巧用數(shù)形結(jié)合 突破教學(xué)瓶頸

江雪香

日本著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家米山國(guó)藏曾指出，使學(xué)生終身受益的并不是學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是銘刻于學(xué)生腦海中的數(shù)學(xué)思想方法。由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)承擔(dān)著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要使命。其中，數(shù)形結(jié)合思想是小學(xué)階段最重要的、最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想方法之一。何謂數(shù)形結(jié)合呢？就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)形的相互轉(zhuǎn)換來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。

“數(shù)”通過(guò)“形”獲得直觀體驗(yàn)，可以迅速而簡(jiǎn)潔地理解數(shù)學(xué)題意，所以有人說(shuō)，一個(gè)圖形勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ);“形”通過(guò)“數(shù)”而得到規(guī)律化的總結(jié)，所以，有萬(wàn)物皆“數(shù)”的感嘆。這里，結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，談一談數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突破教學(xué)瓶頸。

一、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的積極作用

（一）學(xué)生的邏輯思維能力能在數(shù)形結(jié)合的思想下得以提升

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合運(yùn)用主要是通過(guò)數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法來(lái)解決題目中出現(xiàn)的問(wèn)題。數(shù)字既包含題目中的已知條件又包含在做題過(guò)程中推算出來(lái)的結(jié)果，從而將示意圖或者柱狀圖畫出來(lái)，再由曲線圖或者柱狀圖來(lái)解決題目中出現(xiàn)的問(wèn)題，為清晰題目了解題意有更直觀的了解。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用和實(shí)施數(shù)形結(jié)合的思想，更有利于學(xué)生跟著教學(xué)老師的思想和步驟探討題意，能夠幫助學(xué)生利用有限的已知條件在最短的時(shí)間內(nèi)解決問(wèn)題。

（二）學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性能在數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用過(guò)程中得以提升

在小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際開展中，數(shù)形結(jié)合的思想能夠使學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣得以激發(fā)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效率得以提高。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，老師可以根據(jù)學(xué)生在解決問(wèn)題中遇到的麻煩，充分利用數(shù)形結(jié)合思想的好處，推動(dòng)學(xué)生自主思考、自主探索問(wèn)題。隨著探索的不斷深入，使學(xué)生的運(yùn)用能力得以提高。

二、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

（一）利用數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生們的學(xué)習(xí)積極性得以提升

通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，可以讓數(shù)字變得生動(dòng)起來(lái)，這是數(shù)形結(jié)合思想的其中一個(gè)優(yōu)勢(shì)。因?yàn)樾W(xué)生的邏輯為能力和抽象思維水平并不高，所以在面對(duì)較難理解的數(shù)學(xué)題時(shí)往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率不高，學(xué)習(xí)積極性的降低。所以小學(xué)數(shù)學(xué)老師可以利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生們用一種更直觀的方式看待問(wèn)題，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提升學(xué)生們的積極性。

（二）利用數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，可以使學(xué)生較快速度的充分了解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，在促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，幫助學(xué)生不斷的提高理解題目的能力和舉一反三的能力。

（三）利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生的解題效率得以提高

在教學(xué)工作的實(shí)施中，為了使教學(xué)質(zhì)量得以提高，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，不斷地改進(jìn)教學(xué)工作中的授課模式，使學(xué)習(xí)氛圍得以優(yōu)化，鼓勵(lì)所有學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中有所參與，這樣不光可以使學(xué)生的做題速度和效率得以提高，還能夠使學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心得以提升，從而更輕松地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)教師可以在課堂的不同時(shí)間段安排隨堂小考，以此來(lái)對(duì)學(xué)生的解題速度和解題的效率進(jìn)行記錄，并且鼓舞學(xué)生大膽提出問(wèn)題、回答問(wèn)題，從而使其他同學(xué)在解決問(wèn)題的同時(shí)，將當(dāng)堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容再?gòu)?fù)習(xí)一遍，以達(dá)到提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率的目的。所以，在日常的教學(xué)任務(wù)中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)使學(xué)生解決問(wèn)題的效率提高是數(shù)學(xué)教師教學(xué)任務(wù)的重中之重。例如：在解題過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師可以告訴學(xué)生通過(guò)判斷原理圖，從而確定題目所考察的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而提高解題效率。

三、數(shù)形結(jié)合，有效突破教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)難點(diǎn)就是學(xué)生認(rèn)知過(guò)程中矛盾的焦點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中易于混淆的知識(shí)點(diǎn)。它像一塊絆腳石、一只攔路虎，阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的腳步。只有化解難點(diǎn)、解除疑惑才能保證教學(xué)的順暢有效。當(dāng)然，在一定意義上說(shuō)，教學(xué)難點(diǎn)本身也屬于教學(xué)重點(diǎn)。如何有效的突破教學(xué)難點(diǎn)呢？數(shù)形結(jié)合是一種行之有效的方法。如教學(xué)“比一個(gè)數(shù)的幾倍多（少）幾？”“六一節(jié)”小朋友做紅花150朵，比黃花的2倍少10朵，黃花做了多少朵？很多孩子想當(dāng)然地認(rèn)為應(yīng)該這樣列式：150÷2-10=65（朵）。如果教師過(guò)早地拋出正確列式：（150+10）÷2=80（朵），學(xué)生貌似理解了，但過(guò)后遇到類似的題目還是會(huì)用錯(cuò)誤的方法解答。本題的難點(diǎn)是“黃花的2倍的對(duì)應(yīng)量是多少？”教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖就能夠有效地突破這個(gè)理解瓶頸。

