移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁振動(dòng)減振分析

馬信欣 袁波 尹浩熹 何海玉 鄭勇

摘 要：振動(dòng)控制是解決大跨輕質(zhì)人行天橋舒適度的關(guān)鍵問(wèn)題之一。通常會(huì)采用調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）進(jìn)行減振，可以有效降低橋梁在行人激勵(lì)下的振動(dòng)反應(yīng)。將行人激勵(lì)簡(jiǎn)化為移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載，建立人群-人行橋-TMD振動(dòng)系統(tǒng)，推導(dǎo)在勻速移動(dòng)人行荷載下，人群-人行橋-TMD振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。并結(jié)合某一人行天橋?qū)嵗瑢?duì)該人行天橋進(jìn)行添加TMD后的Simulink仿真分析，與Ansys建模分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明Simulink仿真分析的正確性。采用中國(guó)規(guī)范進(jìn)行舒適度分析，選取一定范圍人行荷載的頻率，并用Simulink對(duì)此簡(jiǎn)支梁橋進(jìn)行定質(zhì)量TMD與變質(zhì)量TMD的減振分析，分析結(jié)果表明變質(zhì)量TMD減振效果優(yōu)于定質(zhì)量TMD減振效果。

關(guān)鍵詞：SIMULINK仿真系統(tǒng);變質(zhì)量動(dòng)力吸振器;振動(dòng)控制;人行橋;TMD

中圖分類號(hào)：U441+.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

隨著我國(guó)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和城市交通的不斷建設(shè)，人行橋也正向大跨度輕柔低阻尼的方向發(fā)展，人們對(duì)人行橋的舒適度要求更加嚴(yán)格，對(duì)大跨度人行天橋施加多人行走的人行荷載，如果荷載頻率與橋梁的自振頻率相同時(shí)，就會(huì)發(fā)生共振，則橋梁的響應(yīng)將被不斷增大，輕則會(huì)使人心理上產(chǎn)生不舒適感，嚴(yán)重時(shí)會(huì)使橋梁發(fā)生破壞[1-2]，本文研究多人同頻率勻速通過(guò)橋梁時(shí)的最大動(dòng)力響應(yīng)，并對(duì)橋梁添加TMD[3-6]阻尼器進(jìn)行減振控制，因常用的有限元軟件建模分析時(shí)間較長(zhǎng)，采用較高效的Simulink軟件進(jìn)行減振分析，首先推導(dǎo)人群-橋-TMD的動(dòng)力方程，然后在Simulink中依據(jù)運(yùn)動(dòng)方程建立仿真模塊，進(jìn)行動(dòng)力仿真分析。得出橋梁撓度最大點(diǎn)在仿真分析與有限元軟件分析下的加速度與位移時(shí)程曲線，并對(duì)兩種軟件的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明仿真的準(zhǔn)確性。運(yùn)用變質(zhì)量TMD[7]，并對(duì)定質(zhì)量TMD與變質(zhì)量TMD進(jìn)行仿真對(duì)比分析并得出結(jié)論。

1?運(yùn)動(dòng)方程的建立

1.1?結(jié)構(gòu)分析模型

本文分析的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，人行荷載簡(jiǎn)化為一移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載，n個(gè)等間距的行人以速度v陸續(xù)從左至右通過(guò)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的簡(jiǎn)支梁橋，主梁為等截面均勻簡(jiǎn)支梁，抗彎剛度為EI，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，在橋梁中間布置TMD阻尼器，c、k分別為TMD阻尼和剛度，y以靜平衡位置為原點(diǎn)，u（v，t）為橋梁撓度，在TMD下的初始撓度u（0）忽略不計(jì)。

1.2?運(yùn)動(dòng)方程建立

在勻速移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的簡(jiǎn)支梁及定質(zhì)量TMD[8-10]系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為：

m2u（x，t）t2+EI4u（x，t）x4+csu（x，t）t+mTy¨δ（x-l/2）=∑ni=0δ（x+i-vt）Pi（t）（1）

mTy¨+c（y·-u·|l2）+k（y·-u·|l2）=0（2）

式中，m單位長(zhǎng)度質(zhì)量;EI為截面抗彎剛度;U（x，t）為距梁端點(diǎn)x、時(shí)間t時(shí)的豎向撓度;g為重力加速度;δ為Dirac函數(shù);P（t）為簡(jiǎn)化的人行荷載;cs為阻尼系數(shù);c為TMD阻尼;k為TMD剛度;mT為TMD的質(zhì)量

