圖形聯(lián)袂求極值　數(shù)理攜手筑思維

張彥升　徐恒震　張麗萍

摘? ?要：針對三則富有代表性的連接體極值問題的案例進(jìn)行剖析，并巧以圖像法嵌入，以此將物理問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將物理過程轉(zhuǎn)化為圖像語言，由此實(shí)現(xiàn)問題解決與思維培植的雙贏，進(jìn)而獲得學(xué)科素養(yǎng)之科學(xué)思維的提高。

關(guān)鍵詞：高中物理;連接體極值問題;圖像法

中圖分類號：G633.7? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2019）32-0004-03

物理學(xué)中的連接體泛指兩個（或兩個以上）物體通過疊放、媒介（輕繩、輕桿、滑輪）等維系所構(gòu)成的系統(tǒng)。連接體問題具有過程復(fù)雜、對象多元、綜合抽象等特點(diǎn)，其中的連接體極值問題（也有稱臨界問題）是物體的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生突變的邊界狀態(tài)，其相應(yīng)物理量的臨界值（能量極值、速度極值、位移極值）是考查學(xué)生邏輯思維、發(fā)散思維的著力點(diǎn)。通過巧妙搭建a-t圖、v-t圖能將其化隱為顯、化難為易、化冗為簡，即使問題解決與思維培植同步共贏，現(xiàn)擇三例進(jìn)行闡釋。

一、案例1：v-t圖趣解能量極值

如圖1所示，物塊A、B通過彈簧相連，已知所有接觸面光滑，彈簧起始處于自然伸長狀態(tài)，兩物塊質(zhì)量相等。現(xiàn)對物塊A施加一水平向右的恒力F，物塊A、B從靜止開始向右運(yùn)動，則下列說法中正確的是（? ?）

A.彈簧第一次達(dá)到最長時，系統(tǒng)動能最大

B.彈簧第一次達(dá)到最長時，系統(tǒng)彈性勢能最大

C.當(dāng)A、B加速度相等時，系統(tǒng)的機(jī)械能最大

D.當(dāng)A、B加速度相等時，兩者的動能之差最大

【試題解析】A物體：F-kx=maA，B物體：kx=maB，隨著彈簧伸長量x的增大，A做加速度減小的變加速運(yùn)動，B做加速度增大的變加速運(yùn)動，據(jù)此繪制圖2。由圖像可知：在t1時刻兩者加速度相等，速度差最大，動能差最大;在t2時刻兩者速度達(dá)到最大，系統(tǒng)動能最大，面積差最大，彈簧伸長量最大，彈性勢能最大，則機(jī)械能也最大，故正確選項為ABD。

【思維解析】該題目源于2009年江蘇卷第9

題的變形，體現(xiàn)了以下思維及特點(diǎn)：1.數(shù)形思維：v-t圖能以斜率表征加速度的動態(tài)變化，同時使研究對象的運(yùn)動過程更加清晰化、直觀化，以數(shù)解形、以形助數(shù)，彰顯了數(shù)形思維;2.模型思維：連接體本身是一種物理模型，在彈簧被拉長的過程中，當(dāng)彈簧彈力與拉力大小相等時必然出現(xiàn)臨界狀態(tài)，產(chǎn)生極值問題，以模型為依托則能去粗取精，訓(xùn)練抽象思維;3.思維的靈活性：在解題中以隔離法明晰研究對象的加速度，由加速度推理速度，由速度推理位移，由位移推理能量，步步為營、節(jié)節(jié)推進(jìn)，如此趣解物理問題，可體現(xiàn)思維的靈活性。

二、案例2：v-t圖巧解位移極值

一長木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物塊，在木板右方有一墻壁，木板右端與墻壁的距離為4.5m，如圖3所示。t=0時刻開始，小物塊與木板一起以共同速度向右運(yùn)動，直至t=1s時木板與墻壁碰撞（碰撞時間極短）。碰撞前后木板速度大小不變，方向相反，運(yùn)動過程中小物塊始終未脫離木板。已知碰撞后1s時間內(nèi)小物塊的v-t圖線如圖4所示。已知滑板與地面、物塊間的動摩擦因數(shù)分別為μ1=0.1，和μ2=0.4，木板的質(zhì)量是小物塊質(zhì)量的15倍，重力加速度大小取10m/s2.求：

（1）木板的最小長度;（2）木板右端離墻壁的最終距離。

【試題解析】（1）規(guī)定向右為正方向。設(shè)經(jīng)過t1，木板與物塊具有共同速度v，碰后物塊和木板加速度分別為a1、a2，速度為v1、-v1，物塊相對于木板的位移為S1，由圖4可知a1=-4m/s2，v1=4m/s.

由牛頓第二定律及運(yùn)動學(xué)公式得：

μmg+μ（M+m）g=Ma

v=-v+at=v+at

解得：t=1.5s，v=-2m/s

繪制圖5，由圖得：S=1.5m，S=4.5m（木板位移為負(fù)）

故物塊相對于木板的位移S=S-S=6m

（2）物塊和木板共速后向左做勻減速直線運(yùn)動直至停止，設(shè)加速度為a3，用時為t2，木板右端離墻壁的最終距離為S2，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)方程得：

μ（M+m）g=（M+m）a

v=at

解得：a=1m/s，t=2

繪制圖6，由圖知：物塊與木板在t=4.5s時刻停止，則S=6.5m.

