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    利用換元法解決高中數(shù)學(xué)問題

    2019-09-10 07:22:44朱琳
    教育周報(bào)·教研版 2019年51期
    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)應(yīng)用

    朱琳

    摘要:換元法是高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常應(yīng)用的方法,適當(dāng)?shù)氖褂脫Q元法能夠簡化計(jì)算過程,突破解題思路,加快解題速度。在高中數(shù)學(xué)中換元法是高考??嫉乃枷敕椒?,學(xué)生應(yīng)當(dāng)在老師的幫助指導(dǎo)下對解題思路進(jìn)行演繹概括,使得解題思路明朗清晰。文中主要針對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中換元法的應(yīng)用進(jìn)行分析,以尋求解題途徑,提高解題速度。

    關(guān)鍵詞:換元法? 高中數(shù)學(xué)? 應(yīng)用

    換元法是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種常用方法。使用“換元”可以化繁為簡,化抽象為具體,化陌生為熟悉,化難為易,從而順利解決問題。

    一、換元法的概念

    換元法,又稱輔助元素法、變量代換法,即把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去替代它,使得代換后的表達(dá)式有利于問題解決的數(shù)學(xué)思想方法。

    換元法的本質(zhì)就是在研究和處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用等價(jià)替換的手段將問題簡化,進(jìn)而得解決問題的一種方法。常常是將復(fù)雜的問題通過換元轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將復(fù)雜的問題通過換元變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未知的問題通過換元轉(zhuǎn)化成會解決的問題,換元法的一般步驟:

    換元

    求解

    回代

    檢驗(yàn)

    二、常見的換元方法

    換元法類型較多,下面探討高中數(shù)學(xué)解題中常用的換元法。

    三、三角換元法

    代數(shù)問題或者幾何問題作三角代換,從而變成三角問題,再運(yùn)用三角函數(shù)的公式,性質(zhì)等處理相關(guān)問題。

    例1.已知,求的最大值。分析:該題沒有這個(gè)條件,因而使用重要不等式難以突破,但是注意到,利用三角換元,則解題思路立現(xiàn)。

    解:設(shè),則

    的最大值為5。

    (2)根式換元法。在含根式的復(fù)合函數(shù)中,將題中遇到的根式作為一個(gè)整體,換元后成為熟悉的一元二次函數(shù)來解決問題,最常見的情況是形如的求值域的問題,可設(shè),轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)解決問題。

    例2.已知,求的取值范圍.

    分析:審視函數(shù)的結(jié)構(gòu)及其特征,給出了函數(shù)的值域,當(dāng)增大時(shí),減少,函數(shù)的增減難以判斷,這時(shí)將看成t,進(jìn)行換元,可化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題。

    解:因?yàn)椋?,所以,令,,則 ,由于函數(shù)圖像的開口是向下且對稱軸為,

    所以在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以y最小值為,最大值為。

    (3)整體換元法。從整體上去認(rèn)識問題、思考問題,常常能化難為易、化抽象變具體,同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

    例3.求函數(shù)的值域.

    分析:觀察函數(shù),發(fā)現(xiàn),,這是我們就發(fā)現(xiàn)都含有,可以將其看成一個(gè)整體t。

    解:,,

    設(shè),則

    則y的值域?yàn)椤?/p>

    (4)倒數(shù)換元法。若已知條件能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子的乘積為1,則設(shè)這兩個(gè)式子分別為t,進(jìn)行換元,

    往往能起到降元,轉(zhuǎn)化變?yōu)橐辉獑栴}求解。

    例4.已知,求最小值.

    解:由可知,,令 ,,可得,,

    將代入得,,則最小值為

    換元法這個(gè)數(shù)學(xué)思想方法滲透在高中數(shù)學(xué)的方方面面,它有著簡便運(yùn)算,轉(zhuǎn)化模式,化解題目的復(fù)雜條件等用處,當(dāng)然在解題過程中要多方面通盤考慮,一道數(shù)學(xué)題目的較完美的解答需要滲透多種思想方法,可能換元法只是一個(gè)敲門磚也可能是一個(gè)踏板,總之在解答的過程中善于換元,勇于實(shí)踐,勤于反思,才能使解題水平有大幅提高。

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