將式（2）導(dǎo)入式（1）中得下式（3）

m2u（x，t）t2+EI4u（x，t）x4+csu（x，t）t-k（y-ul2）+c（y·-u·l2）δ（x-l/2）=∑ni=0δ（x+i-vt）Pi（t）（3）

利用分離變量法，令

u（x，t）=∑SymboleB@

n=1φn（x）qn（t）（4）

式中，φn（x）=sinnπl(wèi)x（n=1，2，…）為振動(dòng)的形狀，不隨時(shí)間變化;qn（t）為隨時(shí)間變化的振幅

將式（4）代入式（3），可得下式（5）：

m∑SymboleB@

n=12qn（x，t）t2φn（x）+EI∑SymboleB@

n=14φn（x）x4qn（t）+cs∑SymboleB@

n=1qn（x，t）tφn（x）-k（y-ul2）+c（y·-u·l2）

δ（x-l/2）=∑ni=0δ（x+i-vt）Pi（t）（5）

由式（5）兩邊同時(shí)乘上φn（x），再（0，l）內(nèi)積分，利用振型正交性可得式（6）

Mnq¨n（t）+2ξnωnMnq·n（t）+ω2nMnqn（t）-

φn（l/2）k（y-ul2）+c（y·-u·l2）=Pn（t）（6）

式中第n階頻率ωn、振型質(zhì)量Mn、振型力Pn（t）、振型阻尼比ξn表達(dá)式如下，令ξ1=ξ2=0.02：

ωn=n2π2l2EIm;Mn=∫l0[φn（x）]2mdx=mL/2;

Pn（t）=∑ni=0∫l0φn（x）δ（x-i-vt）Pi（t）dx

=∑ni=0φn（vt-i）Pi（t）

a=2ω1ω2（ξ1ω2-ξ2ω1）ω22-ω21

=0.032π2l2EIm;

b=2（ξ2ω2-ξ1ω1）ω22-ω21

=0.08l2π2mEI;

ξn=a2ωj+bωj2=0.016j2+0.04j2

背戶一登在文獻(xiàn)[11]確定的動(dòng)力吸振器的最佳阻尼條件和最佳調(diào)諧條件由式（7）和式（8）確定。

ζopt=3μ8（1+μ）3（7）

λopt=11+μ（8）

其中，質(zhì)量比μ=mT/M， mT為TMD質(zhì)量，M是結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量，μ取1%-5%。根據(jù)ω2=k/mT經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出最優(yōu)阻尼比Copt與最優(yōu)剛度比kopt，如式（9）與式（10）示。

copt=2ζoptλoptωmT（9）

kopt=λopt2ω2mT（10）

振型力Pn（t）矩陣形式如下：

P=∑ni=0φ1（vt-i）Pi（t）∑ni=0φ2（vt-i）Pi（t）∑ni=0φn（vt-i）Pi（t）0

TMD的振動(dòng)方程為：

mTy¨+cy·+ky-c∑SymboleB@

n=1φnl2q·n（t）-

k∑SymboleB@

n=1φnl2qn（t）=0（11）

為了進(jìn)行矩陣求解，將所有振型的運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)合上式的TMD振動(dòng)方程，統(tǒng)一寫為

MX¨（t）+CX·（t）+KX（t）=P（12）

式中，模態(tài)質(zhì)量M、剛度矩陣K與阻尼矩陣C如下所示，根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知，f1≥1.4 Hz的簡(jiǎn)支人行橋，僅取第一階模態(tài)即可準(zhǔn)確計(jì)算出跨中加速度的動(dòng)力反應(yīng)。

