離心率范圍問(wèn)題的求解策略

魏小林

摘 要：在高考中常常出現(xiàn)的確定圓錐曲線中離心率的取值范圍問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題往往結(jié)構(gòu)新穎，小巧靈瓏，歷來(lái)為命題者所青睞，為了克服難點(diǎn)，提高教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，誘導(dǎo)引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的求解方法給一總結(jié)歸納。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；培養(yǎng)；中學(xué)數(shù)學(xué)；圓錐曲線；離心率；取值范圍

確定圓錐曲線中離心率取值范圍，是高考試題中常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，需要綜合運(yùn)用各種基本知識(shí)和基本技能。如函數(shù)思想，一元二次不等式的知識(shí)，合理推理論證能力，以及數(shù)形結(jié)合，整體解題的數(shù)學(xué)思想。能夠反映學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，也符合新課程對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生能力的要求。這類(lèi)問(wèn)題往往結(jié)構(gòu)新穎，小巧靈瓏，歷來(lái)為命題者所青睞。針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的求解本文提供了一些常用的策略，供大家參考。

1、數(shù)形結(jié)合創(chuàng)建基本量的不等關(guān)系

例1、已知 、 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足 的點(diǎn) 總在橢圓內(nèi)部，則該橢圓離心率的范圍是

簡(jiǎn)析： ， ，所以點(diǎn) 在以 為圓心 為半徑的圓上

點(diǎn) 在橢圓內(nèi)部， ，從而有

，則 ，由 可知

點(diǎn)評(píng)：利用圓總在橢圓內(nèi)部這一條件，數(shù)形結(jié)合，巧妙的建立起 、 的不等關(guān)系，是解題的關(guān)建。

2、利用焦點(diǎn)三角形構(gòu)建不等關(guān)系

例2、雙曲線 ）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 、 ，若 為其上一點(diǎn)，且 ，求該雙曲線離心率的取值范圍。

簡(jiǎn)析：由雙曲線的定義可知： ，又 ， ，故 ， ，即 ，所以 ，由 可知

。

點(diǎn)評(píng)：利用焦點(diǎn)三角形兩邊長(zhǎng)子之和大于第三邊長(zhǎng)，是建立基本不等關(guān)系的一種常用手段。

3、利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，建立不等關(guān)系

例3、已知橢圓 為橢圓上一點(diǎn)，且 在 軸右側(cè)， 為右頂點(diǎn)， 為原點(diǎn)，若 ，求該橢圓離心率的取值范圍

簡(jiǎn)析：設(shè)點(diǎn)

又 點(diǎn) 在橢圓上，

，即

則 ，即 ，從而由 可知

點(diǎn)評(píng)：橢圓是個(gè)一個(gè)封閉曲線，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足 ， ，利用 在 軸右側(cè)，則 是構(gòu)造不等式的核心和關(guān)鍵。

4、利用函數(shù)思想，通過(guò)求值域確定離心率的范圍

例4、設(shè) ，則雙曲線 的離心率的取值范圍是

簡(jiǎn)析：

，從而由 可知

點(diǎn)評(píng)：建立離心率 關(guān)于參數(shù) 的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的值域，確定離心率的取值范圍，體現(xiàn)了函數(shù)思想的靈活運(yùn)用。

總之，在解析幾何中，求解雙曲線和橢圓的離心率取值范圍的問(wèn)題，其核心和關(guān)鍵是巧妙的建立基本量 、 、 的不等關(guān)系，進(jìn)一步構(gòu)造出離心率 的不等式，通過(guò)解不等式可以確定離心率的取值范圍。

（作者單位：寶雞中學(xué)數(shù)學(xué)組）