時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法的先驗(yàn)誤差分析

賴軍將

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 福州350108）

時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法的先驗(yàn)誤差分析

賴軍將

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 福州350108）

對(duì)于變系數(shù)二階常微分方程的初值問題，應(yīng)用時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元方法數(shù)值求解。在對(duì)網(wǎng)格剖分的適當(dāng)限制下，獲得了數(shù)值方法的穩(wěn)定性結(jié)果。賦以有限元空間相應(yīng)的范數(shù)，證明了在該范數(shù)意義下方法的先驗(yàn)誤差估計(jì)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的收斂率。

連續(xù)一次有限元；誤差分析；穩(wěn)定性；收斂性

引言

時(shí)間連續(xù)有限元方法是數(shù)值求解微分方程的一種有效算法[1-3].對(duì)于二階常微分方程初值問題,文獻(xiàn)[4]給出了相應(yīng)的時(shí)間C0-連續(xù)有限元法計(jì)算格式,并且得到了時(shí)間C0-連續(xù)m(m≥2)次有限元方法的先驗(yàn)誤差估計(jì).文獻(xiàn)[5]對(duì)于一類二階常系數(shù)齊次線性常微分方程,采用直接計(jì)算的方法獲得了時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法的先驗(yàn)誤差估計(jì).文獻(xiàn)[3]采用時(shí)間連續(xù)有限元法數(shù)值求解二階發(fā)展問題，進(jìn)行了后驗(yàn)誤差分析并提出了一個(gè)自適應(yīng)算法.

本文對(duì)于一般情形的變系數(shù)二階常微分方程的初值問題,在文獻(xiàn)[5-7]的基礎(chǔ)上,利用回收技巧[1]和離散Gronwall引理[8],獲得了時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法對(duì)初值的穩(wěn)定性.并且對(duì)有限元空間賦以相應(yīng)的范數(shù),證明了在此范數(shù)意義下的先驗(yàn)誤差估計(jì)結(jié)果.

本文使用Sobolev空間的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)[9].對(duì)于ν(t)∈H2（0，T）,定義

將“≤C…”簡(jiǎn)記為“^…”,其中正常數(shù)C在不同地方可取不同的值,它與方程右端項(xiàng),真解函數(shù)以及網(wǎng)格剖分尺寸無(wú)關(guān).

1 求解格式與相容性

討論二階常微分方程的初值問題[7]:

初值u0與ν0事先給定，已知函數(shù)p,q,f適當(dāng)光滑,并設(shè)

其中C0,C1,C2,及C3都為正常數(shù).

對(duì)求解區(qū)間I=（0，T）進(jìn)行擬一致剖分:t0=0

這里,空間P1(In)由In上所有次數(shù)不超過1的多項(xiàng)式組成.于是數(shù)值求解問題(1)的時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法為[4-5]:求U(t)∈Sk使得從這里開始,分別用u和U表示方程(1)及(3)的解,并假設(shè)有正則性u(píng)∈H2（I）.于是下式恒成立,

在式（3）中,對(duì)n從1到N求和得到

從而由式（4）-（5）可知

即時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法具有相容性.

2 穩(wěn)定性分析

賦以有限元空間Sk以下范數(shù),

引理1對(duì)w∈Sk以下等式成立,

綜合式（6）和式（9）-（11）得證引理.

引理2對(duì)w∈Sk以下不等式成立,

證明 由于w∈Sk,在任一區(qū)間In上w可線性表示成

由直接積分,且應(yīng)用算術(shù)幾何平均值不等式可獲得證明.

利用引理1,(5)式和式(7),若f(t)=0,則有

由T的任意性,得到了下述穩(wěn)定性定理.

定理1 設(shè)U∈Sk為方程(3)的解,f=0且條件(2)滿足.則當(dāng)k

3 誤差估計(jì)

記u在Sk中的分段線性插值函數(shù)為πu,即有

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮二階常微分方程初值問題

采用時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法求解以上問題并取均勻剖分計(jì)算.表1列出了取不同步長(zhǎng)時(shí)的誤差,表明都小于某一有界常數(shù),而且在||·||||意義下此方法具有階的收斂速度[11].

表1 取不同步長(zhǎng)的誤差

由表1中的誤差結(jié)果,可獲得圖1所示的雙對(duì)數(shù)誤差圖,從圖1可知,經(jīng)取對(duì)數(shù)后的誤差結(jié)果落在斜率為－的一條線段上,即驗(yàn)證了在意義下此方法收斂階為階,與定理2的結(jié)論相吻合.

圖1 取不同步長(zhǎng)的雙對(duì)數(shù)誤差

以下采用時(shí)間C0-連續(xù)一次有限元法（18）(簡(jiǎn)稱CG1)及幾類典型的時(shí)間離散化格式[12]求解初值問題

分別采用CG1方法,三層格式 （θ=0）[12],兩層格式（θ1=1，θ2=1/2）[12]及兩層格式（θ1=θ2=1）[12]進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,記以上方法在T=1處數(shù)值解的誤差絕對(duì)值分別為e1，e2，e3和e4， 自由度數(shù) (未知量數(shù))為NDOF，表2給出了不同方法的誤差結(jié)果,表明在自由度數(shù)相同的情況下求解以上問題,CG1方法獲得的數(shù)值解在時(shí)間節(jié)點(diǎn)處較其它方法準(zhǔn)確.圖2給出了相同自由度數(shù)時(shí)由不同方法獲得的解曲線,從此圖可知,用CG1方法求解以上問題獲得的數(shù)值解較其它方法更逼近精確解.

表2 不同方法的節(jié)點(diǎn)誤差

圖2 不同方法獲得的解曲線,NDOF=60

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[責(zé)任編輯：桂傳友]

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A

1674-1102(2014)06-0025-04

10.13420/j.cnki.jczu.2014.06.006

2014-07-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11101199);福建省高等學(xué)校新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助(JA12260)。

賴軍將(1977-),男,湖南攸縣人,閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，博士，主要從事科學(xué)計(jì)算研究。