M=M1MnmT

C=2ξ1ω1M1+∑nicφ21l2…∑nicφ1l2φ2l2-φ1l2c對(duì)稱2ξnωnMn+cφ2nl2-φnl2cc

K=ω21M1+∑nikφ21l2…∑nikφ1l2φ2l2-φ1l2k

ω2nMn+kφ2nl2-φnl2kk

2?Simulink動(dòng)態(tài)仿真設(shè)計(jì)

進(jìn)行Simulink仿真，首先在matlab[12]中輸入初始參數(shù)，計(jì)算橋梁固有頻率與阻尼比，然后在

Simulink建模窗口中建模，并進(jìn)行各模塊參數(shù)的設(shè)置，其次仿真調(diào)試階段，檢查模塊連接。最后進(jìn)行仿真設(shè)置，并運(yùn)行仿真;輸出運(yùn)算結(jié)果到workspace。根據(jù)式（12）的動(dòng)力微分方程在Simulink中建立模塊，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真分析[13]。仿真框圖見圖2。

3?Ansys結(jié)果對(duì)比分析

3.1??算例

為了驗(yàn)證上述理論分析的正確性，引用文獻(xiàn)[14]中的算例，該人行天橋的人流量在30人/分鐘左右，可以計(jì)算出同時(shí)在橋上的人數(shù)為17人，17人以勻速v從左向右陸續(xù)通過(guò)該人行天橋。此橋梁的基頻f1為2.5625 rad/s，人行荷載頻率同基頻f1。主梁為等截面均勻簡(jiǎn)支梁，圖3為梁橫截面圖，主梁采用單箱單室鋼箱梁，梁高為1.8米，腹板厚25毫米，頂板寬度4.7米，底板寬2.7米?？箯潉偠葹镋I，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)見表1。

3.2?Ansys結(jié)果對(duì)比

分析在正常步行荷載頻率2 Hz～3 Hz范圍內(nèi)，上述算例中定質(zhì)量TMD的參數(shù)根據(jù)公式（7）-（10）進(jìn)行計(jì)算，得出定質(zhì)量TMD的參數(shù)取值如下表2所示。17人列隊(duì)過(guò)橋時(shí)Simulink與Ansys分析的加速度時(shí)程曲線的對(duì)比如圖4與表3所示。從圖4與表3可知，兩種軟件分析結(jié)果差值小于9%，故結(jié)構(gòu)仿真正確。當(dāng)行人與橋梁共振時(shí)，橋梁

振動(dòng)響應(yīng)最大，采用質(zhì)量比為0.05的TMD進(jìn)行減振，減振前后時(shí)程曲線如圖5所示，此時(shí)Simulink減振后峰值加速度為0.28 m/s2小于0.8 m/s2，減振效果為87.27%，滿足規(guī)范[15]要求。

4?變質(zhì)量TMD與定質(zhì)量TMD對(duì)比分析

人的步行頻率不是一個(gè)固定值，步行荷載頻率一般在2～3 Hz頻率范圍內(nèi)，定質(zhì)量TMD只對(duì)某一頻率減振效果明顯，而變質(zhì)量TMD能夠根據(jù)步行荷載頻率變化而調(diào)節(jié)吸振器質(zhì)量來(lái)進(jìn)行減振，其減振頻率范圍較寬。為了分析變質(zhì)量TMD與定質(zhì)量TMD的減振效果，同樣采用3.1中的算例。變質(zhì)量TMD的阻尼與剛度與3.2中定質(zhì)量TMD參數(shù)相同，變質(zhì)量TMD的定質(zhì)量部分mT的取值根據(jù)公式mT=k/（λopt2πf（max））2確定。變質(zhì)量TMD的變質(zhì)量塊mV的最大值根據(jù)公式mV（max）= k/（λopt2πf（min））2-mT，變質(zhì)量TMD的參數(shù)如表4所示，Simulink的分析結(jié)果如圖6所示。

