從有理數(shù)到實數(shù)的歷史演進(jìn)

【摘? 要】對于無理數(shù)，中西數(shù)學(xué)家有著不同觀點，折射著不同的科學(xué)文化傳統(tǒng)。從無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)到給出其確切定義，歷經(jīng)了兩千多年的篳路藍(lán)縷之程。從數(shù)學(xué)理性思維角度分析和認(rèn)識這個歷史文化過程，有助于我們理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和嚴(yán)密性，既可提升科學(xué)審美意識和審美能力，同時表明數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】無理數(shù);有理數(shù);戴德金分割

處于當(dāng)今信息化、大數(shù)據(jù)時代，我們每天都會迎來鋪天蓋地的數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)更是無時無刻不在服務(wù)于人類社會。作為數(shù)學(xué)最基本元素的數(shù)，其是從現(xiàn)實生活中經(jīng)過多年的實踐而來，我們看不見摸不著這些美麗的小精靈，但超越了虛擬世界和物質(zhì)世界的局限，擁有著無窮無盡的魅力。然而諸如數(shù)的本質(zhì)是什么？如何定義無理數(shù)？有理數(shù)一樣無理數(shù)多嗎？實數(shù)是什么等問題，即使今天回答起來也并非易事。正如英國哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家羅素（B. Russell，1872-1970）曾說：“人類了解到兩只羊中的2和兩天中的2是同一個概念，竟花了幾千年時間?！蓖瑯尤祟悘恼J(rèn)識自然數(shù)、有理數(shù)，再到實數(shù)也用了兩千多年的時間。

一、《九章算術(shù)》中的無理數(shù)

人有10個手指，計數(shù)時自然會以手指輔助。正是由此開始，人類祖先堆石子，數(shù)貝殼，刻痕計數(shù)，結(jié)繩計數(shù)等，直至創(chuàng)造文字、數(shù)字及算盤、籌算、計算器等計數(shù)用具。這一切皆源于手指計數(shù)基本法則，無疑其自然孕育形成了10進(jìn)制系統(tǒng)。此乃是人類千百年來積累的寶貴智慧財富。

大約在3000多年前，中國古人就已形成了自然數(shù)概念，隨后便掌握了自然數(shù)的運算法則。而在《九章算術(shù)》中，已對分?jǐn)?shù)、正負(fù)數(shù)和無理數(shù)等概念均給出明確而完整的描述。在“少廣”篇的開方術(shù)中寫道，若開之不盡者為不可開，當(dāng)以面命之。故同負(fù)數(shù)一樣，中國古人對無理數(shù)的接納顯得非常從容和自然，且關(guān)于無理數(shù)的應(yīng)用又是那樣得心應(yīng)手。在中國古代數(shù)學(xué)中，“面”常指平面圖形的邊，而這里則應(yīng)是指正方形的一邊。“以面命之”意指將開方不盡的數(shù)借助“面”來表示。

為了表示開方不盡的根數(shù)（無理數(shù)），劉徽在《九章算術(shù)》注釋中建立了小數(shù)概念?！安灰悦婷?，加定法如前，求其微數(shù)（指小數(shù)部分）。微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)?！逼浯笠饩褪怯?0進(jìn)小數(shù)來無限逼近無理數(shù)。這是一條完善實數(shù)系的正確道路，但因劉徽的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了其時代，可惜未能引起后人的足夠重視。

二、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)

“萬物皆數(shù)”是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條。不過他們所說的“數(shù)”僅僅是指有理數(shù)。公元前500年左右，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主要成員之一希帕蘇斯（Hippasus， 約公元前470）發(fā)現(xiàn)了一個驚人事實：邊長為1的正方形，其對角線長度不可公度（即不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示）。那這個數(shù)是什么，既不是整數(shù)，也非有理數(shù)。該發(fā)現(xiàn)很快引起了該學(xué)派的恐慌，認(rèn)為其動搖了他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。因畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把抽象數(shù)作為萬物本原，他們研究數(shù)之目的是試圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙永恒真理?！叭f物皆數(shù)”是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一種信念，是其宗教、哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)。而無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)徹底擊碎了其基本信念，致使整個學(xué)派失去了賴以存在的基礎(chǔ)。對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來說，整數(shù)是一切的基礎(chǔ)，認(rèn)為任何事物皆可由整數(shù)表示出來。但無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)使整數(shù)的原子地位受到了質(zhì)疑，這就是該學(xué)派乃至整個希臘數(shù)學(xué)最為恐懼的科學(xué)事實。

希帕蘇斯第一次揭示了有理數(shù)系不能同連續(xù)直線同等看待，有理數(shù)并未布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡直多得“不可勝數(shù)”。故古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)設(shè)想徹底破滅了。

不可公度的本質(zhì)是什么？兩個不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻之?dāng)?shù)。意大利畫家達(dá)芬·奇（Leonardo di ser Piero da Vinci，1452-1519）稱之“無理之?dāng)?shù)”，德國天文學(xué)家開普勒（J. Kepler， 1571-1630）稱之“不可名狀之?dāng)?shù)”等。后逐步定名為“無理數(shù)”。故我們今天所說的“無理數(shù)”并非“無理”，實為“不可通約”之意。

