函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)不等式證明中的應(yīng)用分析

摘 要：在數(shù)學(xué)考試中，證明函數(shù)不等式成立是考試的熱點(diǎn)，同時它也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容。在實(shí)際的教學(xué)工作中，筆者發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識時，往往摸不著頭腦，解題思路不明確，有時浪費(fèi)了大量的時間卻得出了錯誤的答案，基于此，本文介紹了函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)不等式的聯(lián)系，并總結(jié)了幾種利用函數(shù)單調(diào)性證明函數(shù)不等式的方法，淺要分析了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)不等式證明中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)單調(diào)性;函數(shù)不等式;不等式證明

前言：不等式證明是最令學(xué)生們頭疼的問題，由于不等式證明的解題模式不是固定不變的，所以學(xué)生在面對這類問題時很容易出現(xiàn)失誤，常此以往就會使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大幅降低，為此，數(shù)學(xué)教師需要轉(zhuǎn)變教學(xué)方法，使學(xué)生全面掌握函數(shù)知識，提升解題效率。

1.函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)不等式概述

函數(shù)知識是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)重點(diǎn)，在數(shù)學(xué)試卷中占有一定的比例，學(xué)生們?nèi)粝胩嵘龜?shù)學(xué)成績，必須全面掌握這部分內(nèi)容。數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)知識的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括函數(shù)奇偶性以及函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生在掌握函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，可以提升自身解決數(shù)學(xué)問題的能力。對于函數(shù)知識來說，常見的考點(diǎn)是利用函數(shù)的單調(diào)性把一些難度較大的數(shù)學(xué)題進(jìn)行化簡，然后展開進(jìn)一步的計(jì)算，可以在提高解題效率的同時，保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。解答函數(shù)問題的基本步驟是通過已知條件，分析數(shù)學(xué)問題，并明確解題的思路，通過此種方法，可以避免在解題的過程中發(fā)生失誤。

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，不等式常用來表示各個變量之間的關(guān)系，在考試內(nèi)容方面，大多考察學(xué)生證明不等式成立的能力，數(shù)學(xué)教師在實(shí)際的教學(xué)過程中，為確保函數(shù)不等式證明活動的順利進(jìn)行，需要引導(dǎo)學(xué)生們利用函數(shù)的單調(diào)性，對函數(shù)不等式進(jìn)行證明。例如：可以用y=f（x）代表函數(shù)的數(shù)值，使其在[a，b]區(qū)間內(nèi)恒成立，則當(dāng)函數(shù)的數(shù)值在（a，b）范圍內(nèi)時，可以求出f（x）>0，使函數(shù)f（x）在（a，b）單調(diào)數(shù)量逐漸增加。除此之外，還可以使y=f（x）在（a，b）范圍內(nèi)小于0，如此一來，則證明此函數(shù)關(guān)系式為逐漸遞減的函數(shù)，進(jìn)而推動函數(shù)不等式證明工作的順利開展。

2.函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)不等式證明中的應(yīng)用

2.1利用函數(shù)單調(diào)性證明區(qū)間不等式成立

在證明不等式成立時，可以用f（x）代表函數(shù)的單調(diào)性，然后在計(jì)算的過程中可以首先對不等式進(jìn)行移項(xiàng)處理，然后開始計(jì)算不不等式，將其中一邊的數(shù)值設(shè)置為0，另一邊為f（x），將題目中的已知條件帶入不等式，求出函數(shù)f（x）的數(shù)值大小，繼而分析函數(shù)單調(diào)性中的符號，指出當(dāng)中存在的問題，在此基礎(chǔ)上提出針對性的解題方法，對函數(shù)f（x）的單調(diào)性進(jìn)行判斷，順利完成不等式證明工作。除了上述方法之外，還可以把函數(shù)不等式中的部分符號用f（x）表示，然后根據(jù)已知條件，判斷f（x）的單調(diào)性，把函數(shù)不等式的范圍帶入到函數(shù)不等式當(dāng)中，求出函數(shù)不等式在端點(diǎn)處的數(shù)值大小，并比較f（x）與計(jì)算結(jié)果的大小。

簡單地來說，利用函數(shù)單調(diào)性證明區(qū)間內(nèi)函數(shù)不等式成立的步驟主要分為3步：（1）采用移項(xiàng)的方法，使函數(shù)不等式一側(cè)為f（x），另一側(cè)是0。（2）求解導(dǎo)函數(shù)，對導(dǎo)函數(shù)的符號進(jìn)行判斷，明確在題目所給的區(qū)間范圍內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)為遞增函數(shù)還是遞減函數(shù)。（3）求出區(qū)間范圍內(nèi)函數(shù)不等式的極限值，將計(jì)算結(jié)果與f（x）的大小進(jìn)行比較。

例如：已知函數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）.

A. B. C. D.

解題時，可先畫出函數(shù)的草圖，并由此判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)題中條件，可以得到，即，在上恒成立，從而得到，即，故選B.

除了上述這種不等式的形式外，還有些不容易直接找出函數(shù)關(guān)系的不等式，這時解題者可以分析函數(shù)的特點(diǎn)，對不等式進(jìn)行變形處理，然后再設(shè)置合適的函數(shù)以及變量，之后再進(jìn)行求解。

2.2利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立問題

在證明不等式恒成立問題時，需要構(gòu)造一個輔助函數(shù)，得出解題所需的函數(shù)，在實(shí)際的證明過程中，如證明h（x）>0（）在區(qū)間D上恒成立的基本方法，是證明f（x）>g（x），然后通過f（x）在區(qū)間D上的單調(diào)性來證明f（x）存在最小值。例如：已知函數(shù)。若關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍。探求參數(shù)的取值范圍問題，可運(yùn)用變量分離法將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用u（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在上（1，+∞）單調(diào)遞增，所以u（x）的最小值為，進(jìn)而可求得a的取值范圍。

對于恒成立和存在性的問題，常用的解法是分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題處理，解題常用的結(jié)論：若a>f（x）有解，則a>f（x）min，若a

總結(jié)：綜上所述，借助函數(shù)單調(diào)性，可以降低不等式證明的難度。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，使學(xué)生的解題思維能力得到進(jìn)一步的提升，提高課堂教學(xué)效率。為此，教師可以充分考慮上述內(nèi)容，提升學(xué)生的解題技巧。

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作者簡介：徐旭芳（1971.11-）;性別：女;籍貫：福建福安;學(xué)歷：本科;單位：福安市高級中學(xué);職稱：中學(xué)一級數(shù)學(xué)教師