逐步抽象：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)然

紀(jì)永海

摘要：在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)概念的抽象無(wú)法簡(jiǎn)單地一蹴而就，也不應(yīng)該是一個(gè)“硬著陸”的過(guò)程，教師需要在直觀（操作）到抽象（概念）之間架起一座橋梁，讓學(xué)生經(jīng)歷基于直觀逐步抽象的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)和理解。具體可以：建立概念表象，讓抽象過(guò)程“看得見(jiàn)”;借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言，讓抽象方式“摸得著”;溝通知識(shí)聯(lián)系，讓抽象本質(zhì)“站得高”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)概念小數(shù)意義

抽象是數(shù)學(xué)概念的基本特征——史寧中教授說(shuō)：“抽象、推理、模型是數(shù)學(xué)基本思想的三個(gè)核心要素。”根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，小學(xué)階段（7—11歲），學(xué)生的思維處于具體運(yùn)算階段，認(rèn)知還離不開(kāi)具體事物的支持。小學(xué)階段是學(xué)生由具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的重要時(shí)期。在這一階段，數(shù)學(xué)概念的抽象無(wú)法簡(jiǎn)單地一蹴而就，也不應(yīng)該是一個(gè)“硬著陸”的過(guò)程，教師需要在直觀（操作）到抽象（概念）之間架起一座橋梁，讓學(xué)生經(jīng)歷基于直觀逐步抽象的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)和理解。下面，以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《小數(shù)的意義》的教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明。

一、建立概念表象：讓抽象過(guò)程“看得見(jiàn)”

美國(guó)著名教育學(xué)家布魯納認(rèn)為，兒童的理解需要經(jīng)歷三種表征：從動(dòng)作表征到映像表征，最后是符號(hào)表征?；谶@一認(rèn)識(shí)，布魯納具體研究了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，認(rèn)為：應(yīng)該按照兒童理解力的發(fā)展程度來(lái)組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，幫助兒童找到抽象概念的直觀基礎(chǔ);根據(jù)兒童認(rèn)知的具體情況，循序漸進(jìn)地將直觀的認(rèn)識(shí)抽象化，逐步形成兒童頭腦中的表象，進(jìn)而形成抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。所謂表象，是以物理屬性、幾何屬性為基礎(chǔ)的表征。心理學(xué)家認(rèn)為，表象以形象的形式存儲(chǔ)，這種形象表征的求知方式往往是由具體進(jìn)入抽象的開(kāi)始。

《小數(shù)的意義》一課，可以把抽象的小數(shù)意義與具體、直觀的刻度尺和長(zhǎng)度單位聯(lián)系起來(lái)，有效降低學(xué)習(xí)的難度：引導(dǎo)學(xué)生依托常見(jiàn)的米尺（實(shí)物或圖示），結(jié)合米和分米、厘米、毫米的關(guān)系，分別用分?jǐn)?shù)、小數(shù)表示多少米，從而淡化單位的作用，建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，明確形式上不同的分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示實(shí)質(zhì)上相同的長(zhǎng)度，以及小數(shù)的意義是以十、百、千……為分母的分?jǐn)?shù)（即以十分之一、百分之一、千分之一……為計(jì)算單位的分?jǐn)?shù)）。這里，具體、直觀的刻度尺和長(zhǎng)度單位能給學(xué)生視覺(jué)記憶刺激，讓學(xué)生的體驗(yàn)更充分、更深刻。進(jìn)而，通過(guò)知覺(jué)的理解作用，超越具體、直觀的事物（動(dòng)作），在思維中產(chǎn)生想象（映像）表征，在頭腦中建立概念表象，從而將思維水平、認(rèn)識(shí)層次逐漸推向“數(shù)學(xué)化”“抽象化”（即各種一般化）。

例如，在分享交流時(shí)，有學(xué)生總結(jié)道：“我發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?米=100厘米，就是把1米平均分成100份，所以幾厘米就表示一百分之幾米，也就是零點(diǎn)零幾米?！边@里，借助由具體、直觀事物建立的概念表象，學(xué)生不需要把所有不同的厘米數(shù)都試一遍，就獲得了一般性的認(rèn)識(shí)。

二、借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言：讓抽象方式“摸得著”

英國(guó)教育家迪恩斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是以遞進(jìn)的方式進(jìn)行的——學(xué)習(xí)過(guò)程中，為了尋找一個(gè)共同的性質(zhì)，學(xué)生往往需要在實(shí)例之間進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”或“翻譯”;接著，進(jìn)一步陳述多種具有這種性質(zhì)的實(shí)例，從而加深對(duì)共同性質(zhì)的理解和掌握;最后，需要用恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言描述發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。在概念表象的基礎(chǔ)上，需要對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行概括，才能形成抽象的數(shù)學(xué)概念。這時(shí)，就需要借助必要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括文字、圖像和符號(hào)語(yǔ)言等）對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行刻畫(huà)，溝通具體、直觀與抽象、普遍。

