“問題導(dǎo)學”下的高三復(fù)習解題思維訓(xùn)練

林興旺

摘 要：”問題導(dǎo)學式”教學模式以問題解決為中心，通過發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、創(chuàng)造性的解決問題等步驟去掌握知識、培養(yǎng)創(chuàng)造能力和創(chuàng)新精神。讓“學”于生，導(dǎo)“學”于師，切實把“時間”還給學生，把“思維導(dǎo)”給學生，才能真正實現(xiàn)師生共進步，同成長。高三數(shù)學解題思維訓(xùn)練是高三復(fù)習中的重中之重，學生思維的廣度與深度決定了學生在高三復(fù)習的質(zhì)量，本文章旨在通過“問題導(dǎo)學”的教學方式對學生的解題思維做個精確引導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：問題導(dǎo)學;解題;思維訓(xùn)練

一、精巧設(shè)問，引導(dǎo)思維方向，提高思維品質(zhì)

例1：已知函數(shù)f（x）=e-x+ax，a∈R

（1）試討論函數(shù)f（x）的最值;（2）若a=0，求證：.

解析提問：

師問：若要求函數(shù)的最值，該怎么辦？

學生：求導(dǎo)，看函數(shù)單調(diào)性。

師問：，怎么討論單調(diào)性？

學生：①討論方程f'（x）=0有沒有解？②討論f'（x）=0有根的話，有幾個根，根誰大誰??？

師問1：明顯要對參數(shù)a進行討論，應(yīng)該怎么討論？

同學1答：令f'（x）=0，則aex-1=0，則，所以

同學2答：未必有解，若a=0或a<0，則f'（x）=0無解.

師答：回答的非常好，方程f'（x）=0有沒有解是我們經(jīng)常討論的一個方向，那么該題討論方向明確后，我們怎么書寫呢？

同學3：（1）.①若a≤0，則f'（x）<0在R上恒成立，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，沒有最值.②若a>0，則令f'（x）=0，則aex-1=0，則，所以

所以，當時，f'（x）<0，當時，f'（x）>0，所以，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，f（x）取到最小值a-alna，沒有最大值.

師：非常好，書寫格式規(guī)范簡單自然！

師：很自然的思路：設(shè)現(xiàn)在該怎么去證明g（x）的最小值都恒大于0呢？思路延伸：求導(dǎo)，g'（x）=-e-x+x，依然還是很自然的思路，該方程有沒有解，發(fā)現(xiàn)解不出來，怎么辦？

生答1：再求導(dǎo)，學生書寫如下：

設(shè)k（x）=g'（x）=-e-x+x，則k'（x）=ex+1>0恒成立，所以k（x）在R上單調(diào)遞增。

所以k（x）=g'（x）=0有唯一解，不妨設(shè)為x0，則g'（x）=-e-x0+x0=0

所以，

問：怎么確定x0

答：因為g'（0）=-1<0，，所以x0∈（0，1）

且x∈（-∞，x0）時，g'（x）<0，x∈（x0，+∞）時，g'（x）>0，

所以，函數(shù)g（x）在（-∞，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以，x=x0時，g（x）取到最小值，

又因為x0∈（0，1），所以.

問：你完美證明了嗎？

答：還沒有證明好（羞澀），但是解題思路我感覺是對的，怎么會出錯了呢？

問：為什么最后是大于而不是大于0，怎么來的.

答：我是把0代入得到的，有沒有可能不是0代入，而是其他值代入，那就意味著零點范圍可以再縮??？

問：怎么縮??？

答：可以用二分法（驚喜），如果零點不是在（0，1），那么縮小之后的范圍只可能是或者，所以只需看下的符號啦。

通過計算發(fā)現(xiàn)，所以，

那么，，，至此，不等式得證！

有的時候一道題目的討論經(jīng)常追求熱鬧，顧左右而言他，這無疑會浪費課堂時間，使得課堂拖沓，繁冗，所以題目的追問設(shè)計要精簡，思維的引導(dǎo)要一擊即中，讓學生在討論中沉迷其中不可自拔，不知不覺提高思維品質(zhì).

二、以教師為主導(dǎo)設(shè)問，學生為主體討論，引導(dǎo)學生多向思維發(fā)展

問題導(dǎo)學模式也就是以問題解決為主干，在解決問題的過程中去習得知識，問題的解決構(gòu)成了主要的學習過程，自主學習、合作學習、展示探究為其主要的學習方式。在教師指導(dǎo)下，學生“自主、合作、探究”，把課堂的空間與時間盡可能還給學生，提高學生的能力素質(zhì)。

當時，函數(shù)取得最大值，求的值.