三、戴德金分割

直到文藝復(fù)興時期，如何定義無理數(shù)仍在探索之中。數(shù)學(xué)家斯蒂費爾（Michael Stifel，1486-1567）曾使用各種無理數(shù)，甚至還用過[a+bnm]這種在當(dāng)時來說是新型的無理數(shù)。但他承認(rèn)：“當(dāng)我們想把它們數(shù)出來（用十進(jìn)制小數(shù)的形式）時，卻發(fā)現(xiàn)它們無止境地往遠(yuǎn)處跑，因而沒有一個無理數(shù)實質(zhì)上能被我們準(zhǔn)確地掌握住。而本身缺乏準(zhǔn)確性的東西，就不能稱其為真正的數(shù)。故正如無窮大不是數(shù)一樣，無理數(shù)也不是真正的數(shù)，而是隱藏在一種迷霧后面的東西?！?/p>

嚴(yán)密無理數(shù)定義直到1857年才給出，第一個給出者是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）。他先從自然數(shù)出發(fā)定義有理數(shù)，然后通過無窮多個有理數(shù)集合來定義實數(shù)。其定義不需引入新的數(shù)學(xué)對象作為無理數(shù)，而是承認(rèn)10進(jìn)制有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而10進(jìn)制無限不循環(huán)小數(shù)則是無理數(shù)。在推理過程中，魏爾斯特拉斯最初只是將無理數(shù)看成一個純粹記號，一個尚不清楚其意義的數(shù)學(xué)對象。后在10進(jìn)制小數(shù)全體集合內(nèi)引入加法和乘法運算，并規(guī)定其中任何兩個數(shù)之間的序，驗證了其滿足域公理、序公理、阿基米德公理和連續(xù)性公理。再經(jīng)過多步邏輯推導(dǎo)，最終給出了嚴(yán)密的實數(shù)定義。

1872年，戴德金（J.W.R.Dedekind，1831-1916）、康托爾（G. Cantor， 1845-1918）、梅雷（Melay）和海涅（Heine）等數(shù)學(xué)家?guī)缀跬瑫r發(fā)表了其各自的實數(shù)理論。其中戴德金從連續(xù)性要求出發(fā)，用有理數(shù)“分割”來定義無理數(shù)。

戴德金所應(yīng)用方法被稱之戴德金分割。他把有理數(shù)集Q劃分為兩個非空且不相交子集[A1]和[A2]，并使對[?a1][∈][A1]，[?a2][∈][A2]，總有[a1<a2]。一個實數(shù)[a]被定義成上述有理數(shù)的一個分割，即[a=（A1，A2）]?？梢姡行┓指钍怯欣頂?shù)產(chǎn)生，這時或[A1]有最大元素，或[A2]有最小元素。如：

[A1]=[a1a1≤12，a1∈Q]，[A2=Q-][A1]，

[A1]具有最大元素[12]，就稱分割（[A1]，[A2]）定義了有理數(shù)[12]。但在這種情況下，同一個有理數(shù)會產(chǎn)生兩個分割，即它可能是[A1]的最大元素，也可能是[A2]的最小元素，這時則認(rèn)為這兩個分割是相同的。而有些分割不是由有理數(shù)產(chǎn)生，這時[A1]和[A2]皆無最大或最小元素，此時則稱分割（[A1]，[A2]）定義了一個無理數(shù)。例如：[A1]=[a1a12>2，a1>0，a1∈Q]，[A2=Q-][A1]，可知，在[A1]和[A2]中不存在最大和最小的元素，這樣分割（[A1]，[A2]）就定義了無理數(shù)[2]。戴德金對無理數(shù)的定義，在數(shù)軸上可以被粗略地解釋為，每個有理數(shù)根據(jù)其大小和正負(fù)都唯一地對應(yīng)于數(shù)軸上的一個點，而無理數(shù)被定義在有理數(shù)所形成的“空隙”中。如此，戴德金就把實數(shù)集R定義為有理數(shù)集Q的一切分割。

康托爾則在不假定無理數(shù)存在的條件下，通過“基本級數(shù)”引入了無理數(shù)。他不僅給出了無理數(shù)理論較為詳細(xì)的論述，還引進(jìn)了實數(shù)理論，明確指出實數(shù)既包含有理數(shù)又包含無理數(shù)。同時康托爾還定義了實數(shù)的四則運算和兩個實數(shù)的不等關(guān)系，進(jìn)而得出了著名的戴德金-康托公理：直線上任意一點皆與實數(shù)一一對應(yīng)。

任何科學(xué)發(fā)展皆非一帆風(fēng)順，而是在奮斗中一步步砥礪前行。從無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)至給出其嚴(yán)格定義歷經(jīng)了兩千余年篳路藍(lán)縷之程，其所引發(fā)的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的科學(xué)影響，促使人們從依靠直覺、經(jīng)驗而轉(zhuǎn)向邏輯證明，推動了公理化體系的發(fā)展，孕育了微積分思想，進(jìn)而產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

注：本文為國家社會科學(xué)基金資助項目“李善蘭傳播西方科學(xué)歷史研究”（課題編號：16XSS003）。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐傳勝.圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派研究[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：袁玉曉（1966-），男，漢族，山東臨沭人，理學(xué)學(xué)士，高級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)和教育。

（責(zé)任編輯? 袁 霜）