利用換元法解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題

朱琳

摘要：換元法是高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常應(yīng)用的方法，適當(dāng)?shù)氖褂脫Q元法能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，突破解題思路，加快解題速度。在高中數(shù)學(xué)中換元法是高考?？嫉乃枷敕椒?，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在老師的幫助指導(dǎo)下對(duì)解題思路進(jìn)行演繹概括，使得解題思路明朗清晰。文中主要針對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中換元法的應(yīng)用進(jìn)行分析，以尋求解題途徑，提高解題速度。

關(guān)鍵詞：換元法? 高中數(shù)學(xué)? 應(yīng)用

換元法是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種常用方法。使用“換元”可以化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，化陌生為熟悉，化難為易，從而順利解決問(wèn)題。

一、換元法的概念

換元法，又稱輔助元素法、變量代換法，即把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去替代它，使得代換后的表達(dá)式有利于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)思想方法。

換元法的本質(zhì)就是在研究和處理相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用等價(jià)替換的手段將問(wèn)題簡(jiǎn)化，進(jìn)而得解決問(wèn)題的一種方法。常常是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)換元變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成會(huì)解決的問(wèn)題，換元法的一般步驟：

換元

求解

回代

檢驗(yàn)

二、常見(jiàn)的換元方法

換元法類型較多，下面探討高中數(shù)學(xué)解題中常用的換元法。

三、三角換元法

代數(shù)問(wèn)題或者幾何問(wèn)題作三角代換，從而變成三角問(wèn)題，再運(yùn)用三角函數(shù)的公式，性質(zhì)等處理相關(guān)問(wèn)題。

例1.已知，求的最大值。分析：該題沒(méi)有這個(gè)條件，因而使用重要不等式難以突破，但是注意到，利用三角換元，則解題思路立現(xiàn)。

解：設(shè)，則

的最大值為5。

（2）根式換元法。在含根式的復(fù)合函數(shù)中，將題中遇到的根式作為一個(gè)整體，換元后成為熟悉的一元二次函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，最常見(jiàn)的情況是形如的求值域的問(wèn)題，可設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)解決問(wèn)題。

例2.已知，求的取值范圍.

分析：審視函數(shù)的結(jié)構(gòu)及其特征，給出了函數(shù)的值域，當(dāng)增大時(shí)，減少，函數(shù)的增減難以判斷，這時(shí)將看成t，進(jìn)行換元，可化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問(wèn)題。

解：因?yàn)?，所以，所以，令，，則 ，由于函數(shù)圖像的開(kāi)口是向下且對(duì)稱軸為，

所以在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以y最小值為，最大值為。

（3）整體換元法。從整體上去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、思考問(wèn)題，常常能化難為易、化抽象變具體，同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例3.求函數(shù)的值域.

分析：觀察函數(shù)，發(fā)現(xiàn)，，這是我們就發(fā)現(xiàn)都含有，可以將其看成一個(gè)整體t。

解：，，

設(shè)，則

則y的值域?yàn)椤?/p>

（4）倒數(shù)換元法。若已知條件能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子的乘積為1，則設(shè)這兩個(gè)式子分別為t，進(jìn)行換元，

往往能起到降元，轉(zhuǎn)化變?yōu)橐辉獑?wèn)題求解。

例4.已知，求最小值.

解：由可知，，令 ，，可得，，

將代入得，，則最小值為

換元法這個(gè)數(shù)學(xué)思想方法滲透在高中數(shù)學(xué)的方方面面，它有著簡(jiǎn)便運(yùn)算，轉(zhuǎn)化模式，化解題目的復(fù)雜條件等用處，當(dāng)然在解題過(guò)程中要多方面通盤(pán)考慮，一道數(shù)學(xué)題目的較完美的解答需要滲透多種思想方法，可能換元法只是一個(gè)敲門(mén)磚也可能是一個(gè)踏板，總之在解答的過(guò)程中善于換元，勇于實(shí)踐，勤于反思，才能使解題水平有大幅提高。