問題1：函數(shù)f（x）的最大值為多少？求得最大值時，x是什么狀態(tài)？

問題2：三角函數(shù)怎么化簡？

1.學生審題，分組討論學生間自主學習思考討論后，展示交流.

2.學生板演并回答問題

學生討論過后，教師選取兩組進行板演并說明：

學生板演1：（其中）

因為時，函數(shù)取得最大值

即，所以

那么

學生板演2：所以函數(shù)最大值為

因為時，函數(shù)取得最大值

教師總結(jié)：從兩組學生討論后板演情況來看，情況令人欣喜，第一組從最大值入手，經(jīng)過三角恒等變換，得到答案，公式熟練，概念清晰，第二組從輔助角公式入手，挖掘出要使得取到最大值必須要讓，從而，進而得到，思維之精妙令人驚嘆！問題導(dǎo)學下的高三復(fù)習題解題，教師引導(dǎo)學生解決問題，學生討論解決該問題，思維方法也許不是最佳解決辦法，但是學生的思維發(fā)展可能性多種多樣，學生的思維廣度更廣！

三、以變式問題為引，引導(dǎo)學生思維深度轉(zhuǎn)化

例3.（2017全國1）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），，中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.

做完這道題，學生普遍反應(yīng)第一步?jīng)]有問題，第二步問題較大，特別是條件的轉(zhuǎn)化到結(jié)論證明之間不敢下筆，不能計算，不會思維！

學生問：由斜率之和等于-1，能得到什么，它和直線過定點有關(guān)系嗎？完全沒有辦法預(yù)料，如果花了時間得不了分，那不是虧大了嗎？

老師思考學生的問題：是什么問題導(dǎo)致學生信心不足，裹足不前不敢算，不敢下筆呢？終究還是思維的開拓性不夠，深度轉(zhuǎn)化力不強，為了解決這個問題，筆者拿出成題進行思維變式轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。

變式1：（2018全國1）設(shè)橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

問題1：本題第二問中，要證明的∠OMA=∠OMB怎么轉(zhuǎn)化的，你是怎么想的？

學生經(jīng)過審題小組討論后回答：∠OMA=∠OMB等價于kMA+kMB=0

問題2：能否簡略說出第二問的完整命題？

學生回答：若過定點F的直線l與C交于A、B兩點，則kMA+kMB=0

答：轉(zhuǎn)化的非常好，至此，往下計算就很常規(guī)啦

接著大家繼續(xù)來看，

問題3：那例題3中第二問的命題是怎么樣的？

答：若直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.且，則l過定點.

問3：發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

答：這兩道題目簡直就是命題中的互逆關(guān)系？

問：那會不會做啦？

答：試一下，應(yīng)該沒問題。

變式2：已知動圓C過定點F（1，0），且與定直線x=1相切

（1）求動圓圓心C的軌跡E的方程;

（2）過點F（-2，0）的任一條直線l與軌跡E交于不同的兩點P、Q，試探究在x軸上是否存在定點N（異于點M），使得∠QNM+∠PNM=π？，若存在，求點N的坐標;若不存在，請說明理由.

老師問：當解決了變式1第二問中的思維轉(zhuǎn)化問題和計算問題，那么大家對第2問有沒有信心

學生答：至少比原來有信心多了，原來高考題就是轉(zhuǎn)變一種條件和思維方向啊，看起來也不是很難嘛？

總結(jié)：教師利用知識間的遷移轉(zhuǎn)化規(guī)律，用連續(xù)小問把思維慢慢引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，讓學生對同類知識進行對比，獲得新知，進一步來說，訓(xùn)練學生思維能力的課型時均可采用此問題引導(dǎo)變形轉(zhuǎn)化的方式來處置，比如，立體幾何中的定點變成動點，以程序框圖為載體的多種知識交融的問題等！數(shù)學教學的有效增長點是教學活動本身的組織結(jié)構(gòu)水平和科學程度，以問題為導(dǎo)學使教學活動結(jié)構(gòu)更能直奔重點，讓學生成為學習的主人，讓他們在主動的積極探索中實現(xiàn)創(chuàng)新、突破，展示自己的才華智慧，提高數(shù)學核心素養(yǎng)。