數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

鄭春花

【摘要】 ?數(shù)學(xué)學(xué)科是一門抽象性高、邏輯性強(qiáng)的學(xué)科。數(shù)形結(jié)合思想屬于數(shù)學(xué)解題中的一種思路，其將抽象的數(shù)學(xué)變得幾何化，幾何的內(nèi)容變得數(shù)字化。為此，本文就數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)形結(jié)合思想 高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用研究

【中圖分類號(hào)】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A ? 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）08-059-010

“數(shù)形結(jié)合”是一種較為常見的數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用大致可以為兩種情況，一種是利用數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)性求圖形的相關(guān)屬性，另一種是借助圖形的幾何直觀性對(duì)數(shù)據(jù)之間的某種關(guān)系進(jìn)行闡明，簡(jiǎn)單概括就是“以數(shù)解形”與“以形助數(shù)”，兩種方法可以在必要時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，目的都只有一個(gè)，就是讓解題的過程中更為簡(jiǎn)單或直接，讓求解過程更為高效。

1.數(shù)形結(jié)合在高斯運(yùn)算、幾合函數(shù)的應(yīng)用

數(shù)學(xué)作為一門抽象特征明顯的科目，比較難學(xué)，其中的邏輯思維性也很強(qiáng)，學(xué)生必須可以在頭腦中構(gòu)建出一個(gè)框架，利用一些定理或是定義求解。尤其是到了高中階段，數(shù)學(xué)科目的任務(wù)負(fù)擔(dān)更重，知識(shí)點(diǎn)也更難，更為復(fù)雜。因此學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)過程中必須能夠掌握“數(shù)形轉(zhuǎn)換”思想，將抽象的知識(shí)關(guān)系給簡(jiǎn)單化。例如一些代數(shù)問題就可以直接使用幾何的方法呈現(xiàn)出來(lái)，這樣的轉(zhuǎn)換可以更為清晰的理解數(shù)字之間的關(guān)系，讓問題變得直觀，便于學(xué)生思考。所以作為教師，應(yīng)幫助學(xué)生盡早學(xué)會(huì)運(yùn)用這個(gè)方法，同時(shí)做到靈活轉(zhuǎn)化。但是在教學(xué)工作的實(shí)際開展過程中，應(yīng)遵循以下幾個(gè)原則，首先將數(shù)形結(jié)合的解題理念融入到數(shù)據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生盡早接觸，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換的方法，并擁有這種解題思維方式。其次，教學(xué)工作中多使用數(shù)形結(jié)合法解析有代表性的例題或是定理，幫助學(xué)生在后續(xù)的題目練習(xí)中可以舉一反三，靈活使用。例如教師帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)《高斯運(yùn)算》部分知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可以通過例題1+2+3+……100，展開圖形講解形式，讓學(xué)生模仿教師的思考方式，使用圖形解析的方式得到數(shù)據(jù)結(jié)果。

函數(shù)是“代數(shù)”知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容中的重要組成部分，但是此部分知識(shí)點(diǎn)較為復(fù)雜，也是整個(gè)代數(shù)部分中的難點(diǎn)，數(shù)字與數(shù)字之間的邏輯關(guān)系較為抽象。至此教師可以在函數(shù)的關(guān)系上借助圖像形式進(jìn)行表達(dá)，全方位展示函數(shù)變化的規(guī)律，讓學(xué)生可以更為直觀的看到函數(shù)性質(zhì)，并在最短的時(shí)間內(nèi)解答數(shù)量關(guān)系，得到答案。一般情況下，解析式與圖像兩種形式都可對(duì)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，所以一旦解析式較為抽象時(shí)，無(wú)法第一時(shí)間將條件羅列出的關(guān)系清晰掌握，學(xué)生就可以通過圖像的方式協(xié)助理解。

例如教師帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)《函數(shù)的值域》時(shí)，就可以使用“數(shù)形轉(zhuǎn)換”方法，如將方程式程f（x）>g（x）的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行圖形表達(dá)形式的轉(zhuǎn)換，也就是變成y=f（x）與y=g（x）的函數(shù)圖像上有幾個(gè)交點(diǎn)，每個(gè)交點(diǎn)代表一個(gè)解。在求不等式f（x）>g（x）的解集時(shí)可以直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖像在函數(shù)y=g（x）的圖像上方區(qū)域的點(diǎn)與橫坐標(biāo)的幾何。

