初一數(shù)學解題教學中回歸定義的價值

李維金

【摘? 要】數(shù)學解題的第一步是審題，這是學生必須明確認識到的，掌握題干中的關(guān)鍵詞和對定義的使用要求是學生解答數(shù)學題目的基礎(chǔ)和依據(jù)，是學生必須熟練掌握的能力。學生必須重視審題，重視扎實掌握教材中的原始定義，充分發(fā)揮定義的意義和價值，完成數(shù)學題目的解答。數(shù)學家波利亞從明確提出“回到定義上去”的觀點，這說明在數(shù)學家波利亞看來“回到定義上去”是數(shù)學學習中重要的思維活動和解題流程;數(shù)學家帕斯卡也提出過這樣的觀點，即“用定義中的事實來代替被定義的術(shù)語”，說明了“回到定義上去”是數(shù)學家們普遍認同的一種數(shù)學解題策略，在實際教學過程中我們也可以發(fā)現(xiàn)，不能正確地理解定義中的文字表達的思想，就無法準確應(yīng)用定義，不能正確理解題干中的文字表達的思想，就無法尋找到正確的定義，不能正確解題。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;解題教學;回歸定義;應(yīng)用

一、抓住數(shù)學題干已知條件中給出的關(guān)鍵詞進行回歸

有些數(shù)學題目在題干中會隱藏關(guān)鍵詞，有些題目則會直接給出關(guān)鍵詞，直指相關(guān)的數(shù)學定義、概念、公式的名稱，這種已經(jīng)給出的關(guān)鍵詞就是解決這一題目的重要工具，學生在面對這樣的題目時，只要能準確抓住已知的關(guān)鍵詞，就能順利找到解題思路，解題也就成功了一大半，因此，教師要重視對學生此方面的培養(yǎng)，提高學生的數(shù)學知識應(yīng)用能力。

例：當代數(shù)式2a3bn和3am+1b4是同類項時，代數(shù)式m-2n的值是多少？

根據(jù)題干的已知條件可知，求的是代數(shù)式m-2n的值，范圍則是“代數(shù)式2a3bn和3am+1b4是同類項”，很多學生剛看到題目時無法理解，覺得題干中的未知項太多，但細究之下學生們能發(fā)現(xiàn)，題干中“同類項”一詞是關(guān)鍵，是決定了題目走向和最終答案的關(guān)鍵詞，很多學生不明白怎么做是因為沒有抓住關(guān)鍵詞，還有的學生是因為沒有記住“同類項”的定義。這時候，教師要先引導(dǎo)學生回憶“同類項”的定義，根據(jù)同類項的定義去將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學形式，進而求解。同類項是指“所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也分別相同的項”，由“同類項”的定義我們可知代數(shù)式中字母a和b的指數(shù)分別相同，也就是指3=m+1，n=4。由此可分別算出m，n的值，最終得到代數(shù)式m-2n的值。

答：由代數(shù)式2a3bn和3am+1b4是同類項可知，a，b的指數(shù)分別相同，所以3=m+1，n=4，所以m=2，n=4，所以代數(shù)式m-2n=-6。

例：當一個多邊形的內(nèi)角和的1/4倍比外角和少45°時，這個多邊形有幾條邊？

面對這個題目時，很多學生無法確定內(nèi)角和、外角和、1/4倍、45°之間的關(guān)系，不知從而處入手去求解多邊形的正確形狀，通過讀題可知，題干中隱藏著一個等量關(guān)系，一個多邊形的定義，這兩點是解決題目的關(guān)鍵。首先，“A的XX倍又多/少XX是B時”，A和B之間已經(jīng)存在一個文字描述的等量關(guān)系，根據(jù)題干描述可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學形式，即：A[×]1/4+45°=B，其中A為內(nèi)角和，B為外角和。其次，題目涉及多邊形的定義，在多邊形的定義中存在有關(guān)內(nèi)角和、外角和的公式：多邊形內(nèi)角和公式：θ=（n-2）×180°，n為多邊形邊數(shù);多邊形外角和為定值：360°;可以由等量關(guān)系與外角和定值得出內(nèi)角和，根據(jù)內(nèi)角和公式反推出多邊形邊數(shù)。

答：由已知條件可知A[×]1/4+45°=B，其中A為內(nèi)角和，B為外角和=360°，所以A=1260°，又因為A=（n-2）×180°，所以n=9，所以，多邊形為9邊形。

由以上例題的分析解答中可以看出，抓住題干關(guān)鍵詞是非常重要的解題環(huán)節(jié)，有助于挖掘解題思路和解題關(guān)鍵，從而理順數(shù)量關(guān)系。