【思維解析】該題目源于2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第25題的變形，體現(xiàn)了以下思維及特點(diǎn)：1.逆向思維：物塊與木板在2.5s～4.5s之間做勻減速直線運(yùn)動，直接求解難以擺脫待求量過多的困境，輔助以逆向思維，則可將系統(tǒng)的勻減速直線運(yùn)動反向視為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，這體現(xiàn)了巧解物理問題，凸顯正難則反、以反求正逆向思維的靈活性;2.整體思維：在物塊與木板具有相同的加速度時，常將物塊與木板視為一個系統(tǒng)，即不考慮系統(tǒng)內(nèi)力，直接對系統(tǒng)運(yùn)用整體法求解，這也是處理力學(xué)問題的基本思路之一;3.思維的深刻性：題干信息給出了碰撞后1s內(nèi)物塊的v-t圖，碰撞前后木板速度大小不變，方向相反，這實(shí)際上是隱晦給出了木板運(yùn)動的初速度，這告訴我們要善于抽離物理情境的復(fù)雜表象，挖掘隱藏信息，如此就能由此及彼、由表及里、化隱為顯、化繁為簡，展現(xiàn)思維的深刻性。

三、案例3：a-t圖妙解速度極值

一平臺的局部如圖7所示，水平面光滑，豎直面粗糙，動摩擦因數(shù)μ=0.5，右上角固定一定滑輪，一輕繩繞過定滑輪，輕繩左端系在一質(zhì)量mA=1.0kg的物塊A上，右端系住一相同質(zhì)量的物塊B，物塊B剛好可與豎直面接觸。起始時令兩物塊都處于靜止?fàn)顟B(tài)，繩被拉直，設(shè)物塊A距滑輪足夠遠(yuǎn)，臺面足夠高，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，忽略滑輪質(zhì)量及其與繩之間的摩擦，已知未對物塊B施加力F前，A、B共同加速運(yùn)動的加速度為5m/s2，現(xiàn)同時由靜止釋放A、B，同時對物塊B施加力F，方向水平向左，大小隨時間變化如圖所示，求物塊B運(yùn)動過程中的最大速度及施加力F后經(jīng)多長時間停止運(yùn)動？g取10m/s2.

【試題解析】當(dāng)物塊B受到水平向左的力F時，下滑時會受到豎直墻壁的摩擦力，以物塊A、B為系統(tǒng)，由牛頓第二定律可得：

mBg-μF=（mA+mB）a

由F-t圖可知：F=20t，化簡得a=-5t+5，繪制圖9 a1-t則物塊B在t1=1s時，a=0，速度達(dá)到最大，vmax=×1×5m/s=2.5m/s

此后F繼續(xù)增大，設(shè)物塊B的加速度為a2，由牛頓第二定律可得：mBg-μF=mBa2

化簡得a2=-10t+10，繪制圖9a2-t

設(shè)物塊B從vmax至停止運(yùn)動所需的時間為△t，則只需兩個三角形面積相等即×5×1=×△t×10△t，解得△t=s，故t=t1+△t≈1.7s.

【思維解析】該題目源于韓國2017年科學(xué)

探究領(lǐng)域（物理Ⅱ）第17題，體現(xiàn)了以下思維及特點(diǎn)：1.靈感思維：題目求解由牛頓第二定律和F-t的函數(shù)關(guān)系得到a-t的函數(shù)關(guān)系后，很多學(xué)生求解到這里很可能會卡住。實(shí)際上，巧以F-t圖得a-t圖，巧以加速度求速度，以圖構(gòu)圖，另辟蹊徑，妙解物理問題，這正是靈感思維的完美呈現(xiàn);2.類比思維：由a-t函數(shù)關(guān)系求速度極值聯(lián)想到常規(guī)的以v-t函數(shù)關(guān)系求位移極值，從聯(lián)想到類比，搭建思維支架，實(shí)現(xiàn)觸類旁通、一法多用，展現(xiàn)類比思維的巧妙之處;3.思維的敏捷性：題設(shè)物塊B何時停止運(yùn)動，巧以數(shù)形結(jié)合為思維抓手，可將題設(shè)轉(zhuǎn)換為簡單的數(shù)學(xué)問題（求三角形面積），如此可輕松實(shí)現(xiàn)極值問題的思維轉(zhuǎn)換，凸顯思維的敏捷性。

事實(shí)上，任何質(zhì)量上乘的物理習(xí)題設(shè)置的初衷都并非局限于知識點(diǎn)的考查，它更隱藏著方法與能力，特別是思維能力的考查。嵌入圖像求極值實(shí)際上就是一種思維轉(zhuǎn)換，它將抽象復(fù)雜的物理過程轉(zhuǎn)換為清晰明了的幾何圖像，將繁雜冗長的數(shù)學(xué)形式轉(zhuǎn)換為具體簡單的函數(shù)關(guān)系?！耙岳頂y數(shù)”突破了凝固型思維的“藩籬”，實(shí)現(xiàn)了化隱為顯、化難為易、化冗為簡，凸顯了思維的靈活性、深刻性和敏捷性?，F(xiàn)實(shí)中，“物理+”的深度融合是豐富教師外源性知識，形塑教師教學(xué)邏輯，激發(fā)更大紅利的“金鑰匙”，更是點(diǎn)亮學(xué)生發(fā)散思維，激活學(xué)生創(chuàng)新思維的“法寶”，因此要引起我們的重視以提高我們的教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]任佳蕾，張麗萍，李? ?炎.以實(shí)驗撬動思維之探——“探究物體對電流的阻礙作用”教學(xué)紀(jì)實(shí)[J].物理教學(xué)，2018，（6）：47～48.

[2]張麗萍，董博清，李文娜.我國高中物理準(zhǔn)教師外源性知識結(jié)構(gòu)的現(xiàn)狀與分析[J].課程·教材·教法，2009，（7）：90～92.

[3]董? ?靜，于海波.教師個人教學(xué)邏輯：內(nèi)涵、形成與發(fā)展[J].教育研究，2017，（10）：126～129.