2.數(shù)形結(jié)合在方程求根中的題目運(yùn)用

在對(duì)方程的根進(jìn)行求解時(shí)，內(nèi)部原理構(gòu)造復(fù)雜，很難直接將方程的根全部求出，此時(shí)就可以直接將其轉(zhuǎn)換為曲線焦點(diǎn)問題進(jìn)行解析，讓問題的難度得到下降。例如教師帶領(lǐng)學(xué)生講解方程“|x2-4x+3=m|有4個(gè)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍”時(shí)，因?yàn)槭乔蟮氖欠匠痰闹袑?shí)數(shù)m的取值范圍，因此，此題目根本不涉及方程的根的具體值，只需要求方程根的個(gè)數(shù)，因此教師可以直接將這道題目轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)問題進(jìn)行解析，直接計(jì)算兩條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。

因此可以直接說|x2-4x+3|=m根的個(gè)數(shù)問題就是函數(shù)y=|x2-4x+3|與函數(shù)y=m圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此時(shí)可以直接畫出一個(gè)拋物線，y=x2-4x+3=（x-2）2-1的圖象，然后將x軸下方的圖像翻折上去，就會(huì)得到y(tǒng)=|x2-4x+3|的圖像，然后再將直線y=m畫出，然后通過觀察圖像可以得到0<m<1時(shí)，兩函數(shù)圖象有4交點(diǎn)，故m的取值范圍是（0，1）。這種利用數(shù)形結(jié)合的方式解決方程問題時(shí)，一定要根據(jù)題目的要求，做出滿足題目條件的圖像，然后通過觀察與轉(zhuǎn)換，讓圖像結(jié)果與等式結(jié)果一致。

3. 數(shù)形結(jié)合在幾何立體圖形中的應(yīng)用

利用圖形轉(zhuǎn)換等式、不等式等一些代數(shù)問題較為常見，但是數(shù)形結(jié)合的解題方式不僅僅局限在圖形協(xié)助解數(shù)上，數(shù)學(xué)計(jì)算同樣可以在立體幾何中大展身手，只是轉(zhuǎn)換的方法上有些差異，需要得到教師與學(xué)生的注意。很多立體幾何圖形要求學(xué)生擁有較強(qiáng)的空間感或是空間想象能力，所以直接使用圖形的方式解決問題難度很大。此時(shí)學(xué)生就可以選擇圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的方式解題，讓問題變得簡(jiǎn)單，使用數(shù)量關(guān)系代替空間想象，尤其在考試期間，這種方法可以讓解題的效率更高，學(xué)生的解題時(shí)間得到節(jié)約后，剩下時(shí)間可用來(lái)做其他題目，可以直接利用描述幾何圖形的方程式解析曲線，并將問題徹底解決。很多幾何圖形的軌跡是可以通過方程式來(lái)解答的，在題目解析中學(xué)生必須對(duì)各個(gè)幾何體的代數(shù)形式進(jìn)行觀察，然后再確定如何求解。如圓的方程式，兩點(diǎn)距離公式、過兩點(diǎn)斜率公式等，這些都是通過方程式對(duì)幾何圖形進(jìn)行的表達(dá)。如習(xí)題實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）2+y2=9求y/x的最大值與最小值。解：等式（x-2）2+y2=9有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r=3為半徑的圓。所以問題可以轉(zhuǎn)化為圓（x-2）2+y2=9上的點(diǎn)P（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率。這樣一來(lái)，方程就可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動(dòng)點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值。由幾何圖像的描繪可見，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，且位置關(guān)系是與圓相切，那么OA的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，可以得最大值為tan60°=√3.

總結(jié)

數(shù)形結(jié)合的方法是數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)、掌握中的一個(gè)捷徑，明確二者之間的轉(zhuǎn)換原理，就可以讓問題的解答更為簡(jiǎn)潔，尤其對(duì)教師來(lái)說，應(yīng)轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的“填鴨式”教學(xué)方法，讓學(xué)生可以根據(jù)題目的設(shè)定，自由切換方法，同時(shí)注意使用過程中的細(xì)節(jié)調(diào)整，盡量做到綜合使用，讓“數(shù)形結(jié)合”方法價(jià)值全面發(fā)揮。

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].中國(guó)校外教育旬刊，2015（5）：106-106.

[2]李曼.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2013（8）.

[3]劉志偉.淺析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（5）：94-94.