活力課堂：讓思維向縱深處漫溯

陶士梅 朱耀峰

摘要：“三角形的三邊關系”是操作與推理探究成分很強的學習內(nèi)容。這一課，設計了“激趣引入，明確要求”“動手操作，合作探究”“實例研析，初步驗證”“推理嘗試，深入論證”“應用練習，鞏固升華”等教學環(huán)節(jié)，體現(xiàn)學習情感鮮活、思維發(fā)展深活、教學設計新活的特點。

關鍵詞：活力課堂學習情感思維發(fā)展三角形的三邊關系

【教學內(nèi)容】

蘇教版小學數(shù)學四年級下冊第77—78頁。

【教學目標】

1.經(jīng)歷操作實驗、舉例推理等過程，探索三角形三邊之間的關系，理解并能運用三角形三邊之間的關系解釋和解決簡單問題。

2.在操作實驗過程中，感受探索和驗證規(guī)律的途徑和方法，培養(yǎng)觀察、比較、判斷、推理、歸納、概括等思維能力和學習能力。

3.在學習過程中，積累活動經(jīng)驗，體驗規(guī)律探索的樂趣和挑戰(zhàn)性，提高學習興趣和積極性。

【教學重點】

三角形三邊之間關系的探索和驗證。

【教學難點】

在操作中培養(yǎng)觀察、比較、判斷、不完全歸納等思維能力;體驗實例驗證和推理論證等探索規(guī)律的方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

【學具準備】

為每個學生準備一個信封（里面裝有半圓柱形狀的小棒3根）、一張小組探究學習單。

【教學過程】

一、激趣引入，明確要求

師昨天的課堂上我們重新認識了一位圖形老朋友——三角形。如果給你一支筆，讓你任意畫出一個三角形，會畫的同學請舉手。

（學生熱情高漲，都舉起了手。）

師（課件出示3根小棒）如果給你3根小棒，讓你圍出一個三角形，不會圍的同學請舉手。

（沒有學生舉手，每個人都確信自己能圍出一個三角形。）

師老師最欣賞自信的孩子了！不過，數(shù)學學習很多時候光有自信是不夠的！在動手操作之前，老師有一點要提醒大家，（課件出示圖1）這些圖形，我們都認為是不合格的。為什么？

生因為第一個三角形用了4根小棒。

生第二個圖形中，小棒浪費了，沒有充分利用。

生第三個圖形接頭處沒有相連。

師由于我們的小棒有點粗，嚴格地講，應該讓小棒內(nèi)側的三條線段首尾相接才可以。

（課件示范正確圍法。）

[評析：三角形對于學生來說，太熟悉了。任意畫一個三角形，學生是完全可以做到的，因為此時的三邊長度是由學生自己根據(jù)需要任意選擇的。但是，用任意三根小棒圍出一個三角形，是不確定的（學生在學習之前是不知道其中的學問的）。教師充分抓住學生的這種“輕敵”心理，激發(fā)操作熱情;同時，為了避免操作后匯報時注意力的分散，教師提前展示幾種錯誤的操作方法，將正誤標準及操作要領講得很清楚，防患于未然，可謂用心良苦！]

