網(wǎng)格新型考題的歸類例析

郭彩慶

摘 要：近幾年中考出現(xiàn)的以“網(wǎng)格”為背景的新型題因其具有知識面覆蓋廣、綜合性強、思維含量高等特點，在實際操作中具有很強的發(fā)展性和創(chuàng)造性，具體體現(xiàn)在命題形式和解題過程上，對其深入進行分析探討，探究解題策略很有必要。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)格新型考題；試題呈現(xiàn)；試題研究；進一步思考

在正方形網(wǎng)格中畫出符合條件的點或線，是天津市中考卷第18題的命題點，此類題已歷7年，現(xiàn)已成為天津市中考卷的區(qū)域亮點.題設(shè)有兩問，第一問求線段長或角，主要圍繞勾股定理展開，比較簡單；第二問所涉及的知識面廣、思維靈活、難度大，對大多數(shù)的考生來講面臨的是一場“挑戰(zhàn)”，但若訓(xùn)練有法還是可以戰(zhàn)勝的，同時開闊思維，提升素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

題目：如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上.

（1）∠ACB的度數(shù)為______；

（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點.以點A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點P逆時針旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為P′.當(dāng)CP′最短時，試用無刻度的直尺，畫出點P′，并簡要說明點P′的位置是如何找到的（不要求證明）.

二、試題研究

1.教材背景

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊習(xí)題23.1第1題第（1）小題“任意畫一個△ABC，作下列旋轉(zhuǎn)：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)40°”，此題是考查旋轉(zhuǎn)的基本作圖題，可以借助圓規(guī)和量角器完成，作用是鞏固旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).習(xí)題23.1第4題“如圖2，分別畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°和180°后的圖形”，此題嘗試在網(wǎng)格中作旋轉(zhuǎn)，可以將△OAB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，找到點A，B的對應(yīng)點A′，B′，再找到點C的對應(yīng)點C′，就可以畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形（如圖3）.此題用無刻度的直尺就可以完成，其依據(jù)是在網(wǎng)格中可以借助全等三角形構(gòu)造等腰直角三角形.

教材習(xí)題3介紹了利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，P旋轉(zhuǎn)后應(yīng)落在BC對應(yīng)邊B'C'上，且AB旋轉(zhuǎn)至AC.這恰好為18題（Ⅱ）問確定B'位置、P'的軌跡積累了作圖經(jīng)驗.習(xí)題4考查在網(wǎng)格中作△ABC的旋轉(zhuǎn)圖形.這與18題（Ⅱ）問僅使用無刻度直尺作圖原理一致.同時，18題（Ⅱ）問當(dāng)CP'最短時，即C1P最短（如圖2，C1為邊AB上點，且AC1=AC），故（Ⅱ）問也可轉(zhuǎn)化為以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，將△C1PB旋轉(zhuǎn)至△CP'B'，這與習(xí)題4顯然同類型，只不過習(xí)題4中旋轉(zhuǎn)角為90°和180°，作圖思維難度更小，可操作性更強.

2.探解法，變換角度尋路徑

題目第（1）小題中，∠ACB=90°.第（2）小題的作法與分析如下.

作法1：取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點D′，E′，連接D′E′交CD于點K；取格點M，N，連接MN交BC延長線于點G；取格點F，連接FG交TC延長線于點P′，則點P′即為所求.

作法2：取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點D′，E′，連接D′E′，取格點I，連接TI交D′E′于點H；取格點M，N，連接MN交BC的延長線于點G；取格點F，延長FG交AH的延長線于點C′；延長TC交C′F于點P′，則點P′即為所求.

作法3：作法同作法2，利用解析式法求解，即在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，通過直線解析式確定特殊點的坐標(biāo)，使問題方便求解.

作法4：取格點D，E，連接DE交網(wǎng)格線于點K；取格點D′，E′，I，I′，連接D′E′，II′交于點H；取格點M，N，M′，N′，連接MN，M′N′交于點G；取格點F，延長FG交AH的延長線于點C′；延長CK交FG于點P′，則點P′即為所求.

