微積分中函數(shù)極限求法的淺析

程松林

摘要：函數(shù)的極限是微積分各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)的基礎考點，其方法和技巧的分析總結(jié)有助于導數(shù)和定積分等概念的理解。本文結(jié)合經(jīng)典考題，討論了函數(shù)極限計算中的三種主要方法，以期學生對相關(guān)計算能夠理解并靈活運用。

關(guān)鍵詞：函數(shù);極限;微積分

函數(shù)是微積分的研究對象，而一元函數(shù)的極限是微積分計算的基礎。如何求函數(shù)的極限問題是許多大一學生和考研同學在微積分學習備考中比較關(guān)注的要點之一，相對于其他章節(jié)內(nèi)容，此部分內(nèi)容容易上手，但具體計算時由于選擇的方法不一定合適和有效，解題過程會經(jīng)常出現(xiàn)一些不該犯的錯誤而造成失分。

函數(shù)的極限類型主要有0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1，∞，0等七種未定式情況，其中最為關(guān)鍵的是0/0和∞/∞型，其它五種通過“冪指分離”方法可以轉(zhuǎn)化為這兩種類型。對于0/0和∞/∞型未定式函數(shù)的極限，常見的方法有分解因式去零、無窮小因子分出、分子（分母）有理化、等價無窮小替換、洛必達法則和泰勒公式等。對于一般選拔性質(zhì)的微積分考試，如插班生、高等數(shù)學競賽和研究生數(shù)學考試，考查最多的主要集中后三種方法上?；谙嚓P(guān)的典型問題，本文對微積分一元函數(shù)的極限計算進行簡要分析如下：

一、等價無窮小替換

同濟大學《微積分》教材上給出了函數(shù)乘積運算時的等價無窮小替換定理，需要強調(diào)的是函數(shù)求和時的等價無窮小替換定理并沒有給出，可以考慮基于極限的四則運算加以轉(zhuǎn)化，靈活運用。

二、洛必達法則

值得注意的是在計算0/0和∞/∞型未定式時，運用洛必達法則前盡量對函數(shù)部分項進行簡化，如果有因子項能用等價無窮小替換需要先行替換，如果有部分項的極限存在（若在分母中要求極限不為零），可以考慮拆項先將此部分項極限求出來。這樣，可以明顯降低使用洛必達法則進行計算的復雜度。

三、泰勒公式

有些函數(shù)極限的計算運用洛必達法則時可能會顯得比較復雜，而運用泰勒公式方法呈現(xiàn)明顯的簡便性，特別是函數(shù)sinx，e，ln（l+x）在x=0處的佩亞諾余項展開式，在考試中需要重點關(guān)注。

解：由sinx在x=0處的佩亞諾余項展開式得sin 6x = 6x-1/3?。?x）+o（x），代入原式

解：由函數(shù)ln（1+x）在x=0處的佩亞諾余項展開式得ln（1+x）=x-1/2x+o（x），則在

考試中關(guān)于函數(shù)的極限計算題目是多種多樣的，但解題考查的要點大多集中在等價無窮小乘積替換、洛必達法則和泰勒公式等方法技巧上。在教學過程中，老師需要注意講解不同類型的題目和加以分析比較，弓l導學生積極思考并不斷總結(jié)規(guī)律。在平時的學習過程中，學生需要通過大量題目的演練形成“題感”并靈活運用，才能在考試中更快地找到合適有效的計算方法，從而取得理想的微積分成績。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.微積分[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]李永樂，王式安，武忠祥.數(shù)學厲年真題全精解析[M].西安：西安交通大學出版社，2019.