5?結(jié)論

（1）本文推導(dǎo)了人群-人行橋-TMD的運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程建立了Simulink仿真框圖，并對(duì)簡(jiǎn)支梁橋進(jìn)行了動(dòng)力仿真分析，仿真結(jié)果與Ansys建模分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。當(dāng)17人勻速同頻率通過(guò)橋梁時(shí)，兩種程序?qū)Σ煌诵泻奢d頻率的減振結(jié)果表明，峰值加速度最大相差9%，證明Simulink仿真方法的準(zhǔn)確性。

（2）變質(zhì)量TMD減振效果要優(yōu)于定質(zhì)量TMD減振效果，定質(zhì)量TMD只對(duì)2.2～2.9 Hz范圍內(nèi)的步行頻率進(jìn)行減振，而變質(zhì)量TMD對(duì)正常步行頻率范圍內(nèi)都有減振效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]李慧樂(lè)，夏禾，郭薇薇.移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁共振與消振機(jī)理研究[J].工程力學(xué)，2013，30（07）：47-54.

[2]武文濤. 基于人群—橋梁耦合振動(dòng)理論的人行懸索橋振動(dòng)研究及參數(shù)分析[D].西南交通大學(xué)，2016.

[3]李宏男，李忠獻(xiàn)，等.結(jié)構(gòu)振動(dòng)與控制[M].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2005.2018-237

[4]丁文鏡.減振理論 [M].北京：清華大學(xué)出版社，1998

[5]樊健生，陳宇，聶建國(guó).人行橋的TMD減振優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J].工程力學(xué)，2012，29（09）：133-140+156.

[6]李上偉. 行人荷載下大跨鋼箱梁人行橋動(dòng)力響應(yīng)分析與TMD減振控制[D].廣州大學(xué)，2016.

[7]房祥波. 變質(zhì)量動(dòng)力吸振器及其控制策略研究[D].長(zhǎng)安大學(xué)，2013.

[8]張軍. 多個(gè)移動(dòng)常量力作用下簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力仿真技術(shù)[A].2008：3.

[9]許磊平，劉偉慶，徐秀麗，王曙光，李勇智.TMD抑制橋梁振動(dòng)仿真分析[J].防災(zāi)減災(zāi)工程報(bào)，2009，29（03）：272-276.

[10]張璨. 重載列車振動(dòng)對(duì)橋梁的影響及減振控制[D].武漢理工大學(xué)，2017.

[11]背戶一登.結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2010

[12]宋兆基，徐流美.MATLAB6.5在科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005

[13]黎明安.MATLAB/Simulink動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模與仿真[M].國(guó)防工業(yè)出版社，2012

[14]伍定一. TMD對(duì)鋼結(jié)構(gòu)人行天橋的振動(dòng)控制研究[D].長(zhǎng)沙理工大學(xué)，2007.

[15]城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范（征求意稿） ：CJJ69—201X[S].

（責(zé)任編輯：江?龍）

Vibration Reduction Analysis of Simply Supported

Beam Under Moving Load

MA Xinxin， YUAN Bo*， YIN Haoxi， HE Haiyu， ZHENG Yong

（Space Structures Research Center of Guizhou University ，Guiyang 550025）

Abstract：

Vibration control is one of the key issues to solve the comfort of a large span lightweight pedestrian bridge. The tempered mass damper （TMD） is usually used for vibration reduction， which can effectively reduce the vibration response of the bridge under pedestrian excitation. The pedestrian excitation is simplified to the mobile harmonic load， and the crowd￣footbridge￣TMD vibration system was established. The differential equations and state equations of the crowd￣footbridge￣TMD vibration system under the uniform moving pedestrian load were derived. Combined with a pedestrian bridge instance， the Simulink simulation analysis of the pedestrian bridge after adding TMD was compared with the results of Ansys modeling analysis. The accuracy of Simulink simulation analysis was illustrated. The Chinese standard was used for comfort analysis， the frequency of a certain range of pedestrian loads is selected， and the vibration reduction analysis of the traditional TMD and the variable mass TMD was carried out on the simply supported beam bridge by Simulink. The analysis results show that the variable mass TMD damping effect is better than the traditional TMD vibration reduction effect.

Key words：

SIMULINK simulation system; variable mass dynamic vibration absorber; vibration control;footbridge;TMD