《小數(shù)的意義》一課，學(xué)生借助常見(jiàn)的米尺，結(jié)合米和分米、厘米、毫米的關(guān)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)與小數(shù)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生把具體、直觀的幾何特性，如5分米=510米=0.5米，9厘米=9100米=0.09米，3毫米=31000米=0.003米，“翻譯”成更為抽象、普遍的代數(shù)特性，如（）10米就是零點(diǎn)幾米，（）100米就是零點(diǎn)零幾米，（）1000米就是零點(diǎn)零零幾米，從而發(fā)現(xiàn)小數(shù)共同的特征：分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)才能寫(xiě)成小數(shù)。

當(dāng)然，這個(gè)發(fā)現(xiàn)還不完善，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)橫向、縱向仔細(xì)觀察、比較圖1所示的分?jǐn)?shù)和小數(shù)，思考、描述小數(shù)的意義，

1分米=110米=0.1米1厘米=1100米=0.01米1毫米=11000米=0.001米

7分米=710米=0.7米9厘米=9100米=0.09米3毫米=31000米=0.003米

9角=910元=0.9元47厘米=47100米=0.47米999千克=9991000噸=0.999噸

……7平方分米=7100平方米=0.07平方米……

圖1如十分之幾表示一位小數(shù)，百分之幾表示兩位小數(shù)，千分之幾表示三位小數(shù)……這樣形成的小數(shù)的意義，不是死記硬背的教條，也不是簡(jiǎn)單機(jī)械的模仿，而是真實(shí)觀察、反思后的成果。

三、溝通知識(shí)聯(lián)系：讓抽象本質(zhì)“站得高”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)?！瓟?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系，處理好局部與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解?！庇谜Z(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)概念，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中只是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，還需與其他節(jié)點(diǎn)建立聯(lián)系，才能真正融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才算完成建構(gòu)與理解——這是最高層次的抽象。

《小數(shù)的意義》一課，學(xué)生認(rèn)識(shí)了具體情境中的小數(shù)，那這個(gè)小數(shù)到底表示什么意思呢？這節(jié)課學(xué)習(xí)的小數(shù)和三年級(jí)學(xué)習(xí)的小數(shù)有什么區(qū)別呢？小數(shù)意義的建構(gòu)與理解，需要進(jìn)一步經(jīng)歷聯(lián)系新、舊知識(shí)的環(huán)節(jié)，充分、深刻認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)究竟是什么關(guān)系。為此，可以設(shè)計(jì)如下“意義升華”的教學(xué)環(huán)節(jié)：

1.談話：剛才借助很多計(jì)量單位認(rèn)識(shí)了小數(shù)，我們還可以借助圖形來(lái)研究。

提問(wèn)：（出示圖2）每個(gè)圖形都表示整數(shù)“1”，你會(huì)用分?jǐn)?shù)和小數(shù)把涂色部分表示出來(lái)嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成，教師指名核對(duì)。

追問(wèn)：這和剛才大家的發(fā)現(xiàn)一致嗎？

追問(wèn)：誰(shuí)知道空白部分用什么小數(shù)來(lái)表示嗎？

2.提問(wèn)：如果沒(méi)有計(jì)量單位、沒(méi)有圖形，你能說(shuō)出這些小數(shù)表示什么意思嗎？

預(yù)設(shè)：0.3是把整數(shù)“1”平均分成10份，表示這樣的3份。0.57是把整數(shù)“1”平均分成100份，表示這樣的57份。0.991是把整數(shù)“1”平均分成1000份，表示這樣的991份。

710（0.7）43100（0.43）91000（0.009）圖2數(shù)形結(jié)合以及進(jìn)一步去掉實(shí)際背景，幫助學(xué)生在更為抽象的層面上理解小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，將小數(shù)的意義從具體的量上升到更抽象的數(shù)，獲得更加豐富、深刻的理解，更為牢固的記憶，為后續(xù)“小數(shù)的計(jì)數(shù)單位”“數(shù)位順序”“四則計(jì)算”等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

在數(shù)學(xué)概念逐步抽象的過(guò)程中，學(xué)生能夠用與他們認(rèn)知特征相適合的形象表征方式進(jìn)行探索，用自己的數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)其中的空間形式或數(shù)量關(guān)系，用自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括其中的數(shù)學(xué)本質(zhì);在對(duì)問(wèn)題的解釋、判斷與推理中，在師生、生生之間的對(duì)話、交流中，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)以及新、舊知識(shí)融合在一起，真正達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí)和理解。