二、利用題干中數(shù)字、代數(shù)式的特征回歸定義

數(shù)學定義的出現(xiàn)往往伴隨著特殊形態(tài)的數(shù)字形式或代數(shù)式形式，這些特殊形態(tài)都是幫助我們確定應(yīng)該回歸定義方向的關(guān)鍵點，把握住這些具有特征的關(guān)鍵，就能夠挖掘出解題的關(guān)鍵定義、公式、定理，尋找出解題思路，得出結(jié)論。教師在解題教學中要積極引導(dǎo)學生尋找特征，并根據(jù)題目特征回顧相對應(yīng)的定義，理順學生的解題思路，讓他們發(fā)現(xiàn)回歸定義的重要性。

例：|2m-5|+（2m-5n+20）2=0，求（-2m2）-2m（5n-2m）+3n（6m-5n）-3n（4m-5n）的值。

很多學生一看到這個題目就不會了，求解的這個代數(shù)式這么長，怎么辦？很多教師會根據(jù)具體題目計算過程中要求學生先做什么后做什么，比如這道題，有的教師會教學生先將求解的代數(shù)式化簡，然后再做其他的工作，但我不贊成這種教學方法，這道題能先化簡是因為代數(shù)式中數(shù)字關(guān)系、形態(tài)與已知條件關(guān)系不大，有的題目則是關(guān)系很大，先將求解的代數(shù)式化簡這種關(guān)系就有可能看不出來，反而繞彎路，而面對這種不能先化簡的題目，教師又讓學生先看已知條件，這樣前后不一致的教學方法和解題思路會導(dǎo)致一些中等生和學困生無法理解，在“怎么判斷先做哪個后做哪個”這種無用的問題上浪費時間，影響學生的學習積極性。因此，教師應(yīng)當規(guī)范自己的解題思路，一定是先看已知條件，然后結(jié)合問題進行變形，不要將學生帶偏，強調(diào)回歸定義、回歸教材、回歸數(shù)學本源。根據(jù)這個題目的已知條件可知，絕對值和二次方值相加等于0，根據(jù)絕對值和乘方的定義可知，絕對值只能是正數(shù)和0，二次方也只能是正數(shù)和0，兩項相加為0時，只能是兩者都為0，因此可知，2m-5=0，2m-5n+20=0。

答：由已知條件可知 |2m-5|+（2m-5n+20）2=0，根據(jù)絕對值和乘方的概念可知只有兩者都為0時，相加和才能為0，所以2m-5=0，2m-5n+20=0，所以 m=2.5，n=5，將代數(shù)式（-2m2）-2m（5n-2m） + 3n（6m-5n）-3n（4m-5n）化簡可得，原式 = 2m2-4mn，帶入已知條件求解的m=2.5，n=5，可得原式=-12.5。

例：10x= 5，10y= 3時，求102x+3y=？

根據(jù)題干中數(shù)字的形態(tài)特征可知這是關(guān)于冪的求解，其中涉及指數(shù)相加、相乘的問題，由此可知，解答該題目時我們需要用到同底數(shù)冪的相關(guān)定義。關(guān)于同底數(shù)冪的運算性質(zhì)有5種，其中“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”和“同底數(shù)冪乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”兩種是解答該題的關(guān)鍵。

答：由已知條件和冪的運算性質(zhì)可知：“同底數(shù)冪乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，因此，所以 102x+3y=102x[×]103y=（10x）2[×]（10y）3，已知10x =5，10y=3，所以 102x+3y=52×33=675。

三、抓住題目中的數(shù)學符號回歸定義

數(shù)學大致可分為代數(shù)和幾何兩個方面，在進行數(shù)學學習時，數(shù)字與圖形相轉(zhuǎn)化、相結(jié)合的例子比比皆是，是中小學數(shù)學教學中十分常見的一種解題思路，因此，教師除了引導(dǎo)學生進行數(shù)字的定義回歸外，還應(yīng)當加強對幾何問題的回歸定義，將題目中用圖形、文字或數(shù)字表示的數(shù)量關(guān)系、幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為更便捷的形式，進行題目解答，這些被轉(zhuǎn)化的圖形符號、數(shù)學符號就是解題的關(guān)鍵。

例：

上圖的△ABC中，BD=DE=EC，問圖中面積相等的三角形有幾對？

由題干可知，BD=DE=EC，也就是說三角形的BC邊被等分了，所以除了題干條件中的等量關(guān)系外，BE=DC也是成立的。然后再看問題，題目的問題是面積相等的三角形，根據(jù)三角形面積計算的公式可知，三角形面積=底面積×高，在高相等，底面積相等的情況下，三角形面積即相等。

答：由已知條件可知BD = DE =EC，所以D、E將線段BC三等分，BD = DE= CE，BE = CD，因為三角形已經(jīng)固定，則A點到BC邊的垂直距離固定，即三角形的高固定不變，根據(jù)三角形面積計算公式可知，S△ABD=S△ADE ，S△ADE=S△AEC，S△ABD=S△AEC，S△ABE=S△ACD，所以面積相等的三角形有 4 對。

（責任編輯? 袁 霜）

[參考文獻]

[1]王國強.讓思維生長：回歸新定義問題的本質(zhì)[J].中學數(shù)學教學參考，2018（29）：38-40.