在本題中，把黃花的朵數(shù)看作單位“1”，先確定好黃花朵數(shù)的長(zhǎng)度，再讓學(xué)生想一想再畫紅花朵數(shù)的長(zhǎng)度。啟發(fā)學(xué)生應(yīng)該畫多長(zhǎng)？是黃花的兩倍嗎？當(dāng)然不是，應(yīng)該比2倍少10朵。再追問(wèn)：那么是黃花朵數(shù)的2倍是150嗎？是（150-10）嗎？為什么？學(xué)生就容易理解：不是，紅花150朵本來(lái)就不到黃花的2倍，如果再減10朵，不就比2倍更少了，（150+10）才應(yīng)該是黃花2倍的量。這樣，學(xué)生對(duì)于題意的理解才真正到位，獲得了思維的精彩體驗(yàn)。自然的，本題要求黃花朵數(shù)即一份量，學(xué)生就知道正確列式了。因此，在學(xué)生遇到認(rèn)知障礙時(shí)，適時(shí)引入線段圖，讓圖形把題目中的數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確地、清楚地表達(dá)出來(lái)。這樣讓學(xué)生明白自己錯(cuò)了并知道錯(cuò)在哪里，達(dá)到知其然且知其所以然的效果。本節(jié)課通過(guò)巧用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題用直觀的線段圖表現(xiàn)出來(lái)，有效地突破了難點(diǎn)。

四、數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

現(xiàn)在，部分教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)只滿足于讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，忽視了對(duì)數(shù)學(xué)中更深層次的數(shù)學(xué)思想和方法的挖掘提升。這是非常膚淺的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)更重要的內(nèi)容恰恰是其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，它們才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)課堂上合理利用數(shù)形結(jié)合思想方法，能夠由表及里，由淺入深，有效突破教學(xué)瓶頸，完美地揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。例如，人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《打電話》，這節(jié)課是一節(jié)綜合應(yīng)用實(shí)踐課程。它的教學(xué)內(nèi)容抽象難懂，該如何理解打電話中最優(yōu)方案及其運(yùn)用呢？我做了以下嘗試。出示例題：一個(gè)七人合唱隊(duì)，接到一個(gè)緊急演唱的任務(wù)，教師需要以最快的速度通知每一個(gè)隊(duì)員參與。如果用打電話的方式，每分鐘通知到一個(gè)人。要怎么做才能盡快讓每個(gè)隊(duì)員都接到通知？先讓學(xué)生猜想幾分鐘后能盡快通知到每個(gè)隊(duì)員。然后，教師問(wèn)：“你們準(zhǔn)備用什么方法進(jìn)行驗(yàn)證呢？”學(xué)生提出了可以演一演，算一算，畫一畫的方法。絕大部分同學(xué)采用了畫一畫的方法。

學(xué)生用這樣直觀的圖形表示出自己的想法，從學(xué)生1到學(xué)生4的圖?？梢钥闯鍪且徊揭徊剿伎嫉倪^(guò)程，圖畫得越來(lái)越直觀，也可以看出不同層次的學(xué)生的思考程度也不同。我們用圖清晰地表示出來(lái)合唱隊(duì)有7人的情況，如果合唱隊(duì)有15人，63人，100人……數(shù)據(jù)越來(lái)越大，畫圖法的局限性就顯現(xiàn)出來(lái)了。這時(shí)，“數(shù)”該請(qǐng)上場(chǎng)了。請(qǐng)大家根據(jù)圖（教師把課件定格在學(xué)生4的圖上）填寫以下的表格。

學(xué)生在填表時(shí)前1到3分鐘，直接看圖就可以填了。填到第4分鐘，第5分鐘時(shí)學(xué)生就得思考接下去該怎么填？有沒有什么規(guī)律可循？第n分鐘時(shí)，又該怎么填呢？看似簡(jiǎn)單的表格，卻是學(xué)生觀察、分析、歸納、總結(jié)的過(guò)程?！皵?shù)”的出現(xiàn)使學(xué)生的思維不光停留在圖形的表象，而是揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。讓學(xué)生感受了幾何倍增學(xué)的神奇，進(jìn)一步優(yōu)化了思想，建立了數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)實(shí)踐中，因?yàn)楹侠淼夭捎昧藬?shù)形結(jié)合的方法，不僅課堂流暢、內(nèi)容飽滿，也讓各個(gè)層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到了不同的發(fā)展。

