基于有限差分法的服裝熱傳導(dǎo)模型

魯湘婷 雷歡歡 徐任杰

摘要：針對(duì)高溫環(huán)境專(zhuān)用服裝各層織物厚度的設(shè)計(jì)，建立多層織物導(dǎo)熱模型，給出對(duì)不同情況下帶約束條件的極小泛函。我們基于Matlab程序語(yǔ)言，采用有限差分法及迭代法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行模擬求解。針對(duì)高溫環(huán)境下專(zhuān)用服裝的熱傳遞情況，建立間斷系數(shù)熱傳導(dǎo)方程，求解熱傳導(dǎo)模型，得到溫度分布規(guī)律。結(jié)合比熱容方程及傅里葉變換公式，構(gòu)建了溫度與時(shí)間、材料厚度間的關(guān)系式，即熱擴(kuò)散方程。采用有限差分法數(shù)值求解。結(jié)合誤差加密剖分給出修正，得到溫度分布規(guī)律及溫度隨時(shí)間和厚度變化的三維分布關(guān)系。模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，優(yōu)化后的模型明顯誤差減小，驗(yàn)證了模型的可行性。

關(guān)鍵詞：間斷系數(shù)熱傳導(dǎo)方程;傅里葉變換公式;有限差分法;迭代正則法

一、問(wèn)題分析

熱防護(hù)功能是一項(xiàng)被熱點(diǎn)關(guān)注的功能，火災(zāi)救援、化工石油、賽車(chē)、熱能研究等從業(yè)人員仍遭受著高溫環(huán)境導(dǎo)致的人身安全問(wèn)題。本文介紹高溫度情況下專(zhuān)用服裝傳熱的形式，分析溫度較高情況下熱輻射與熱傳導(dǎo)對(duì)熱傳遞的作用規(guī)律，并根據(jù)熱傳遞規(guī)律給出合理的假設(shè)，在干燥模型的基礎(chǔ)上，提出了專(zhuān)用服裝織物層材料的熱傳遞數(shù)學(xué)模型，接著進(jìn)行數(shù)值求解，并且用實(shí)際效果與模擬效果進(jìn)行對(duì)比，依次運(yùn)用正問(wèn)題模型與織物材料反問(wèn)題的提出進(jìn)行模型驗(yàn)證。

為分析假人皮膚溫度分布與織物厚度、熱傳導(dǎo)時(shí)間的相關(guān)性，根據(jù)一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱原理，結(jié)合傅里葉變換公式和比熱容相關(guān)定義得到二階熱傳導(dǎo)偏微分方程，根據(jù)熱傳遞的一般規(guī)律，進(jìn)行合理的假設(shè)，提出多層專(zhuān)用服裝的熱傳遞模型，用數(shù)值對(duì)模型進(jìn)行求解，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果對(duì)比，修正參數(shù)，得出溫度與織物厚度d以及時(shí)間t的關(guān)系。

二、模型的假設(shè)

1.織物三層性質(zhì)皆具有各向同性;

2.假定第一層織物阻擋了大部分輻射，可以忽略假人皮膚與專(zhuān)用服裝傳遞中的輻射;

3.只考慮熱傳導(dǎo)、熱輻射的傳熱，假人不會(huì)產(chǎn)生汗液，忽略水汽的影響;

4.進(jìn)行熱傳遞時(shí)，不考慮織物材料體積和結(jié)構(gòu)變化;

5.假設(shè)織物內(nèi)沒(méi)有微環(huán)境，外界熱量到假人皮膚外層只需要三個(gè)過(guò)程，外界環(huán)境與織物，織物與空隙，空隙與假人皮膚。

三、模型的建立與求解

3.1模型的建立

依據(jù)常用的熱傳遞模型和擴(kuò)散方程，建立模型用來(lái)描述高溫情況下專(zhuān)用服裝的熱傳遞規(guī)律，對(duì)提出的數(shù)學(xué)模型，給出數(shù)學(xué)模型適應(yīng)性較為完整的表述，最后給出有限差分的數(shù)值模擬，建立了多層織物的熱傳遞模型。

假人所穿專(zhuān)業(yè)服裝因材料不同分三層，為I、II、III層，III層織物與假人皮膚間的空氣夾層記為IV層。

當(dāng)外界溫度高于假人皮膚溫度，產(chǎn)生溫度差發(fā)生熱傳導(dǎo)。前三層是織物，故只考慮發(fā)生熱傳導(dǎo)，由于三層材料熱傳導(dǎo)能力不同，單位面積內(nèi)傳遞到下一層的熱量不同，故應(yīng)依次考慮不同層傳遞到下一層熱量的變化。第IV層是空氣層，我們要考慮空氣層的靜態(tài)導(dǎo)熱能力，還需考慮服裝與假人皮膚間隙產(chǎn)生的對(duì)流換熱情況。所以將I、II、III層與第IV層分開(kāi)進(jìn)行分析計(jì)算，我們將為高溫條件下的專(zhuān)用服裝熱傳遞建立數(shù)學(xué)模型，并且進(jìn)行分析和數(shù)學(xué)求解（將織物層和空氣層分開(kāi)考慮）如下所示：

