尼，解法相對方便，過程也相對簡明，因此用本文方法求解，也為其他阻尼耗能結(jié)構(gòu)提供了一種可行的研究分析方法.

2）在采用本文方法下，在抗震設(shè)防要求的參數(shù)范圍內(nèi)，本文所用的方法優(yōu)于模態(tài)應(yīng)變能法.通過與多尺度法的求解比較，本文方法所得結(jié)果精度比之更高.

3）經(jīng)過分析可得，絕大部分阻尼相對誤差在4%內(nèi)，對于大阻尼的相對誤差也在5%左右，因此大部分實(shí)際工程中采用本文方法計(jì)算結(jié)果都是較好的.

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Equivalent damping of single-degree-of-freedom complex damping structures based on spectral moment

LI Tun， XIE Haiwen， LI Chuangdi*， GE Xinguang

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： The complex damping model agrees well with the experimental results， but the structural? ?dynamic analysis is more complicated. In this paper， the single-degree-of-freedom complex damping? energy dissipation structure is based on the spectral moment equality criterion， that is， the zero-order and second-order spectral moments of the complex damping original system and the equivalent system are equal， and the equivalent frequency and the equivalent damping of the single-degree-of-freedom complex damping energy-consuming structure is obtained. The calculation results of the equivalent? ?system are compared with the exact solutions calculated by the original system and the results? ? ? ? ? ? calculated by the classical modal strain energy method， the equivalent system has high precision.

Key words： complex damped structure; spectral moment; equivalent frequency; equivalent damping; single degree of freedom

（責(zé)任編輯：黎? ?婭）