五、以形助數(shù)，理清解決問(wèn)題的思路

數(shù)學(xué)是一門具有抽象性邏輯思維強(qiáng)的科目，對(duì)于小學(xué)生而言，其中有很多的知識(shí)是晦澀難懂的，他們并沒有很好地?cái)?shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，教師一味地采取填鴨式教學(xué)，只會(huì)增加數(shù)學(xué)的枯燥感，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此需要利用思維導(dǎo)圖，將教學(xué)中的晦澀難懂的知識(shí)點(diǎn)或者容易混淆的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行羅列出來(lái)，通過(guò)圖文并茂的形式，更加直觀的解決這些難題，而且能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)這些難題的記憶，加深他們的理解能力，一步步的提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。像在學(xué)習(xí)幾何圖形的過(guò)程中，很多學(xué)生對(duì)等腰三角形、等邊三角形和鈍角三角形三者的概念改不清楚，那么教師從各自的特點(diǎn)出發(fā)，為學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在對(duì)比的學(xué)習(xí)方法中掌握相關(guān)的知識(shí)。

數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，一個(gè)單元里面往往包含了很多小知識(shí)點(diǎn)，二這些小知識(shí)點(diǎn)又分散在單元不同的位置，學(xué)生在進(jìn)行單元學(xué)習(xí)的時(shí)候，往往只會(huì)注重單元的中心內(nèi)容，對(duì)于這些小知識(shí)點(diǎn)很難做到全部的掌握，再加上小學(xué)中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)本身就很雜亂，導(dǎo)致大腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)十分的混亂。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：利用圖形描述問(wèn)題和分析問(wèn)題，有助于復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)明化，從而找到探索問(wèn)題的思路并對(duì)結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)。這就要求教師能引導(dǎo)學(xué)生將抽象的問(wèn)題直觀化、形象化。在學(xué)生動(dòng)手操作過(guò)程中，主動(dòng)思考，突破思維障礙，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的思路和方法。例如人教版五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的加減法混合運(yùn)算》中需要解決《喝牛奶問(wèn)題》：一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了，樂樂一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？

這節(jié)課的學(xué)習(xí)與教學(xué)瓶頸是例題中在沒有出現(xiàn)一個(gè)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，也無(wú)法準(zhǔn)確知道在兌水后喝完的半杯里面牛奶和水分別是多少杯？課前我布置學(xué)生先預(yù)習(xí)，有條件的可以像樂樂那樣喝牛奶。

第二天我檢查預(yù)習(xí)情況時(shí)，聽到所有學(xué)生說(shuō)：“在牛奶里加上水，牛奶味越來(lái)越淡，越來(lái)越難喝?！苯處煟骸盀槭裁磿?huì)越來(lái)越淡呢？”學(xué)生回答：“因?yàn)槔锩婕恿怂！币灿腥苏f(shuō)“水多了牛奶少了”。這些是學(xué)生最感性的認(rèn)識(shí)。教師追問(wèn)：“第一次兌水后，樂樂分別喝了多少杯牛奶，多少杯水？”這個(gè)問(wèn)題一拋出，教室里頓時(shí)安靜了。教師：“我們可以用什么方法來(lái)分析呢？對(duì)，大家可以畫一畫，那請(qǐng)把自己的想法試著畫出來(lái)吧?！?/p>

像圖1這樣畫的學(xué)生對(duì)第二次喝牛奶還只有一個(gè)整體的感受。

像圖2這樣畫的學(xué)生是這樣解釋的：第二次喝掉的半杯里一半是牛奶，一半是水。因?yàn)榕Ｄ毯退旌显谝黄鹆?。這時(shí)喝的牛奶是半杯的一半，所以也就是整杯的1/4。水也喝了1/4杯。牛奶一共喝1/2+1/4=3/4杯。像圖3這樣的圖畫的也非常地直觀，他的解釋同圖2的學(xué)生。教學(xué)中，教師放手讓學(xué)生把自己的想法借助圖形展開分析、想象，既幫助學(xué)生理解了題意，又直觀地畫出了第二次喝的半杯里牛奶和水分別是多少杯。學(xué)生從圖中一眼就看明白了難懂的[12]杯的一半與整杯之間的關(guān)系。本課中用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，為這無(wú)一具體數(shù)字的題目探索了解決問(wèn)題的思路和方法。可見，數(shù)學(xué)教學(xué)中巧用數(shù)形結(jié)合，既可以把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀明了化;也可以把習(xí)以為常的生活問(wèn)題提煉成數(shù)學(xué)知識(shí)、揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。從而，突破教學(xué)瓶頸，打通教學(xué)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。作為一種行之有效的數(shù)學(xué)方法，教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，逐步培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，實(shí)現(xiàn)讓數(shù)形結(jié)合為學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)世界的教學(xué)目的。

（責(zé)任編輯? 范娛艷）