二、動手操作，合作探究

（學生動手操作：用教師課前給定的3根小棒圍三角形。）

師已經(jīng)成功地圍成三角形的同學請舉手。

（多數(shù)學生很得意地舉手;部分學生很著急又不好意思，因為沒有圍出三角形。）

師（故作狐疑）還真有人沒有圍出來?。?！別著急，誰能勇敢地帶上小棒到前面來展示一下，讓大家?guī)兔纯吹降啄膬撼鰡栴}了？

生（展示操作，如圖2、圖3）我的小棒長度分別是8厘米、5厘米和2厘米，夠不著。

師大家看出來了嗎？這些小棒圍不出三角形，問題出在小棒上！

師（課件出示圖4）仔細觀察一下我們剛才擺出的這些圖形。從表面上看，它們大小、形狀、方向都不同，但是其實，它們骨子里是——

生一樣的！

師既然是一樣的，咱們就留下一組研究研究。（選擇8厘米、5厘米、2厘米的一組小棒）觀察并思考一下：為什么它們無法完成首尾相接呢？

生因為5厘米和2厘米太短了。

生因為5厘米和2厘米加起來還沒有8厘米長。

師如果允許你將小棒變長，你想把它們怎么變？

……

師誰來概括總結一下，只要讓小棒怎么變，就可以圍成三角形？

生只要讓兩條短邊之和大于最長邊。

師有不同想法嗎？

生我覺得兩條短邊之和等于最長邊也是可以的。

師（故作驚喜）有哪位同學手上有這樣的小棒，上來試一試，讓大家眼見為實吧！

生我用10厘米、6厘米和4厘米的3根小棒，撐不起來，圍不成。

生兩條短邊還是要大于最長邊，才可以圍成三角形。

師現(xiàn)在，如果老師再任意給你三根小棒，讓你圍出一個三角形，你還敢像剛才那樣說一定能圍成嗎？

生（齊擺手）不敢。

師不敢恰恰說明你們的智慧增長了！

[評析：操作過程是認知活動的“腳手架”。為了讓學生把在操作過程中獲得的感悟提煉并清晰地表達出來，教師以一個例子為重點，引導學生在反復的操作變化中透過現(xiàn)象看本質，感受問題的一致性;再鼓勵學生自主變化小棒的長度使其可以圍成三角形，他們會不由自主地讓“兩條短邊長度之和大于最長邊”。至此，“三角形中兩條短邊長度之和大于最長邊”的規(guī)律水到渠成，為后面得出“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”的規(guī)律奠定了堅實的邏輯基礎。]

三、實例研析，初步驗證

師剛剛我們通過自己的操作發(fā)現(xiàn)了三角形三邊關系的一條規(guī)律，但是課本上的結論和我們發(fā)現(xiàn)的有點不一樣。請打開課本第77頁看一看。

（學生看書后，教師課件出示：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。師生齊讀三遍。）

師你能理解這句話的意思嗎？為了方便表達，我們把三邊分別標上①②③，請說說你對這句話的理解。

生①+②>③。

生②+③>①。

生①+③>②。

師雖然課本上是這么說的，但是課本上的就一定對嗎？你打算怎么做？

生我打算找一個三角形，把它任意兩邊的長度加起來，看看是不是真的大于第三邊。

師找一個？

生多找一些。就用我們剛才圍出來的三角形。

師如果我們?nèi)嗟娜切稳呴L度都符合這句話，那就說明——

生這句話是對的。

師（引導語氣）如果——

生出現(xiàn)一個不符合的，那就說明這句話是錯誤的。

師為了方便匯報，我們可以做一個表格，把探索結果填到表格里。

（課件出示下頁表1。學生驗證得出結論：沒有找到反例，三角形任意兩邊長度之和大于第三邊。）

師既然沒有找到反例，那我們就暫時確定“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”。

[評析：舉例驗證、不完全歸納是探索規(guī)律的重要途徑。這一環(huán)節(jié)的精彩之處在于：學生完全是探索的主人而不是被動的操作工——方法學生自己思考，步驟學生自己安排，結果學生自己判斷。在這樣的訓練下，學生的探索能力得到了有效的培養(yǎng)，質疑能力和批判性思維也得到了很好的激發(fā)。]

四、推理嘗試，深入論證

師舉例驗證確實是探索數(shù)學規(guī)律的重要途徑，但是，數(shù)學規(guī)律的探究還有很多其他的方法。今天，老師給大家推薦的方法是：（同步板書）推理論證。你認為推理是怎么一回事？

生推理應該就是講道理。

生推理就是通過一個道理推出另一個道理。

師大家猜得一點也沒錯！數(shù)學上的推理就是根據(jù)現(xiàn)有確定的結論或規(guī)律，通過講道理推出其他結論或規(guī)律的過程。你能試著利用我們剛剛研究的規(guī)律“兩條短邊之和大于最長邊”來證明“任意兩邊長度的和大于第三邊”嗎？（課件出示圖5）為了便于表達，我們把三角形的三邊分別叫作最短邊、較短邊、最長邊。

