隨機(jī)變量數(shù)字特征的教學(xué)探析

任澤民 李慶玉 黎彬

【摘 要】隨機(jī)變量的數(shù)字特征是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，主要包括數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等。為了提高學(xué)生對(duì)此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果，筆者梳理了部分在教學(xué)過程中使用的技巧，給出了學(xué)生難以理解的三組對(duì)照關(guān)系，主要包括：連續(xù)和離散、期望和方差、一維和高維等。這樣的對(duì)照有助于學(xué)生掌握相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的連貫性。

【關(guān)鍵詞】概率論;隨機(jī)變量;數(shù)字特征;期望與方差

【中圖分類號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）34-0025-02

概率論是理工和財(cái)經(jīng)專業(yè)的重要公共基礎(chǔ)課程，在學(xué)生的培養(yǎng)方案中具有重要的作用。不同的章節(jié)，學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解程度不同。為此，許多教師在教學(xué)過程中提出了各種教學(xué)思考[1，2]。筆者以數(shù)字特征是表征隨機(jī)變量特性的重要依據(jù)為對(duì)象進(jìn)行分析[3，4]。這些數(shù)字特征主要包括數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等。在課堂教學(xué)中，學(xué)生對(duì)此部分內(nèi)容掌握不是很好，尤其是連續(xù)和多維的數(shù)字特征。針對(duì)此現(xiàn)狀，筆者將闡述課程中比較重要的三組對(duì)照關(guān)系，主要包括連續(xù)和離散、期望和方差、一維和高維。這三組對(duì)照關(guān)系有助于學(xué)生消化此部分內(nèi)容。

2? ?隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差

隨機(jī)變量的期望是反映變量平均取值的一個(gè)量。方差是用來體現(xiàn)變量取值分散程度的一個(gè)量。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)期望的理解尚可，但對(duì)方差的掌握僅僅存在于表面。

為此，筆者重點(diǎn)論述期望和方差之間的關(guān)系。隨機(jī)變量與均值的偏離程度通?？梢岳没騺砜坍?。方差可用這種偏離程度的均值表示，依據(jù)期望的意義其可以表示為。方差越小指代變量比較集中在均值附近，方差越大指代變量取值越分散。

從這個(gè)層面上看，隨機(jī)變量的方差本質(zhì)上來源于數(shù)學(xué)期望。因而，期望的一些重要性質(zhì)和計(jì)算公式在方差的計(jì)算中可以使用。故在教學(xué)過程中應(yīng)提醒學(xué)生注意期望和方差彼此之間的概念聯(lián)系，如方差的計(jì)算公式的推導(dǎo)。

在這個(gè)推導(dǎo)中，用到了許多期望基本性質(zhì)，主要有：①數(shù)學(xué)期望本質(zhì)上是一個(gè)常數(shù)，而常數(shù)的數(shù)學(xué)期望是其本身，即;②隨機(jī)變量的常數(shù)倍的期望等于變量期望的常數(shù)倍，即;③隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于期望之和。方差的計(jì)算公式可簡(jiǎn)記為方差等于平方的期望減期望的平方，其計(jì)算需借助期望，即需要首先算出本身的期望，同時(shí)計(jì)算出平方的期望。

例1 離散型隨機(jī)變量的分布律見表1，嘗試計(jì)算變量的方差。

解 按照上述的公式分別計(jì)算變量和的期望，而后計(jì)算出：

3? ?一維和高維隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一維隨機(jī)變量數(shù)字特征在理解和直觀想象上相對(duì)比較容易。但學(xué)生對(duì)高維隨機(jī)變量數(shù)字特征的掌握相對(duì)比較難。為此，應(yīng)完成一維到高維的完美過度。在討論高維變量每個(gè)分量的期望和方差時(shí)，方法與一維相似。除了討論期望和方差外，還需考察反映分量間聯(lián)系的數(shù)字特征，如隨機(jī)變量間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。

例2 已知函數(shù)為二維隨機(jī)變量的概率密度，計(jì)算期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征，并判斷兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立。

4? ?結(jié)束語

在隨機(jī)變量數(shù)字特征這一章節(jié)中，各數(shù)字特征是相對(duì)獨(dú)立的概念，但又交織在一起。為了知識(shí)的貫通性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程應(yīng)注重彼此間的聯(lián)系。本文給出了三組對(duì)照關(guān)系，希望可以幫助學(xué)生理解這部分的內(nèi)容。

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬學(xué)思，李明.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)改革[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011（13）.

[2]鄧華玲，傅麗芳，孟軍，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的改革與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004（1）.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2018.

[4]吳翊，汪文浩，楊文強(qiáng).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2016.

【作者簡(jiǎn)介】

任澤民（1985～），男，漢族，山東棗莊人，博士，副教授，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)與人工智能。