作法5：取格點D，E，連接DE交網(wǎng)格線于點K；取格點D′，E′，I，I′，連接D′E′，II′交于點H；取格點M，N，M′，N′，連接MN，M′N′交于點G；取格點F，延長FG交AH的延長線于點C′；延長AC′交網(wǎng)格線于點F′；連接CK交FG于點P′，則點P′即為所求.

從上述作法不難發(fā)現(xiàn)，五種作法的共同點是構(gòu)造全等三角形或相似三角形，關(guān)鍵是找到判定三角形全等的條件.作法2的思考路徑較簡捷，說明此題借助幾何直觀解決更方便些.作法4和作法5在構(gòu)造兩直線平行時，需考慮等角或?qū)?yīng)線段成比例，方法巧妙，但不容易發(fā)現(xiàn).這就是網(wǎng)格中存在的隱含條件，需要在網(wǎng)格中發(fā)現(xiàn)基本圖形，如相似、全等、平行、垂直等.對于作法1和作法2，若能以數(shù)思形，借助圖形進行直觀分析，就可以迅速獲得隱含條件，使問題形象、簡明地得以解決.

三、進一步思考

1.注重梳理總結(jié)，提升識題能力

網(wǎng)格題是近幾年的創(chuàng)新題型，對于學(xué)生來說求解存在一定的難度，但深入分析可以發(fā)現(xiàn)大部分網(wǎng)格題的命制都存在一定的章法，大多還是來源于課本知識，如考題1的垂直平分線的作圖以及考題2的新定義拋物線的計數(shù)，都是對學(xué)生幾何性質(zhì)、定理的考查.因此，在平時的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生對重點知識進行梳理總結(jié)，在掌握基本知識的前提下向知識的綜合應(yīng)

用方向靠攏，對于一些?？碱}要善于從命題角度、知識內(nèi)容、解題方式等方面進行分析總結(jié)，逐步提升學(xué)生的識題能力.

2.開展變式教學(xué)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

網(wǎng)格題背后所代表的教學(xué)深意是創(chuàng)新，涉及方法創(chuàng)新和思維創(chuàng)新.從創(chuàng)新程度上來看，網(wǎng)格題將平面幾何、解析幾何和代數(shù)運算巧妙地用網(wǎng)格的形式結(jié)合起來，求解方法同樣是三者的統(tǒng)一.解題思路也應(yīng)從傳統(tǒng)的單一切入，轉(zhuǎn)化為多角度、多層次、全方位的思考.網(wǎng)格創(chuàng)新題對于學(xué)生的分析能力、推理能力、創(chuàng)新能力提出了更高的要求.因此，在教學(xué)中有必要在例題和習(xí)題的基礎(chǔ)上開展變式創(chuàng)新和解法創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析問題，逐步培養(yǎng)其創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維.

3.善于聯(lián)想遷移，形成轉(zhuǎn)化之法

以圖形的性質(zhì)、判定為依據(jù)，對已做過的基本題中所涉及的圖形及結(jié)論熟記于心，同時以基本圖形為起點進行聯(lián)想，在遷移中逐步轉(zhuǎn)化所求的問題.

據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)稱，除上海外，中考試卷基本都能落實《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下面簡稱"課標(biāo)"）的基本要求，但同時也深深打上了區(qū)域的烙印，有明顯的區(qū)域性導(dǎo)向.作為理科試題，區(qū)域性導(dǎo)向是否會造成教學(xué)的功利性，忽視其他題型對學(xué)生的訓(xùn)練作用，以及演變成各個地區(qū)命題負(fù)責(zé)人的個人喜好，我們覺得，命題還是要立足課標(biāo)，依據(jù)課本，關(guān)注初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的十大要素（數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、運算能力、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識），從掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗出發(fā)，從系統(tǒng)、全面、科學(xué)地考查考生的“四基”和“四能”方面去命題.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國玉.常見的幾類網(wǎng)格問題例析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（4）：33-34.

[2]蔡文娟.初中數(shù)學(xué)網(wǎng)格問題例析[J].新高考（升學(xué)考試），2016（5）.