例談三角函數(shù)與三角恒等變換

仝建

親愛(ài)的同學(xué)們，今天我們來(lái)復(fù)習(xí)必修4三角函數(shù)和三角恒等變換的內(nèi)容.這兩章的內(nèi)容主要包含哪些重要的題型呢？其中義運(yùn)用了哪些重要的概念、公式和思想方法呢？讓我們一起來(lái)看一看，練一練吧.最好自己動(dòng)手先做，然后再看解析.

1.三角函數(shù)的概念

例1 （1）若θ為第四象限的角，試判斷sin（cosθ）.cos（sinθ）的符號(hào);

（2）已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（-3cosθ，4cosθ），其中θ∈（π/2，兀），求α的正切值.

解 （1）因?yàn)棣葹榈谒南笙藿?，所?0，cos（sinθ）>0，所以sin（cosθ）·cos（sinθ）>0.

小貼士 （1）判斷三角函數(shù)的符號(hào)，需根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即角的終邊在第一象限時(shí)，三個(gè)三角函數(shù)都是正的，角的終邊在第二象限時(shí)，只有正弦是正的，角的終邊在第三象限時(shí)，只有正切是正的，角的終邊在第四象限時(shí)，只有余弦為正.同時(shí)還要注意到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值是±1.（2）已知角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值，首先要想到使用三角函數(shù)定義，同時(shí)還要注意角的范圍，必要時(shí)按象限進(jìn)行討論.

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

小貼士 結(jié)合誘導(dǎo)公式口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，準(zhǔn)確記住這些誘導(dǎo)公式是正確解答此類問(wèn)題的前提.在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，要注意正負(fù)號(hào)的選取.解此類題的常用技巧有：（1）弦切互化，減少或統(tǒng)一函數(shù)名;（2）“1”的代換，如：1=sin2α+cos2α（常用于解有關(guān)正、余弦齊次式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題），1一tanπ/4 等;（3）若式子中有角kπ/2，k∈Z，則先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn).

3.三角函數(shù)的圖象及變換

（1）求此函數(shù)解析式;

（2）分析一下該函數(shù)的圖象是如何通過(guò)y= sin x的圖象變換得來(lái)的.

4.三角函數(shù)的性質(zhì)

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若x∈[0， π/2]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值;

（3）求f（x）取最大值時(shí)x的取值集合.

（2）因?yàn)?≤x≤π/2，所以π/6≤2x+π/6≤7π/6，所以-1/2≤sin（2x+π/6）≤1，

所以f（x）的最大值為2+a+l=4，所以a=1.

（3）當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，2x+π/6=π/6+2k兀，所以x=π/6十k兀，k∈Z.所以當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，x的取值集合是{x|x=π/6+k兀，k∈Z}.

小貼士 形如y= Asin（ωx+ω）+k單調(diào)區(qū)間求解策略：可以把“ωx+Φ”看成一個(gè)整體，代人正弦函數(shù)的相應(yīng)區(qū)間求解，當(dāng)ω為負(fù)數(shù)時(shí)，一般先用誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化為正數(shù).

5.三角函數(shù)式的求值問(wèn)題

（2）在△ABC中，3sin A+4cos B=6，4sin B+3cos A=1，求C的大小.

（2）兩式左右兩邊分別平方相加，得sin（A+B）=1/2，則sin c=sin[π- （A+B）]=1/2，所以C=π/6或C=5π/6.又3sin A=6-4cos B>2，得sinA>2/3>1/2，所以A>π/6，所以c<5/6π，故C=π/6·

小貼士 （1）給角求值：一般所給的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題.（2）對(duì)于給值求角的問(wèn)題，對(duì)角范圍的分析很重要，是防止出現(xiàn)增解的重要手段.（3）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如α=（α+β）- β，2α=（α+β）+（α+β）等，有時(shí)通過(guò)把已知角（或所求角）換元，找到已知角與所求角的聯(lián)系也是很有效的辦法.

6.三角恒等變換的綜合應(yīng)用

例6 已知函數(shù)f（x）=sin（π/2-sinx）sinx-√3cos2x.

（1）求.f（x）的最小正周期和最大值;

（2）討論f（x）在[π/6，2π/3]上的單調(diào)性. （2）當(dāng)x∈[π/6，2π/3時(shí)，0≤2x-π/3≤兀，從而當(dāng)0≤2x-π/3≤π/2，即π/6≤x≤5π/12時(shí)，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)π/2≤2x-π/3≤π，即5π/12≤x≤2π/3時(shí)，f（x）單調(diào)遞減.

所以f（x）在[π/6，5π/12]上單調(diào)遞增，在[5π/12，2π/3]上單調(diào)遞減.

小貼士 對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的考查主要涉及單調(diào)性、奇偶性、周期性等.解答時(shí)通常是先將函數(shù)簡(jiǎn)化為形如f（x）=Asin（ωx+Φ）+B的形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解.

7.轉(zhuǎn)化與化歸思想

例7 已知|x|≤π/4，求函數(shù)f（x）=COS2x+ sinx的最小值.

解 y=f（x）=cos2x+sin x=sin2x+ sinx+1.令t=sinx，因?yàn)閨x|≤π/4，所以-√2/2≤t≤√2/2.

所以當(dāng)t=√2/2時(shí)，即x一-π/4時(shí)，f（x）有最小值，且最小值為1-√2/2.

小貼士 在求解形如y=Asin2 x+Bsin x+C的值域或最值時(shí)，常令t= sinx轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)再求解，換元時(shí)需注意新變?cè)姆秶?這體現(xiàn)了三角函數(shù)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.