1）織物熱傳導(dǎo)分析

以第I層為例，在相同溫度的外界條件下，織物熱量傳導(dǎo)與自身比熱容還有時(shí)間有關(guān)。以傅里葉理論[1]為依據(jù)得

根據(jù)不同材質(zhì)將專(zhuān)用服裝分為三層，將I、II、III 、IV層的厚度 等分，經(jīng)調(diào)整分析得出 最優(yōu)解，我們分析在假人表面溫度不再發(fā)生變化的時(shí)間段，故取此時(shí)間段之前的時(shí)間，將其分為 等份，求出 的最優(yōu)解。從而解得 ， ，根據(jù)各材質(zhì)厚度在所占總長(zhǎng)度的比例加權(quán)，得如下所示材料所占比例：

分別對(duì)應(yīng)系數(shù)不同的擴(kuò)散方程，令

表示I、II、III層對(duì)應(yīng)擴(kuò)散方程前的系數(shù).設(shè)厚度邊界范圍（以第Ⅰ層為例）：

2）空氣熱傳導(dǎo)分析：

空氣熱傳導(dǎo)會(huì)有兩種情況，不僅有單純的熱傳導(dǎo)，還會(huì)涉及對(duì)流換熱。其熱傳導(dǎo)計(jì)算與織物類(lèi)似，則思考第二種形式。Torvi利用流動(dòng)可視化與數(shù)值模擬的方法推導(dǎo)出當(dāng)空氣層的厚度達(dá)到6.4mm時(shí)出現(xiàn)自然對(duì)流[2]，故由于該題設(shè)置中，空氣層的厚度最大為6.4mm。故空氣層的對(duì)流換熱不予考慮，即空氣層的熱傳導(dǎo)計(jì)算與織物熱傳導(dǎo)計(jì)算雷同。

用差分法解偏微分方程[3]，如下所示：

故將第一層織物的厚度以 的寬度進(jìn)行微分，分為 等分;時(shí)間以 的時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行拆分，分為 等分。即上式也可表示為：

（3）可表示為：

3.2模型的求解：

以第一層織物為例，將該層織物的各項(xiàng)性能參數(shù)用MATLAB導(dǎo)入如下線(xiàn)性方程組：

將實(shí)驗(yàn)值與所構(gòu)建模型的預(yù)測(cè)數(shù)值進(jìn)行比較，如下所示：

3.3結(jié)果的誤差分析：如上圖所示，數(shù)據(jù)在前期有較小偏差，后期出現(xiàn)震蕩。原因如下：產(chǎn)業(yè)服裝的導(dǎo)熱系數(shù)會(huì)因?yàn)闇囟鹊纳叱霈F(xiàn)變化，但題目中已經(jīng)給出對(duì)應(yīng)材質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù);我們假設(shè)的服裝過(guò)于理想化，對(duì)于實(shí)際服裝溫度升高后的散熱現(xiàn)象沒(méi)有深入研究;后期數(shù)據(jù)震蕩較大，是由于將空氣層分布不均勻，對(duì)應(yīng)單位面積上的導(dǎo)熱系數(shù)也不相同，是一個(gè)時(shí)變函數(shù)，因作者水平有限，導(dǎo)致誤差出現(xiàn)偏差。

3.4模型的修正：

接著我們對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行更細(xì)致的剖分，全面分析數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)模型。首先，改進(jìn)后模型充分利用邊界與起始條件，使數(shù)據(jù)模型趨于合理前期小偏差更小;其次，對(duì)不同厚度的服裝材料進(jìn)行不同程度的剖分，使各層材料的性質(zhì)與熱量傳導(dǎo)的關(guān)系，通過(guò)圖像直觀(guān)的展現(xiàn)出來(lái)。最后，通過(guò)前后對(duì)比可以觀(guān)察到，改進(jìn)后的數(shù)據(jù)模型，后期數(shù)據(jù)震蕩現(xiàn)象明顯改善。

將實(shí)驗(yàn)值與所構(gòu)建模型的預(yù)測(cè)數(shù)值進(jìn)行比較，如下所示：

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：魯湘婷（1997.04-），女，甘肅省人，本科，單位：石河子大學(xué)，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。