借助極徑ρ巧妙設(shè)計直線的參數(shù)方程

張方方

摘 要：從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的極坐標(biāo)中ρ的意義，從而推廣得到直線的參數(shù)t的幾何意義，進(jìn)而得到直線的參數(shù)方程，即從已經(jīng)學(xué)過的知識通過構(gòu)建支架，讓學(xué)生達(dá)到一個更高的水平，符合最近發(fā)展區(qū)理論以及先行組織者理論。

關(guān)鍵詞：極徑;直線;參數(shù)

筆者每每在“直線的參數(shù)方程”新授課過程中，學(xué)生總是很難理解參數(shù)t的幾何意義，自己也嘗試翻閱了資料發(fā)現(xiàn)同仁們對于直線的參數(shù)方程有很多很好的教學(xué)設(shè)計，例如浙江省杭州市余杭高級中學(xué)曹鳳山老師采用從特殊到一般，從數(shù)軸上理解直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義;南京師范大學(xué)附屬中學(xué)丁菁老師先已知直線上定點M0（x0，y0），以及傾斜角α，則當(dāng)直線上的點M（x，y）在M0上方時，當(dāng)直線上的點M（x，y）在M0下方時，從而歸納出直線的參數(shù)方程，t的幾何意義為|t|=|M0M|，即直線上任意一點M到M0的距離，這也是很多教師設(shè)計直線的參數(shù)的方程的普遍做法。筆者也嘗試過用以上的方法來設(shè)計這節(jié)課，但效果不佳，如何更好的引導(dǎo)學(xué)生理解t的幾何意義呢？“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，為什么不可以從極坐標(biāo)方程中ρ的幾何意義來引導(dǎo)推出t的幾何意義。于是筆者通過極坐標(biāo)方程ρ巧妙設(shè)計直線的參數(shù)方程的一堂課。

參照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》的要求，作為第一課時，確定如下的教學(xué)目標(biāo)：從特殊到一般，從極坐標(biāo)中M（ρ，θ）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)（x，y）的過程理解ρ的意義，從而推廣得到直線的參數(shù)方程，理解其幾何意義;直線的參數(shù)方程的簡單運用，體會到直線參數(shù)方程相對于普通方程的優(yōu)越性，提升數(shù)學(xué)運算能力;借助極坐標(biāo)中極徑ρ推廣得到直線的參數(shù)方程的過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移能力，數(shù)形結(jié)合能力，提高數(shù)學(xué)抽象.邏輯推理核心素養(yǎng)。問題1：在物理或者數(shù)學(xué)中，哪些量是存在正負(fù)的？問題2：確定一條直線需要幾個條件？設(shè)計意圖：問題的設(shè)計可以讓學(xué)生回憶出位移，向量以及剛剛學(xué)習(xí)的極坐標(biāo)中ρ這些量;問題?的設(shè)計可以讓學(xué)生回憶起確定直線的兩個條件：兩個點或一個點及其傾斜角，從而歸納出直線一旦確定，則直線上任意一點都已確定，為引出直線的參數(shù)t，直線的參數(shù)方程做好鋪墊。探究一：在極坐標(biāo)中，直線中取兩點，將其轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，并回答ρ=2，ρ=1的幾何意義。探究二：若已知直線，以及直線上定點M0（1，1），則直線上任意一點M（x，y）能否用M0及其θ表示出來？師生活動：有了探究一的鋪墊，有學(xué)生回答為當(dāng)M點在M0上方時，，當(dāng)M點在M0下方時，。此時教師再追問該學(xué)生，從你的回答可知不管M點在M0上方或者下方，ρ都要滿足大于0，但是從剛剛探究一可知ρ一定大于0？

師生活動：此時學(xué)生幡然醒悟，這時教師順勢要學(xué)生歸納出已知定點M0（1，1），并指出ρ一般用在極坐標(biāo)中，因此通常在直角坐標(biāo)系中，ρ用t來代替，此時t完美的完成了ρ的交接，并指出t的幾何意義，t表示M0到M之間的位移，數(shù)量來表示，當(dāng)M點在M0上方時，t>0;當(dāng)M點在M0下方時，t<0，當(dāng)M點在M0重合時，t=0，|t|表示M0M之間距離。

探究三：提問學(xué)生，能否將此直線一般化，寫出直線過定點M0（x0，y0），及其傾斜角θ的直線的參數(shù)方程。設(shè)計意圖：探究一到探究三從易到難，從特殊到一般，環(huán)環(huán)相扣，最終攻破本節(jié)課難點。從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的極坐標(biāo)中ρ的意義，從而推廣得到直線的參數(shù)t的幾何意義，進(jìn)而得到直線的參數(shù)方程。這也是本節(jié)課的精彩之處，從已經(jīng)學(xué)過的知識通過構(gòu)建支架，讓學(xué)生達(dá)到一個更高的水平，符合最近發(fā)展區(qū)理論以及先行組織者理論。

寫出過定點（2，-4），傾斜角為Π的直線的一個參數(shù)方程;設(shè)計意圖：理解直線的參數(shù)方程的形式特征，體驗寫出直線參數(shù)方程的步驟與方法，為運用直線的參數(shù)方程求解問題做好鋪墊。設(shè)計意圖：對于問題?的解答學(xué)生傾向于聯(lián)立直線與拋物線的普通方程求解，這也是在沒有學(xué)直線的參數(shù)方程時的通法，但計算比較繁瑣，這個時候引導(dǎo)學(xué)生從直線的參數(shù)方程來思考則要簡單的多，特別對于問題?運用直線的參數(shù)方程優(yōu)勢非常大，學(xué)生反應(yīng)很激烈，進(jìn)一步體會到直線參數(shù)方程t的幾何意義。整理總結(jié)歸納提升讓學(xué)生自己歸納出直線的參數(shù)方程的知識點，及其涉及的數(shù)學(xué)思想方法，特別是參數(shù)t的幾何意義和在解決問題過程中用到的從特殊到一般，數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。布置作業(yè)課后思索作業(yè)：課本習(xí)題1.2題

參考文獻(xiàn)

[1]曹鳳山.“直線的參數(shù)方程”（第一課時）教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017，6.

[2]丁菁.“直線的參數(shù)方程”（第一課時）教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017，6.