微分方程的圖像解

曹萬蒼 孫福玉 何佳

摘要：微分方程是高等數(shù)學的重要組成部分，在物理、電子類專業(yè)的后續(xù)課程中有廣泛的應(yīng)用.MATLAB提供了微分方程的眾多解法，如時域解法、頻域解法、公式解法、數(shù)值解法和圖像解法等.文章使用Simulink的積分模塊、傳遞函數(shù)模塊及反拉普拉斯變換方法進行對比求解和分析，總結(jié)了用MATLAB的圖像法解微分方程的基本步驟.

關(guān)鍵詞：積分模塊;傳遞函數(shù)模塊;反拉普拉斯變換

中圖分類號：O4-39? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）06-0001-02

1 引言

微分方程是高等數(shù)學的重要組成部分，在物理、電子類專業(yè)的后續(xù)課程中有廣泛的應(yīng)用.在模擬電路、數(shù)字電路、電路分析、信號與系統(tǒng)、通信原理等課程的教學中，微分方程的應(yīng)用是必不可少的內(nèi)容.MATLAB具有強大的功能，MATLAB提供了微分方程的眾多解法，有時域解法，頻域解法，公式解法，數(shù)值解法[1]，圖像解法等.本文討論了用MATLAB的圖像法解微分方程的基本情況.

2 使用Simulink工具箱求解微分方程

Simulink作為MATLAB的重要組成部分[2]，具有相對獨立的功能和使用方法.它是對動態(tài)系統(tǒng)進行建模、仿真和分析的一個工具軟件.它支持線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng).

Simulink的使用和我們在實驗室做實驗的過程是相同的，我們在實驗室進行試驗基本要經(jīng)過下面的7個步驟：清理好實驗臺，打開試驗準備室，把所需儀器搬到實驗臺，連接好儀器，調(diào)節(jié)儀器的參數(shù)，合閘試驗，觀察和記錄數(shù)據(jù).而使用Simulink的過程和上述7個步驟類似：建立建模窗口Model，打開Simulink的模塊庫，拖模塊到Model窗口，在各個模塊上連線，模塊參數(shù)設(shè)置，運行Simulation的Start命令開始仿真，觀察和記錄仿真結(jié)果.

2.1 積分模塊

使用Simulink的積分模塊求解二階微分方程：x"+0.1x′+0.7x=0.5u（t），u（t）是單位階躍函數(shù).

用積分器直接創(chuàng)建求解該微分方程的模型[3]，步驟如下：改寫微分方程為：x"=0.5u（t）-0.1x′-0.7x;利用Simulink庫中的標準模塊創(chuàng)建模型利用積分模塊創(chuàng)建微分方程求解模型的核心思想是：x"經(jīng)積分后得到x′再經(jīng)積分得到x，x′和x經(jīng)代數(shù)運算產(chǎn)生x".Simulink庫中利用積分模塊創(chuàng)建微分方程求解模型如圖1所示.

對圖1中微分方程求解模型的模塊參數(shù)進行設(shè)置，運行Simulation的Start命令開始仿真，在scope中觀察仿真結(jié)果如圖2所示.

2.2 傳遞函數(shù)模塊

為了比較起見，我們使用Simulink傳遞函數(shù)模塊求解上述同樣的二階微分方程：x"+0.1x′+0.7x=0.5u（t），設(shè)初始狀態(tài)為0，u（t）是單位階躍函數(shù).

3 用反拉普拉斯變換求解微分方程

反拉普拉斯變換求解微分方程結(jié)果如圖4所示.可以看到figure中的圖形和scope中顯示的仿真結(jié)果相同.

4 結(jié)論

微分方程是高等數(shù)學的重要組成部分，在物理、電子類專業(yè)的后續(xù)課程中有廣泛的應(yīng)用.MATLAB提供了微分方程的眾多解法，有時域解法，頻域解法，公式解法，數(shù)值解法，圖像解法等.文章使用Simulink的積分模塊、傳遞函數(shù)模塊及反拉普拉斯變換方法進行對比求解和分析，總結(jié)了用MATLAB的圖像法解微分方程的基本步驟.

參考文獻：

[1] 張麗娟，張翔，等.一階常微分方程初值問題的數(shù)值算法[J].通化師范學院學報，2017，38（4）：22-24.

[2] 劉思平.MatlabPDE工具箱在電動力學教學中的輔助應(yīng)用[J].廊坊師范學院學報（自然科學版） ，2017，17（1）：110-112.

[3] 吳佳惠.一種數(shù)值積分算法的改進研究[J].軟件，2017，38（2）：28-32.

[4] 孫福玉，韓錚，曹萬蒼，等.大學物理創(chuàng)新性實驗數(shù)字化設(shè)計研究[J].實驗室科學，2015，18（6）：1-3.