生最短邊+較短邊>最長邊，這是我們剛才操作得出的結論;最長邊+最短邊>較短邊，因為最長邊本身已經(jīng)大于較短邊了，再加上一個最短邊，肯定大于較短邊;最長邊+較短邊>最短邊，因為無論最長邊還是較短邊，都大于最短邊，所以它們的和一定大于最短邊。

師推導得真棒！現(xiàn)在誰來總結一下？

生“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”這句話是對的。

師你感覺舉例驗證和推理論證，哪一種得到的結論更周密一些？

生舉例，因為舉例更簡單。

生舉例雖然簡單，但是說不定有的例子舉不到，會影響我們對結果的判斷。推理是表示任意長度都成立的，所以推理得到的結論更周密一些。

（全班學生自發(fā)鼓掌。）

師其實，這個結論也可以從反面來論證。如果任意兩邊的長度的和不大于第三邊，會出現(xiàn)什么情況呢？

（學生自發(fā)開始討論。）

生我們是這樣想的：兩條短邊的和如果小于最長邊，則一定是圍不成三角形的;兩條短邊的和即使等于最長邊，也是圍不成三角形的。那么兩條短邊的和就只有大于最長邊，才能圍成三角形。

師真了不起，你們都學會從反面來證明了！總共三個方面，排除掉兩個方面，從而得出結論：兩條短邊之和大于最長邊才能圍成三角形。

[評析：例證法非常直觀、易于操作，但是有時無法把例子舉全，會缺少足夠的說服力。為了培養(yǎng)學生理性、科學的論證能力，教師讓學生嘗試推理論證。然后，通過比較，讓學生在思辨中感受推理論證的合理性與確定性，為以后學習數(shù)學證明做鋪墊。更難能可貴的是，在教師的引導下，學生的思考中還出現(xiàn)了“反證法”的雛形。]

五、應用練習，鞏固升華

（一）呼應已有舊知

師（課件出示圖6）這幅圖大家還有印象嗎？誰能用今天學到的知識來解釋一下，為什么從A點到B點中間這條線路最短。

生因為三角形的兩邊之和大于第三邊，所以線段AB是最短的。

師原來，我們今天學習的“三角形兩邊之和大于第三邊”與之前學習的“兩點之間線段最短”是可以互相印證的。

（二）尋找第三根小棒

師“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”這條規(guī)律雖然看起來簡單，但是用起來卻并不是那么容易的。想不想挑戰(zhàn)一下自己？

生想！

（課件出示圖7。）

生（急忙回答）1—13都可以。

生1絕對不可以，1加4小于10！

生應該是7到13都可以。

師（微笑）同學們，數(shù)學的魅力就在于不讓你一眼就看透。我們別著急，先安靜思考一會或小組討論一下，再做決定。好嗎？

（學生熱烈討論。不一會兒，小手一片。）

生（得意）我們組認為答案是7、8、9、10、11、12、13。

（其他學生放下了手。）

師這么多答案要想一個不漏地說出來，說實話，還真不是容易的事。誰有什么好辦法嗎？

生我覺得應該分開來想：如果第三根小棒當短邊，它的長度加上4要大于10，所以必須是大于6的數(shù);如果第三根小棒當長邊，10加上4要大于它的長度，所以只能是小于14的數(shù)。所以答案是大于6而小于14。

師你們都會分類思考了，真厲害！把第三條邊當作短邊，它必須大于6厘米;把第三條邊當作長邊，它必須小于14厘米。小數(shù)也可以嗎？

生小數(shù)也可以。從6.1到13.9都可以。

師由于我們才認識一位小數(shù)，所以這個結論目前是對的。我們今天的收獲真大啊！

（三）截出第三根小棒

師如果現(xiàn)在只有兩根小棒，一根長10厘米，另一根長4厘米，要將其中一根截成兩段，得到3根小棒，圍成一個三角形，你打算截哪一根？截成幾厘米和幾厘米的兩段？

生把4厘米的分成兩段肯定不行，因為它本身就比10厘米短。只有把10厘米的分成兩段。

師你們認同他的想法嗎？

（學生點頭。）

師你打算將10厘米長的這根分成怎樣的兩段呢？是不是隨意分都可以？小組合作完成。

（學生小組活動。）

生把10厘米分成4厘米和6厘米。

生把10厘米分成3厘米和7厘米。

生不可以，3厘米加上4厘米等于7厘米了。把10厘米分成5厘米和5厘米是可以的。

師難道只有這兩種分法嗎？課后我們繼續(xù)研究。

[評析：教師充分挖掘、利用“圍三角形”題目的思維含量，將看似簡單的題目教出了一波三折。出示題目后，教師利用學生急于表現(xiàn)但思維不夠嚴密的特點，由著他們發(fā)表意見，暴露錯誤;然后，引導學生“先安靜思考或小組討論”，從而不僅培養(yǎng)他們深度思考、謹慎言行的習慣，同時也讓他們感覺到合作交流是解決問題的重要方式。有學生一口氣報出所有答案后，教師又引導學生思考得到這些答案的方法。數(shù)學學習不僅僅是結果的達成，最重要的是思維過程的展示、碰撞與交流。在“尋找第三根小棒”和“截出第三根小棒”環(huán)節(jié)，學生在激烈的思維碰撞與交流中將探究延伸到課外，教師的引導無痕而智慧。]

六、回顧總結，積累經(jīng)驗

教師從數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學活動經(jīng)驗積累三方面引導學生回顧總結，養(yǎng)成反思習慣，既將獲得的新知納入原有的認知結構中，又提煉數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

【教學總評】

“三角形的三邊關系”是操作與推理探究成分很強的學習內(nèi)容。綜觀全課，教師很好地駕馭了教材，調動了學生。整節(jié)課充滿活力，精彩不斷，具體有以下幾個鮮明特點：

第一，學習情感鮮活。活力課堂的表現(xiàn)在于學生學習情感的鮮活。這節(jié)課上，學生有初次面對問題的自信滿滿，有擺不成三角形的郁悶和困惑，有找到原因的激動和欣喜，有發(fā)現(xiàn)規(guī)律的急于表現(xiàn)，有善于思辨的胸有成竹。這些情感的真實流露證明，學生的學習是主動而真實的。

第二，思維發(fā)展深活?；盍φn堂的重要表現(xiàn)在于學生思維發(fā)展的深活。在一波三折的探索中，教師將學生的思維逐漸推進至縱深處。學生首先通過操作，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩條短邊之和大于最長邊。教師推進：“課本上的結論和我們發(fā)現(xiàn)的有點不一樣。”“課本上的就一定對嗎？你打算怎么做？”學生的批判性思維被激發(fā)，已有的活動經(jīng)驗被激活。緊接著舉例驗證，教師又讓學生“推理論證”。嘗試成功之后，教師沒有淺嘗輒止，而是引導學生進行比較，促使學生深刻感悟“推理論證”的合理性和確定性?！胺醋C法”的出現(xiàn)更是思維靈活與創(chuàng)新的展現(xiàn)……整節(jié)課，學生的思維主動活躍，不斷深入且愈發(fā)嚴謹，稱得上是一節(jié)非常好的思維訓練課。

第三，教學設計新活。活力課堂的表現(xiàn)還在于教學設計的新活。教師把教材內(nèi)容按難度分解成邏輯緊密的幾個環(huán)節(jié)和層次，環(huán)環(huán)孕伏，層層深入。第一層次，實驗操作發(fā)現(xiàn)“兩條較短邊之和大于最長邊”;第二層次，舉例和推理得出“任意兩邊長度之和大于第三邊”;第三層次，通過反證由直觀到抽象、由特殊到一般，確認獲得結論的合理性;第四層次，設計富有挑戰(zhàn)性、科學性、嚴謹性，有力度、有深度的練習，使學生及時應用鞏固所得。